2022-2023学年江苏省扬州市高二下学期开学考试数学试题含答案

2022-2023学年江苏省扬州市高二下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由双曲线的方程得出和的值，再由离心率公式即可求得结果．

【详解】由题意得，，

所以．

故选：C．

2．在等比数列中，，，则（    ）．

A．3 B．9 C．27 D．81

【答案】B

【分析】根据等比数列通项公式求解.

【详解】由题意，在等比数列中，，，

解得，所以.

故选：B

3．下列求导数运算正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据求导公式以及复合函数求导法则，可得答案.

【详解】选项A，，故A错误；选项B，，故B错误；

选项C，，故C错误；选项D，，故D正确.

故选：D.

4．若直线过二、三、四象限，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】将直线过二、三、四象限,转化为直线在两坐标轴上的截距都小于0可得答案.

【详解】因为直线过二、三、四象限,

所以直线在两坐标轴上的截距都小于0,

所以.

故选:D

【点睛】本题考查了直线方程的截距式,考查了截距的概念,属于基础题.

5．圆与圆的位置关系为（    ）．

A．相交 B．内切 C．外切 D．外离

【答案】B

【分析】由两圆的位置关系计算即可.

【详解】由题意可得，

故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则，

易知，故两圆内切.

故选：B

6．已知函数，则的图象大致为（    ）．

A．   B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】对函数求导利用导函数的正负判断出原函数单调性，通过排除法即可作出判断.

【详解】根据题意可知函数的定义域为，

则，

所以当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减；

根据函数的单调性，结合选项即可知A正确.

故选：A

7．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，由再逐项判断.

【详解】解：因为所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，

所以，即 ，

A． ，则 ，故错误；

B． ，则 ，故错误；

C． ，则 ，故正确；

D． ，则 ，故错误；

故选：C

8．已知数列满足，且，数列满足，，则的最小值为（    ）．

A． B．5 C． D．

【答案】D

【分析】利用等差数列通项公式可求得公差和，采用累加法可求得，再判断单调性即可计算作答.

【详解】由数列满足，，

根据等差数列的定义知，数列是首项为，公差为2的等差数列，

所以，，

当时，，

又满足，，

所以.

设，

根据对勾函数的性质可知，当时，单调递减；当时，单调递增.

又，，

所以，当时，有最小值为.

故选：D.

二、多选题

9．下列四个结论，其中正确的有（    ）．

A．方程与方程表示同一条直线

B．直线恒过定点

C．直线的倾斜角为135°

D．过点，且在两坐标轴上截距相等的直线仅有一条

【答案】BC

【分析】根据的范围即可判断A；根据直线过定点的求法即可判断B；根据直线方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系即可判断C；分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断D．

【详解】对于A，由方程中的，而方程中的，所以两个方程表示不同的直线，故A错误；

对于B，当时，不管为何值，，所以直线恒过定点，故B正确；

对于C，由，则，即直线斜率为，所以其倾斜角为135°，故C正确；

对于D，当直线在坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为，

当直线在坐标轴上的截距都不为0时，可设其方程为，则，解得，此时直线方程为，

所以过点，且在两坐标轴上截距相等的直线有2条，故D错误．

故选：BC．

10．等差数列的前n项和为，且，，，则下列说法中正确的有（    ）．

A． B．

C．当或6时，取最小值 D．

【答案】ACD

【分析】由可判断A；由作差可判断B；先由和可得，则可判断C；由可得，利用等差数列的性质可判断D.

【详解】因为，所以，故A正确；

因为，，所以，故B错误；

因为，，所以，

所以，

因为，所以当或6时，取最小值，故C正确；

由得，，所以，

所以，故D正确.

故选：ACD

11．已知函数，，其中e＝2.71828…，则下列说法中正确的有（    ）．

A．函数与的图象没有交点 B．函数与的最大值相等

C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递增

【答案】ABD

【分析】对于A，令，再利用导数求出其最小值，判断其最小是否大于零即可，对于B，分别利用导数求出两函数的最大值即可，对于C，先对函数求导，再由导数小于零，可求出其单调递减区间，对于D，先对函数求导，再由导数大于零，可求出函数的递增区间.

【详解】对于A，令，则，

令，则，

所以在上递增，

因为，，

所以，使，即，

所以当时，，即，当时，，即，

所以在上递减，在上递增，

所以，即，

即在上恒成立，

所以函数与的图象没有交点，所以A正确，

对于B，，则，

当时，，当时，

所以在上递增，在上递减，

所以的最大值为，

由，得，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以的最大值为，

所以函数与的最大值相等，所以B正确，

对于C，由，得，

令，则，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

因为，，

所以，使，

所以当时，，即，当时，，即，

所以在上递增，在上递减，

所以C错误，

对于D，由，得，

令，则，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，所以，

所以函数在上单调递增，所以D正确，

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考利用导数求函数的最值和单调性，解题的关键是准确求出函数的导数，通过判断导数的正负求出函数的单调区间，考查计算能力，属于较难题.

12．如图，在矩形中，，，（从下到上）将边等分，点在边的延长线上，且，（从左到右）将边等分，记直线与直线的交点为，若，则下列说法中正确的有（    ）．

A．在抛物线上运动

B．在双曲线上运动

C．对任意的，到直线的距离大于

D．记的中点为，则存在，使得

【答案】BC

【分析】以中点为坐标原点建立平面直角坐标系，可利用表示出各点的坐标，由此可得的方程，联立可求得点坐标，整理得到点轨迹方程，知AB正误；利用点到直线距离公式可求得C正确；假设存在满足题意的点，构造方程可得点坐标，可确定不存在满足题意的，知D错误.

【详解】以中点为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，，，，

分别为的等分点，，；

对于AB，直线的方程为：；直线的方程为：；

由得：，即，

，，

，

点在以为焦点，实轴长为的双曲线上，A错误，B正确；

对于C，直线的方程为：，即，

点到直线的距离，

，，，

即对任意的，到直线的距离大于，C正确；

对于D，由题意知：，

设，，；

由得：，解得：，此时，

即，又，，

不存在满足题意的的取值，使得成立，

不存在，使得，D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．若直线与圆相交于两点，则弦的长为      ．

【答案】

【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用垂径定理可求得结果.

【详解】由圆的方程得：圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

.

故答案为：.

14．已知点F为抛物线的焦点，，点P为抛物线上一动点，则的最小值为      ．

【答案】4

【分析】根据抛物线的定义可求最小值.

【详解】如图，过作抛物线准线的垂线，垂足为，连接，

由抛物线的定义可知，

则，当且仅当共线时等号成立，

故的最小值为4.

故答案为：4.

15．已知点P在曲线上，点Q在直线 (其中e为自然对数的底数)上，则PQ长度的最小值为      ．

【答案】

【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.

【详解】设与直线平行的直线的方程为，

∴当直线与曲线相切，且点Q为切点时，，两点间的距离最小，

设切点， ，所以，

，，，

点，直线的方程为，即 ，

两点间距离的最小值为平行线和间的距离，

两点间距离的最小值为.

故答案为：.

四、双空题

16．已知等差数列中，，公差，其前四项中去掉某一项后(按原来的顺序)恰好是等比数列的前三项，则      ；若对任意的正整数n，恒成立，则实数λ的取值范围为      ．

【答案】     3    

【分析】空①：根据分类讨论思想，利用等差数列的定义以及等比数列等比中项的性质，建立方程，可得答案；

空②：写出等差数列以及等比数列的通项公式，利用分离参数的方法，整理不等式，构造函数，利用导数求其单调区间，求得最值，可得答案.

【详解】由题意，可知，，，，

①当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，

则，即，化简可得，解得，不符合题意；

②当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，

则，即，化简可得，解得或，不符合题意；

③当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，

则，即，化简可得，解得或，则符合题意；

④当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，

则，即，化简可得，解得，不符合题意.

故等差数列中首项，公差，则；

故等比数列中，，，公比，则.

由，则，即，令

令，，

令，则，由，则，

当时，；当时，.

的最大值为，则，即.

故答案为：；.

【点睛】关键点睛：本题在解决数列不等式时需用构造函数的方法，明确函数单调区间后，注意的取值为正整数.

五、解答题

17．已知直线，求：

(1)过点且与直线l平行的直线的方程；

(2)过点且与直线l垂直的直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两直线平行得到斜率，再利用点斜式写出方程；

（2）根据两直线垂直得到斜率，再利用点斜式写出方程.

【详解】（1）因为直线的斜率为，

所以与直线l平行的直线的斜率为，

又所求直线过，

所以所求直线方程为，即．

（2）因为直线的斜率为，

所以与直线l垂直的直线的斜率为，

又所求直线过，

所以所求直线方程为，即．

18．已知函数，且．

(1)求实数a的值及曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求f(x)的最大值．

【答案】(1)；

(2)2

【分析】（1）先求导函数，代入即可求值，由导数的几何意义求切线方程即可；

（2）由导函数确定极值，再与端点函数值比较即可.

【详解】（1）由题意可得，所以，即，

所以，，所以，.

所以曲线在点处的切线方程为，即；

（2）由(1)得，

令，则或．

列表得：

所以当时，在时取得极小值，在时取得极大值，且，故的最大值为2.

19．在平面直角坐标系中，圆C的方程为，．

(1)当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；

(2)对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合点到直线得距离公式即可得解；

（2）要使得，则M在线段的中垂线上，从而可得线段的中垂线与圆C有公共点，则有圆心到直线得距离小于等于半径，从而可得出答案.

【详解】（1）当时，圆C的方程为，

圆心，半径，

①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足条件；

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

由直线l与圆C相切，则，解得，

所以l的方程为，即，

综上得，直线l的方程为或；

（2）圆心，，

则线段的中垂线的方程为，即，

要使得，则M在线段的中垂线上，

所以存在点M既要在上，又要在圆C上，

所以直线与圆C有公共点，

所以，解得，

所以．

20．已知数列的前n项和为，，，．

(1)求证：数列为等差数列；

(2)令，证明：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据已知变形，再由等差数列的定义得证；

（2）由数列的前n项和求出通项公式，再利用裂项相消的方法求出数列的前n项和，从而得证.

【详解】（1）因为，

所以，

所以是首项为，公差为2的等差数列.

（2）由(1)得，则，

所以

又符合上式，所以

所以，

所以

.

21．如图，已知椭圆(a>b>0)的离心率为，且过点，设、分别为椭圆C的左、右顶点，点S为直线x＝4上一动点(在x轴上方)，直线交椭圆C于点M，直线交椭圆于点N，记、△MSN的面积分别为、．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若，求点S的坐标．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据条件先求出a与b的关系，再将点代入椭圆方程即可；

（2）运用弦长公式表示出，再根据条件求解.

【详解】（1）因为离心率，即，所以，即，

故椭圆方程为，代入点得，解得，

所以椭圆方程为；

（2）由（1）得：，设，则t>0，直线，直线，

由 ，得，

解得，，即，

同理，由 ，可得，

， ，

，，

所以

，

所以，即，所以或，

又t>0，所以S的坐标为或；

综上，椭圆方程为，S的坐标为或.

【点睛】本题第二问的难点是两个三角形面积的计算，解题关键是如何表示两个三角形的面积，简化运算.

22．已知函数，其中e＝2.71828…．

(1)若，当时，求的极大值；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先对函数求导得，再令，求导得当，，则得在上单调递减，再由可求出的单调区间，从而可求出函数的极值；

（2）将问题转化为，恒成立，构造函数，求导后取正的零点，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求得，再次构造函数，求导后求出其单调区间，从而可求出结果.

【详解】（1）当时，，．

则，

观察得．

令，，则，

所以在上单调递减，

又，所以当时，，则；

当时，，则，

所以在上单调递增；在上单调递减，

所以的极大值为，

（2）由题意得，，

所以，恒成立，

记，则

由有一正一负根，记该正根为，则，

当时，，递减，当时，，递增，

所以   （*）

记 ()，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

又因为，

所以的解集为，即．

由在上单调递增可知，，

所以．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的极值，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为，恒成立，然后构造函数，利用导数求其最小值不小于零即可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.