2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高二（下）期中数学试卷（C卷）

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2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高二（下）期中数学试卷（C卷）1.  数列的第项是(    )A.  B.  C.  D. 2.  离散型随机变量的概率分布列如表： 则等于(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知数列是等差数列，若，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  设随机变量，若，则(    )A. ， B.
C.  D. ，5.  已知为数列的前项和，，，那么(    )A.  B.  C.  D. 6.  在三次独立重复试验中，事件在每次试验中发生的概率相同，若事件至少发生一次的概率为，则事件发生次数的期望和方差分别为(    )A. 和 B. 和 C. 和 D. 和7.  明代程大位算法统宗卷中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八一，请问尖头几盏灯？“你的答案是(    )A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏8.  为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼某校一篮球运动员进行投篮练习，若他第球投进，则第球投进的概率为，若他第球投不进，则第球投进的概率为，若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为(    )A.  B.  C.  D. 9.  在等比数列中，已知，，则数列的通项公式是(    )A.  B.
C.  D. 10.  对两个变量与进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法不正确的是(    )A. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
B. 由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心
C. 若变量与之间的相关系数，则变量与之间具有很强的线性相关性
D. 用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好11.  已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有(    )A. ：： B.
C. 当时， D. 当时，12.  若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是(    )A.  B.
C.  D. 13.  有一批灯泡寿命超过小时的概率为，寿命超过小时的概率为，在寿命超过小时的灯泡中寿命能超过小时的概率为______ ．14.  设等比数列满足，，则          ．15.  同时抛掷枚质地均匀的硬币次，设枚硬币均正面向上的次数为，则的方差是______ ．16.  设是数列的前项和，，，则______．17.  已知公差不为零的等差数列的前四项和为，且，，成等比数列．
求数列通项公式；
设，求数列的前项和．18.  某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场．从年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：年份年份代码新建社区养老机构根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程；
若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？
参考公式：线性回归方程，，．
参考数据：，．19.  已知数列满足，．
Ⅰ证明：是等比数列，并求的通项公式；
Ⅱ记，设为数列的前项和，证明：．20.  为了强调考前仔细研究教材内容称“回归教材”对高考数学成绩的重要性，年高考结束后，某班级规定高考数学成绩分以上含分为优秀，制作下表： 高考数学成绩
是否回归教材非优秀人数优秀人数合计未回归教材人数回归教材人数合计Ⅰ能否有的把握认为高考数学成绩优秀与回归教材有关？
Ⅱ以该班数据为样本来估计全市总体数据，从全市年参加高考的考生中任取人，设人中高考数学成绩优秀且回归教材的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，
  21.  是数列的前项和，已知，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．22.  现有、两个部门进行投篮比赛，部门有人参加，部门有人参加，已知这人投篮水平相当，每人投中的概率都是比赛之前每人都进行投篮练习，投中则停止投篮练习，最多进行三次投篮练习若甲投篮练习次，统计得知的数学期望是．
Ⅰ求；
Ⅱ现从这人中选出人，每人投篮两次，设人中能够投中的人数为，求的数学期望；
Ⅲ现从这人中选出人参加投篮练习，设部门被选中的人数为，求的数学期望．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根据题意，数列，
其通项公式为，故其第项．
故选：．
根据题意，归纳数列的通项公式，由此将代入，计算可得答案．
本题考查数列的表示方法，注意归纳数列的通项公式，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：由离散型随机变量的概率分布列知：
，
解得．
故选C．
由离散型随机变量的概率分布列知：，由此能求出的值．
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
 3.【答案】 【解析】解：数列是等差数列，，
，可得．
则．
故选：．
利用等差数列的性质即可得出．
本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 4.【答案】 【解析】解：随机变量，若，
则，，
故选：．
利用正态分布列的性质即可得出．
本题考查了正态分布列的性质，属基础题．
 5.【答案】 【解析】解：，
时，，
相减可得：．
时，，
数列从第二项开始为等比数列，
．
故选：．
利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：设事件在每次试验中发生的概率为，则，
，解得，，
，．
故选：．
根据题意可得根据事件至少发生一次的概率为，可得再根据公式可得期望与方差．
本题考查了二项分布得期望与方差，属中档题．
 7.【答案】 【解析】解：设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为的等比数列的前项和为，
所以，
解得．
故选：．
根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解．
本题主要考查等比数列的前项和公式，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，
若他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第球投进的概率为，
则他第球投进的概率为：
．
故选：．
利用相互独立事件概率乘法公式能求出他第球投进的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 9.【答案】 【解析】解：设等比数列的公比为，
则，解得，
当时，，
当时，．
故选：．
根据已知条件求得数列的公比，进而求得，由此能求出结果．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对两个变量与进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据．
残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故A正确；
由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心，故B正确；
若变量与之间的相关系数，则变量与之间具有很强的线性相关性，故C正确；
用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故D错误．
故选：．
由残差平方和大小与拟合效果的关系判断；由线性回归方程恒过样本点的中心判断；由线性相关系数的范围与线性相关的强弱判断；由相关指数的大小与拟合效果间的关系判断．
本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想，是基础题．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
，
：：，故A正确；
，故B正确；
当时，，故C正确；
当时，则，故D错误；
故选：．
由可得，然后逐一判断四个结论得答案．
本题考查命题的真假判断与应用，考查了等差数列的函数特性，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：随机变量服从两点分布，其中，
，，
在中，，故A正确；
在中，，故B正确；
在中，，故C正确；
在中，，故D错误．
故选：．
根据随机变量服从两点分布推出，得到，，然后判断各选项即可．
本题考查命题真假的判断，离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 13.【答案】 【解析】解：记事件为“灯泡寿命超过小时”，事件为“灯泡寿命超过小时”，
则在寿命超过小时的灯泡中寿命能超过小时的概率为．
故答案为：．
直接根据条件概率公式求解即可．
本题考查条件概率公式的运用，是基础题．
 14.【答案】 【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．
设等比数列的公比为，可得：，，求解即可．【解答】解：设等比数列的公比为，
，，
，，
解得，，
则．
故答案为．  15.【答案】 【解析】解：同时抛掷枚质地均匀的硬币，恰好出现两枚正面向上的概率，
所以枚硬币正面向上的次数∽，
所以的方差为，
故答案为：．
同时抛掷枚质地均匀的硬币，恰好出现两枚正面向上的概率，则枚硬币正面向上的次数∽，进而可得答案．
本题考查概率的求法，二项分布，解题中需要理清思路，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】【分析】
根据，可得，，再利用等差数列的通项公式即可得出答案．
本题考查数列递推关系、等差数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：，
，
，
又，
数列是等差数列，首项为，公差为．
，
解得．
故答案为：．  17.【答案】解：设等差数列的公差为，
等差数列的前四项和为，且，，成等比数列，
，解得，，或，不合题意，舍去，
；
由得，
 【解析】设等差数列的公差为，由题意得，解得，，或，不合题意，舍去，即可得出答案；
由得，利用分组求和法，即可得出答案．
本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：由表中数据可得，，
，
，
，
则，，
故线性回归方程为．
该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从，
，
该地参与社区养老的老人有人． 【解析】根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，以及正态分布的对称性，属于中档题．
 19.【答案】证明：Ⅰ，
，
又，则数列是首项为，公比为的等比数列，
，
数列的通项公式；
Ⅱ由Ⅰ得，则，


，即，． 【解析】Ⅰ由题意得，即，即是首项为，公比为的等比数列．即可证明结论；
Ⅱ由题意得，即可证明结论．
本题考查等比数列的定义和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 20.【答案】解：Ⅰ由题意得，，，，，，，，，
，
，
有的把握认为高考数学成绩优秀与回归教材有关；
Ⅱ由题意得的可能取值有，，，，
设“回归教材”且成绩优秀为事件，且，
则，，，，
故随机变量的分布列为 数学期望为． 【解析】Ⅰ由题意得，，，，，，，，，求出，即可得出答案；
Ⅱ由题意得的可能取值有，，，，设“回归教材”且成绩优秀为事件，，求出对应概率，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 21.【答案】解：Ⅰ化为，可知，
可得，即，
由于，可得，
又，解得，
是首项是，公差是的等差数列，通项公式是．
Ⅱ设前项和为，由Ⅰ知，
则，，
两式相减得，
即，
所以． 【解析】Ⅰ化为，再利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；
Ⅱ设前项和为，由Ⅰ知，再利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可得出．
本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 22.【答案】解：Ⅰ根据题意，可取的值为、、，
则的分布列为又由，则有，解可得或舍，
故；
Ⅱ根据题意，每人投篮两次，则每个人投中的概率，
设人中能够投中的人数为，则，故E；
Ⅲ根据题意，可取的值为、、、，
则，，，，
故E． 【解析】Ⅰ根据题意，分析可取的值，由此用表示各个值的概率，由期望公式可得关于的方程，解可得答案；
Ⅱ根据题意，先求出每个人投篮命中的概率，分析可得，进而计算的期望可得答案；
Ⅲ根据题意，分析可得可取的值，进而求出的各个值的概率，由期望公式计算可得答案．
本题考查随机变量的分布列和期望的计算，涉及二项分布的性质，属于基础题．