江苏省连云港市赣马高级中学2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题及答案

连云港市2022-2023学年第一学期高二期末考试模拟卷02

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 经过两点，的直线的倾斜角为，则(    )

A.  B.  C.  D.

1. B 【分析】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及由两点求直线的斜率，此题属于基础题型．

首先根据斜率公式求直线的斜率，再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，进而求出的值．

【解析】因为直线经过两点，，所以直线的斜率，

又因为直线的倾斜角为，所以，所以．故选．

2. 在平面直角坐标系中，直线过点，且被圆：截得的弦长为，则直线的方程为（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

2. C【解析】由已知，圆心O到直线l的距离，当直线的斜率不存在时，

此时直线的方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式得，解得，此时方程为. 故选C.

3. 若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. A 【分析】本题考查抛物线的定义、标准方程及几何性质，属基础题．

根据抛物线的定义，将转化为到准线的距离即可求解．

【解析】设抛物线上点到准线的距离为，则有，抛物线的方程为，

即，其准线方程为．当在抛物线的顶点时，有最小值，即的最小值为．故选A． 

4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. C【解析】如图，作于点于点B，因为与圆相切，

所以，在中，，所以．又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：

所以，整理得，所以，所以双曲线的渐近线方程为．故选C．

5. 已知等比数列中，若成等差数列，则公比(    )

A.  B. 或 C.  D.

5. B 【分析】本题考查了等比数列的通项公式及等差中项的应用问题，是基础题．

根据三个数成等差数列列出等式，结合等比数列的通项公式，列出方程即可求出公比的值．

【解析】设等比数列的公比为，，，成等差数列，，

，，解得或．故选B．

6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天才到达目的地”则此人第天和第天共走的路程为(    )

A. 里 B. 里 C. 里 D. 里

6. C 【分析】本题考查数学文化与等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．

根据题意可得每天行走的里程构成等比数列，求出首项，进而可求其第四五项的和．

【解析】设每天行走的里程数组成的数列为，则数列是公比为的等比数列，

所以里，故里，所以里，

故选C．

7. 下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

7. B【解析】因为，故A错；因为，故B正确；

因为，故C错；因为，故D错．故选B.

8. 若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. C 【分析】本题主要考查了导数的几何意义，考查利用导数判断方程根的个数，以及利用导数研究函数的极值，属于中档题．首先求函数在切点处的切线方程，在根据条件转化为函数与有个交点，即可求参数的取值范围．

【解析】，设切点，所以在点处的切线方程为，

因为切线过点，所以，整理为，

即，设，则，

当时，；当或时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增，

则函数的极大值是，函数的极小值是，

若函数与有个交点，则，即．

实数的取值范围是．故选C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知直线，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则m=-1或m=3 B. 若，则m=3

C. 若，则 D. 若，则

9. BD【解析】直线，则，解得或，但时，两直线方程分别为，即，两直线重合，只有时两直线平行，A错，B正确；

，则，，C错，D正确．故选BD．

10. 在等差数列中，，，则___________

10. 11【解析】由，，又为等差数列，得，

，解得，则．故答案为11．

11. 等差数列中，为其前n项和，，，则以下正确的是(    )

A.  B.

C. 的最大值为 D. 使得的最大整数

11. ABD 【分析】本题主要考查等差数列前n项和公式和通项公式，以及数列的函数特性.

设等差数列的公差为d，根据，，列出关于d的等式，可求d，进而表示出、，从而对各个选项逐一分析即可得出结果.

【解析】设等差数列的公差为d，因为，

所以，解得，故A正确；

所以，，，

所以有，故B正确；

令，解得，因为，所以为递减数列，所以时时则时，最大，故C错误；

由于，令，解得，

所以使得的最大整数是，故D正确.故选

12. 阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（    ）

A. 若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上

B. 若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为

C. 若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值

D. 一般情况下，阿基米德三角形的面积

12. ABC【解析】由题意可知：直线一定存在斜率，所以设直线的方程为：，

由题意可知：点，不妨设，由，所以直线切线的方程分别为：，

两方程联立得：，解得：，所以点坐标为：，

直线的方程与抛物线方程联立得：.

A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为 ，

因为过抛物线的焦点，所以，而，

显然点一定在抛物线的准线上，故A选项正确；

B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，

即，

因为 ，所以化简得：，此时， 点坐标为：，

因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，所以，因此正三角形的边长为，

所以正三角形的面积为，故B选项正确；

C：阿基米德三角形为直角三角形，当时，

所以，

直线的方程为：，所以点坐标为：，点 到直线的距离为：

，

，因为，所以 ，因此直角的面积为：，

当且仅当时，取等号，显然其面积有最小值，故C选项正确；

D：因为，所以，

点到直线的距离为：

所以阿基米德三角形的面积，

故D选项不正确. 故选ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知直线，则当时，直线的倾斜角为__________．

13. 【解析】当时，，斜率，所以直线的倾斜角为．

14. 双曲线上的点F到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为__________.

14. 21 【分析】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的标准方程与定义的应用，属于基础题．

由双曲线的定义求解即可.

【解析】，，，，，

双曲线 上的点F到一个焦点的距离为11，设点F到另一个焦点的距离为x，可知，

由双曲线的定义，得，解得或舍去，故答案为

15. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则__________.

15. 4 【分析】本题考查双曲线与椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.

求出椭圆的焦点坐标，然后利用双曲线的焦点坐标列出关系式求解即可．

【解析】椭圆的焦点坐标，椭圆与双曲线有共同的焦点，

可得，解得故答案为

16. 已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是________．

16. 【解析】函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，

等价于在上有零点，

令

则，所以在上，，单调递增，

在上，，单调递减，则，又，

，，

因，又，则，

所以①②

解得．故答案为．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知圆C的圆心在x轴正半轴上，且圆C与y轴相切，点在圆C上.

（1）求圆C的方程；

（2）若直线l：与圆C交于A，B两点，且，求实数m的值.

17. 【解析】（1）由题意设圆心坐标为，，半径，

因为点P在圆上，所以，即，，

解得：，所以圆C的方程为：；

（2）由（1）得圆心到直线l的距离，半径，

所以弦长，即，

整理得：，即，所以，整理，

解得：或，都符合题意，所以m的值或.

18. 已知双曲线C1：-=1．

（1）若点M（3，t）在双曲线C1上，求M点到双曲线C1右焦点的距离；

（2）求与双曲线C1有共同渐近线，且过点（-3，2）的双曲线C2的标准方程．

18. 【解析】（1）双曲线C1：-=1的右焦点为（4，0），

点M（3，t）在双曲线C1上，可得t2=12（-1）=15，

则M点到双曲线C1右焦点的距离为=4；

（2）与双曲线C1有共同渐近线，可设双曲线C2的方程为-=m（m≠0，m≠1），

代入点（-3，2），可得m=-=，

则双曲线C2的标准方程为x2-=1．

19. 记是等差数列的前n项和，若，

（1）求的通项公式，并求的最小值；

（2）设，求数列的前n项和

19. （1）设的公差为d，则，，

，，

由得，，2，3，4时，时，，

的最小值为

（2）由（1）知，当时，

时，，，

当时，

当时，，

20. 数列的前项和为，，，等差数列的公差大于0.已知，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

20. 【解析】（1）因为，所以，

所以，即，

当时，，所以，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以.

（2）设公差为，由，得，

因为成等比数列，所以，即，

解得或（舍去），所以，所以.

所以，

因为，

所以.

21. 已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的极值点个数.

21. 【解析】（1）依题意，，故，

又，故所求切线方程为.

（2）依题意.

令，则，且当时，当时，，

所以函数在单调递减，在单调递增，，

当时，恒成立，.

函数在区间单调递增，无极值点；

当时，，

故存在和，使得，

当时，，当时，，

当时，，所以函数在单调递减，在和单调递增，

所以为函数的极大值点，为函数的极小值点.

综上所述，当时，无极值点；当时，有个极值点.

22. 已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若对于任意的，恒成立，求的最小值.

22. 【解析】（1）因为，所以，.令，得.

当时，；当时，.

故的单调速增区间是，单调递减区间是.

（2）.

因为，，又，所以，则.

令，则在上单调递增.

因为当时，，所以.

因为，所以，使得.

且当时，，则，当时，，则，

所以在上单调递增，在上单调递减.

故.

由，得.

由，得，即.

结合，得，所以.令.则，

所以在上单调递增，所以，即.

故的最小值为.