2022-2023学年广西南宁市第二十六中学等3校高二下学期开学联合调研测试数学试题含答案

2022-2023学年广西南宁市第二十六中学等3校高二下学期开学联合调研测试数学试题

一、单选题

1．抛物线的焦点坐标是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先把抛物线化为标准方程，直接写出焦点坐标．

【详解】抛物线的方程为，所以焦点在轴，

由，所以焦点坐标为．

故选：D．

2．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，…中，x的值为（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】D

【分析】从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和即可求解

【详解】解：数列1，1，2，3，5，8，，21，34，55  设数列为

故选：．

【点睛】本题考查了数列的概念及简单表示法，是斐波那契数列，属于基础题．

3．已知向量，且与互相垂直，则k的值是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.

【详解】，，

因为与互相垂直，

所以，

所以，

所以.

故选：D.

4．直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案.

【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，

因此，直线的方程为，即.

故选：C.

5．在等比数列中，，，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，结合等比数列的通项公式可得q＝＝3，进而可得a1与a2的值，相加即可得答案．

【详解】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，

又由a3＝6，a4＝18，则q＝＝3，

则a1＝，a2＝，

则a1+a2＝2；

故选B．

【点睛】本题考查等比数列的通项公式，关键是求出q的值，属于基础题．

6．点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段AB的中点P的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设出中点坐标，转化求出P的坐标，代入圆的方程，求解即可．

【详解】线段AB的中点P设为，则，

点A在圆上运动时，

线段AB的中点M的轨迹方程是，

整理得．

故选：A

7．设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆和双曲线中的关系，结合双曲线定义可解.

【详解】在椭圆中，由题知，解得，

所以椭圆的焦点为，，

因为曲线上的点到，的距离的差的绝对值等于8，且，

所以曲线是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，

所以曲线的虚半轴长为，

故的标准方程为：.

故选：A.

8．在等差数列中，，．记，则数列（    ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【答案】B

【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.

【详解】由题意可知，等差数列的公差，

则其通项公式为：，

注意到，

且由可知，

由可知数列不存在最小项，

由于，

故数列中的正项只有有限项：，.

故数列中存在最大项，且最大项为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.

二、多选题

9．已知等差数列11，8，5，…，则（    ）

A．公差 B．该数列的通项公式为

C．数列前10项和为 D．是该数列的第21项

【答案】ACD

【分析】根据等差数列的定义，求出公差和通项公式，再利用前项和公式即可求解.

【详解】由题意可知：；

∴；

∴，

∴；

由，得．

故选：ACD．

10．已知双曲线：，则下列关于双曲线的结论正确的是（    ）

A．实轴长为6 B．焦点坐标为，

C．离心率为 D．渐近线方程为

【答案】AC

【分析】根据双曲线的几何性质即可逐项分析求解.

【详解】根据题意可得，，所以，

所以双曲线的实轴长为，故A正确；

双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，故B错误；

双曲线的离心率为，故C正确；

双曲线的渐近线方程为，即，故D错误.

故选：AC.

11．若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线上不同的两点，则以下命题正确的是（    ）

A．

B．

C．，使得

D．设与的夹角为，则

【答案】BCD

【分析】A选项，只有平面时，才能得到；BCD选项，可通过线面关系及面面关系及法向量定义进行推导.

【详解】对于A，当且平面时，才满足，故A错误；

对于B，若，则，若，则，即可得到，故B正确；

对于C，若，则，则，使得，若，使得则，所以，故C正确；

对于D，设与的夹角为，则，所以，故D正确.

故选：BCD.

12．在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列说法错误的是（    ）

A．等比数列一定是比等差数列，且比公差

B．等差数列一定不是比等差数列

C．若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列

D．若数列满足，，则该数列不是比等差数列

【答案】ABC

【分析】根据比等差数列定义直接验证可判断A；令，依定义验证可判断B；令，，然后依定义验证可判断C；根据递推公式求出前4项，然后依定义验证可判断D.

【详解】若为等比数列，公比，则，，

所以，故选项A错误；

若，是等差数列，则，故为比等差数列，故选项B错误；

令，，则，此时无意义，故选项C错误；

因为数列满足，，

所以，，故，

所以不是比等差数列，故选项D正确.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知圆与圆交于、两点，则所在的直线方程是          ．

【答案】.

【分析】两圆方程作差，即可得到交线的方程.

【详解】联立方程，即，

两式作差得，，

整理可得，.

所以，所在的直线方程是.

故答案为：.

14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则           .

【答案】4.

【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.

【详解】因，所以，即，

所以．

【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．

15．等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则        ．

【答案】2

【分析】由题意可得，且，由条件可得，化简得，再由，求得的值．

【详解】解：等比数列是递减数列，其前项的积为，若，设公比为，

则由题意可得，且．

，．

又由等比数列的性质可得，．

故答案为：2．

16．如图，已知椭圆E的方程为(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于        ．

【答案】

【分析】首先利用椭圆的对称性和为平行四边形，可以得出、两点是关于轴对称，进而得到；设，，，从而求出，然后由，利用，求得，最后根据得出离心率．

【详解】解：是与轴重合的，且四边形为平行四边形

，

所以、两点的纵坐标相等，、的横坐标互为相反数，

、两点是关于轴对称的．

由题知：

四边形为平行四边形，所以

可设，，

代入椭圆方程解得：

设为椭圆的右顶点，，四边形为平行四边形

对点：

解得：

根据：

得：

．

故答案为：．

四、解答题

17．如图，在平行四边形中，边所在的直线方程的斜率为2，点.求直线的方程.

【答案】

【分析】根据平行关系可得直线的斜率，然后由点斜式可得.

【详解】∵四边形为平行四边形，

∴，∴，

∴直线的方程为，即.

18．双曲线：的两条渐近线互相垂直，右焦点为.

(1)直接写出两条渐近线方程及双曲线的离心率；

(2)若右焦点到渐近线的距离为2，求.

【答案】(1)两条渐近线方程为，离心率为

(2)

【分析】（1）直接写出答案即可；

（2）利用点到直线的距离公式求解即可.

【详解】（1）双曲线：的两条渐近线互相垂直，

所以两条渐近线方程为，其离心率为

（2）因为右焦点到渐近线的距离为2，

所以，所以，所以

19．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；

（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.

【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，

，

；

（2）设的前项和为，，

，①

，②

①②得，

，

.

【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.

20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．

（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；

（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．

【答案】（1）．（2）．

【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，则（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案.

（2）设，0≤λ≤1，计算P（0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC的法向量（1，﹣1，），平面ADF的法向量（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案.

【详解】（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，

又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，

∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点，

∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），

（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），

设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ，

则cosθ，

∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．

（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），

设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），

解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），

（0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0），

设平面APC的法向量（x，y，z），

则，取x＝1，得（1，﹣1，），

平面ADP的法向量（1，0，0），

∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，

∴|cos|，

解得，∴P（0，，），

∴PF的长度|PF|．

【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

21．已知抛物线C：的焦点为F，M为抛物线C上一点，且.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设直线l：与C交于M.N两点，在x轴上是否存在定点P，使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立？若存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由.

【答案】(1) 抛物线C的方程为：；(2) 存在点P(-4,0) 使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立.

【分析】(1)由结合抛物线定义可得点M到抛物线的准线的距离为4，列方程求p，由此可得抛物线方程；(2)设存在P满足条件，联立直线方程与抛物线方程，求交点M，N的坐标关系，并由∠OPM=∠OPN可得直线OM与直线ON的斜率和为0，由此求出P的坐标.

【详解】(1)∵  M为抛物线C上一点，且，

∴M到抛物线C的准线的距离为4，

∴  

∴  

∴ ，

∴抛物线C的方程为：；

(2)设存在x轴上的点，使得∠OPM=∠OPN成立，

则直线MP的斜率与直线NP的斜率之和为0，设，

则，化简可得

联立直线l与抛物线C的方程可得，化简可得，

由已知，为方程的解，

∴  ，，

∴  ，

∴   ，

∴   

∴ 存在点P(-4,0) 使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立.

【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；

(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22．已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设函数，，，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据与的关系可得数列的递推公式，由递推公式可知数列为等比数列，根据等比数列通项公式可得；

（2）先根据裂项相消法求得，然后利用基本不等式可得.

【详解】（1）由已知得...①，

当时，，∴，

当时，...②，

由①-②得：，即，

∴数列是首项、公比为的等比数列，

∴.

（2）∵，

∴

.

∵，

∴，

∴.

∴当时，等号成立，

所以的最大值为.