2022-2023学年黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据斜率公式计算可得.

【详解】设该直线的倾斜角为，直线的方程为，所以则该直线的斜率为，所以.

故选：B.

2．已知，则（    ）

A．（-1，3，-1） B．（3，1，7）

C．（1，3，1） D．（1，-3，1）

【答案】D

【分析】利用空间向量的坐标运算，即向量坐标等于终点坐标减去起点坐标，可得结果.

【详解】因为，所以.

故选：D.

3．圆心为，且与x轴相切的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据条件得出圆的半径，然后可得答案.

【详解】因为圆心为，且与x轴相切，所以此圆的半径为，

所以圆的方程为，

故选：B

4．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，设棱长，由向量法可得.

【详解】如图，以AB、AD、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则

则

因为

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：A

5．圆与圆的位置关系为（    ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

【答案】B

【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可判断.

【详解】解：圆的圆心为，半径，

圆的圆心为，半径，

所以，则，

所以圆与圆相交.

故选：B

6．如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由M，N在线段OA，BC上的位置，用，，表示，，进而表示出.

【详解】因为，所以，

又因为点N为BC的中点，所以，

所以.

故选：D.

7．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由渐近线判断与的关系，进而得到与的关系，从而得到离心率.

【详解】由双曲线方程得知：双曲线的焦点在轴上，由渐近线方程知：

即：，即：，又，∴，

，∴.

故选：B.

8．已知抛物线，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得．

【详解】如图，作与准线垂直，垂足分别为，则，

，当且仅当三点共线即到重合时等号成立．

故选：B．

二、多选题

9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】利用向量线性关系、数量积、模长的坐标运算判断各项正误.

【详解】由题设，，A错误；

，B正确；

，C正确；

，D错误.

故选：BC

10．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．圆的圆心为

B．圆的半径为5

C．点不在圆上

D．圆关于对称

【答案】BD

【分析】将圆的一般方程化成标准方程，求得圆心半径，判断出A错误、 B正确；将点带入圆的方程，满足方程判断点在圆上，故C错误；在直线上，所以圆关于对称.

【详解】可化为：，

所以圆的圆心为，半径为5，故A错误、 B正确；

因为，所以点在圆上，故C错误；

因为圆心为在直线上，所以圆关于对称，故D正确；

故选：BD.

11．已知直线，其中，则（       ）

A．若直线与直线平行，则

B．当时，直线与直线垂直

C．直线过定点

D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等

【答案】BC

【分析】由两直线平行可求得实数的值，可判断A选项；利用直线垂直与斜率的关系可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；当时，求出直线的截距式方程，可判断D选项.

【详解】直线的斜率为.

对于A选项，若直线与直线平行，且直线的斜率为，

则，解得或，A错；

对于B选项，当时，直线的方程为，直线的斜率为，

直线的斜率为，

所以，当时，直线与直线垂直，B对；

对于C选项，对于直线，由，可得，则直线过定点，C对；

对于D选项，当时，直线的方程为，即，

所以，当时，直线在两坐标轴上的截距相反，D错.

故选：BC.

12．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的内切圆与轴相切于点

C．若，则的离心率为

D．若，则的方程为

【答案】BCD

【分析】对于A，根据题意可得，从而可进行判断，对于B，根据双曲线的性质和内切圆的性质分析计算，对于C，由已知结合双曲线的定义可求出，再利用椭圆的定义可求出，从而可求出离心率，对于D，利用勾股定理和双曲线的性质列方程可求出，从而可求出，进而可求出椭圆方程.

【详解】由双曲线的方程，可知，所以，故A不正确；

由双曲线的定义，可知，设切点为，由内切圆的性质，可得，又，所以，故的内切圆与轴相切于点，（双曲线的焦点三角形的内切圆与轴相切于点）．故B正确；

因为，，所以，所以，即，所以的离心率为，故C正确．

因为，所以，又，所以，即，

所以，所以，

所以，又，所以，椭圆的方程为．故D正确．

故选：BCD

三、填空题

13．已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则=___________．

【答案】2

【分析】根据空间向量的坐标运算与数量积公式求解即可

【详解】因为，

故答案为：2

14．已知直线则与的距离___________.

【答案】##1.5

【分析】根据平行线距离公式直接计算即可.

【详解】因为，则与的距离，

故答案为：

15．已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的周长为16，则___________.

【答案】5

【分析】设焦距为2c，根据题意和椭圆的定义可得，结合计算即可得出结果.

【详解】设焦距为2c，因为的周长为16，

所以，化简得①.

又，所以，

可得②，由①②，解得.

故答案为：5

16．已知双曲线恰好满足下列条件中的两个：①过点；②渐近线方程为；③离心率．则双曲线C方程为______．

【答案】

【分析】利用渐近线以及离心率的定义，列出方程求解即可.

【详解】若选②③，，得，又，化简得，

可得，不符题意，故选②③错；

若选①③，，得，过点，得，又由，得到，无解，故选①③错；

若选①②，，化简得，又由且过点，得，解得，

故此时，双曲线C方程为

故答案为：

四、解答题

17．已知的三个顶点的坐标分别为，，.

（1）求边上中线所在直线的方程；

（2）求边上高所在直线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求得中点坐标后可得中线斜率，由点斜式可得直线方程；

（2）根据垂直关系可求得，由点斜式可得直线方程.

【详解】（1）中点为，，

直线方程为：，即；

（2），，

直线方程为：，即.

18．求满足下列条件的曲线的标准方程：

(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为的椭圆的标准方程；

(2)准线方程为的抛物线的标准方程；

(3)焦点，，一个顶点为的双曲线的标准方程.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由长轴长和离心率求出，进而求出的值，得椭圆的标准方程；

（2）由准线方程得，得抛物线方程；

（3）由顶点坐标和焦点坐标得，的值，求得，得双曲线的方程.

【详解】（1）由已知，，，得：，，

从而.

所以椭圆的标准方程为.

（2）抛物线的准线方程为，

所以抛物线的焦点在轴的正半轴，且焦点到准线的距离是，

所求抛物线的标准方程为：

（3）设双曲线方程为，

由题设可得，故，故双曲线方程为.

19．已知空间向量．

(1)若，求

(2)若，求实数k的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量的共线，列出比例式，可得答案；

（2）求出向量的坐标，根据可得数量积为0，即得关于k的方程，解得答案.

【详解】（1）由题意知，

∵，∴，解得：，

故，故．

（2）因为，

，

由得

即，解得．

20．如图，已知平面，底面为矩形，，分别为，的中点．

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，从而得，进而可证明平面；（2）由题意，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，对应的平面向量，求出平面的法向量，由向量的夹角公式代入求解.

【详解】（1）取的中点，连接，，∵，分别为，的中点，∴且，又为的中点，底面为矩形，∴且，∴且，故四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面

（2）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，所以，故，设平面的法向量，则，得，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为.

21．已知圆C：，直线l：.

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.

（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.

【详解】（1）由圆：，可得，

其圆心为，半径，

若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.

（2）由（1）知：圆心到直线的距离，

因为，即，解得：，

所以，整理得：，解得：或，

则直线为或.

22．椭圆：（），离心率为，过点.

(1)求椭圆方程；

(2)若椭圆左顶点为，过点的直线与椭圆交于不与D重合的、两点，求.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据求得，然后可得方程.

（2）设直线方程并按斜率是否存在进行讨论，结合韦达定理并表示，计算即可.

【详解】（1）由题可得，

解得，

∴椭圆方程为；

（2）当直线斜率不存在时，，，，

∴，

当直线斜率存在时，设直线方程为，，

由，得，

，

∴，，

∴

综上，的值为.