2022-2023学年山西省忻州市高二下学期期中联考数学试题含答案

2022-2023学年山西省忻州市高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．甲工厂有80名工人，乙工厂有60名工人，丙工厂有70名工人，现从中选取1人参加技术培训，则不同的选法有（    ）

A．180种 B．210种 C．240种 D．270种

【答案】B

【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案.

【详解】依题意可知，不同的选法有种.

故选：B

2．已知等比数列满足，，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据等比数列的性质得到，设出公比，从而得到，得到答案.

【详解】因为，所以，

设的公比为，则，

则，负值舍去，

故.

故选：C

3．已知，且，则（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.8

【答案】C

【分析】根据二项分布期望、方差公式及已知列方程求即可.

【详解】由题设，，则，

所以.

故选：C

4．某同学求得的一个离散型随机变量的分布列为（    ）

若，则（    ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

【答案】B

【分析】根据概率之和为、离散型随机变量的期望公式列出方程组求解即可.

【详解】由题意可得，，

即，所以.

故选：B

5．某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ）

A．1080种 B．720种 C．660种 D．600种

【答案】A

【分析】讨论使用的颜色种数计算即可.

【详解】若使用五种颜色，即每个面一种颜色，则有种方案；

若使用四种颜色，即面AED与面FBC同色，则有种方案.

故不同涂色方案有720+360=1080种.

故选：A

6．已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将两个函数作差，得到函数，再求出函数的最小值即可求出结果.

【详解】设，

则，

当时，，当，，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，取得最小值，

所以的最小值为，

故选：D.

7．甲、乙两艘潜艇同时对军舰进行射击，两艘潜艇击中军舰的概率分别为0.6，0.7.军舰被一艘潜艇击中就被击沉的概率为0.3，被两艘潜艇击中就被击沉的概率为0.5，则军舰被击沉的概率为（    ）

A．0.517 B．0.42 C．0.46 D．0.348

【答案】D

【分析】设A表示“军舰被击沉”，事件表示“军舰被i艘潜艇击中”（ ），根据题意分别求出，再由全概率公求解即可.

【详解】设A表示“军舰被击沉”，事件表示“军舰被i艘潜艇击中”（ ）.

，

，

.

故选：D

8．“杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一．如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第12条斜线上，最大的数是（    ）

A．35 B．36 C．56 D．70

【答案】C

【分析】根据杨辉三角的规律再向下写出4行，找出第12条斜线上的数，比较大小可得答案.

【详解】杨辉三角第8行的数据为：1  7  21  35  35  21  7  1，

第9行的数据为：1  8  28  56  70  56  28  8  1，

第10行的数据为：1  9  36  84  126  126  84  36  9  1，

第11行的部分数据为：1  10  45  ……，

第12条斜线上的数为：1 10 36 56 35 6，所以最大的数是56.

故选：C.

二、多选题

9．在某次数学测试中，学生的成绩，则（    ）

A． B．若越大，则越大

C． D．

【答案】AC

【分析】根据正态曲线的对称性结合选项逐个分析可得答案.

【详解】因为，所以，A正确；

当时，，当时，，B不正确；

因为，所以，C正确；

根据正态曲线的对称性，D不正确.

故选：AC.

10．由数字0，1，2，3组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是（    ）

A．可以组成18个不同的数

B．可以组成8个奇数

C．可以组成12个偶数

D．若数字1和2相邻，则可以组成8个不同的数

【答案】ABD

【分析】A先排千位，再排其它三位；B、C分步分类计数求出奇数个数，即可得偶数个数即可判断；D分千位为3、千位、百位为1和2两种情况求个数，结合排列、组合数求四位数的个数.

【详解】A：千位的选法有，其它三位任意排有，故组成不同的数有个，正确；

B：奇数个数：先把1或3安排到个位有种，则千位有种，其它数位有种，共有个，正确；

C：由B知：偶数有个，错误；

D：当千位为3，将1和2全排有种，作为整体与0全排有种，则有个；

当千位、百位为1和2有种，再将0和3作全排有种，则有个；

所以可以组成8个不同的数，正确.

故选：ABD

11．甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据全概率公式及条件概率概率公式计算可得.

【详解】因为，，，

若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，故A正确；

若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，

若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，

所以

，故B正确；

因为，所以，

所以，故C错误；

，故D正确；

故选：ABD

12．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图2所示的空间直角坐标系，则（    ）

A．

B．点的坐标为

C．O，E，F，A四点共面

D．直线CE与直线DG所成角的余弦值为

【答案】BCD

【分析】先求出正方形的对角线从而可得；根据即可得出点的坐标；判断是否可以用表示即可判断C；利用向量法即可判断D.

【详解】由题意正方形的对角线，

则，

则，故A错误；

因为，则，故B正确；

对于C，，

则，

所以，

又为三个向量的公共起点，所以O，E，F，A四点共面，故C正确；

由，得，

则，

则，

所以直线CE与直线DG所成角的余弦值为，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．抛物线上的点到焦点的距离为，则      .

【答案】

【分析】由抛物线的定义可得出关于的等式，即可解得的值.

【详解】抛物线的准线方程为，

由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离为，

解得.

故答案为：.

四、双空题

14．已知展开式的二项式系数和为512，则n＝      ；展开式中的系数为      ．

【答案】         

【分析】根据二项式系数的性质，得的，求得的值，再由二项展开式的通项，进而求得展开式中的系数.

【详解】因为二项式 展开式的二项式系数和为，

由二项展开式的二项式系数的性质，可得，解得，

又由展开式的通项为，

令，可得，

所以展开式中的系数为.

故答案为：9；.

五、填空题

15．2023年2月6日，土耳其发生7.8级地震，我国在第一时间派出救援队进行救援.已知某救援队共有8人，根据救灾安排，该救援队需要安排救援人员到三个地区实施救援，每个地区至少安排2人，每人只去一个地区，则共有     种安排方案.

【答案】2940

【分析】讨论分派人数的情形，利用排列组合知识计算即可.

【详解】人数分配有2，2，4和3，3，2两种情形，所以共有种安排方案.

故答案为：2940

16．已知函数有两个极值点，（），且，，则      .

【答案】

【分析】求导，由导函数等于0，得到，，将与相减，结合两根之和，两根之积得到答案.

【详解】由，得，，，可得.

因为，，

所以两式作差得，

即，

因为，所以，故方程两边同除以得，

则，

所以，解得.

故答案为：．

六、解答题

17．设等差数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，可求出，则可出公差，从而可求出的通项公式；

（2）由（1）得，然后利用裂项相消求和法可求得结果.

【详解】（1）因为是公差为的等差数列，所以.

又因为，所以.

设的公差为d，则.

故.

（2）因为，

所以.

18．A，B，C，D，E这5个家庭的子女人数如下表所示：

(1)若从这些子女中随机选一人，已知选到的是女孩，求该女孩来自E家庭的概率；

(2)若从这5个家庭中任选3个家庭，记女孩比男孩多的家庭数为X，求X的分布列及期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，期望为1.2

【分析】（1）表示选到女孩，表示选到对应家庭的孩子，应用贝叶斯公式求概率即可；

（2）列举出任选3个家庭的情况并写出对应女孩比男孩多的家庭数，即得可能取值，进而求对应概率值，写出分布列并求期望.

【详解】（1）由题设，表示选到女孩，表示选到对应家庭的孩子，

所以，，，

由，则.

所以选到的是女孩，求该女孩来自E家庭的概率.

（2）由题意，5个家庭中任选3个家庭有，

对应女孩比男孩多的家庭数为，

所以取值可能为，且，

故的分布列为

所以.

19．从1，2，3，4，5，6中任取5个数字，随机填入如图所示的5个空格中.

(1)若填入的5个数字中有1和2，且1和2不能相邻，试问不同的填法有多少种？

(2)若填入的5个数字中有1和3，且区域，，中有奇数，试问不同的填法有多少种？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）应用分步计数，从其余4个数选3个数全排，再把1和2插入其中求结果.

（2）应用间接法，先求出有1和3且区域，，中无奇数的填法数，再求出所有可能的填法数，然后作差即可得结果.

【详解】（1）首先从其它4个数中任选3个并作全排有种，

3个数中共有4个空，将1和2插入其中两个空有种，

所以共有种填法.

（2）若区域，，中无奇数，则其它三个数只能为2、4、6且在区域，，上，

所以，共有种，

从2、4、5、6任选3个数有种，再把5个数全排有种，共有种，

综上，填入的5个数字中有1和3且区域，，中有奇数，共有种.

20．为贯彻落实《健康中国行动（2019—2030年）》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，确保2030年学生体质达到规定要求，各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查，现从该校抽取200名学生测量他们的体重，得到如下样本数据的频率分布直方图.

(1)求这200名学生体重的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）.

(2)由频率分布直方图可知，该校学生的体重服从正态分布，其中μ近似为平均数，近似为方差.

①利用该正态分布，求；

②若从该校随机抽取50名学生，记表示这50名学生的体重位于区间内的人数，利用①的结果，求.参考数据：.若，则，，.

【答案】(1)，

(2)①；②

【分析】（1）根据频率分布直方图平均数的求法即可求出，利用方差公式计算即可求解；

（2）由（1）可知，，结合题意给的参照数据即可求出，进而得，利用二项分布求数学期望公式计算即可求解.

【详解】（1）由题意得，

；

.

所以这200名学生体重的平均数为60，方差为86；

（2）①由（1）可知，，

则；

②由①可知1名学生的体重位于的概率为0.6826.

则，

所以.

21．某单位组职员上进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，任何一方率先赢下3局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得2分，失败方得1分，甲，乙两队相互打比赛已知甲队每一局获胜的概率均为．

(1)求甲、乙两队3局结束比赛的概率；

(2)记比赛结束时甲队的得分为，求的分布列和期望．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，分为甲连赢三局与或甲连输三局，即可得到结果；

（2）根据题意可得的可能取值为，然后分别求出其对应的概率，然后由期望的计算公式即可得到期望.

【详解】（1）根据题意可知，若甲、乙两队3局结束比赛，则甲赢三局或甲输三局，

所以，

故甲、乙两队3局结束比赛的概率为.

（2）根据题意可知，的可能取值为，

则，

，

，

，

，

所以的分布列为

则.

22．已知函数.

(1)若曲线在点处的切线方程为，求m，n；

(2)若在上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，，与切线方程为比较可得答案；

（2）求出，分、、、讨论，利用导数判断单调性结合零点个数可得答案.

【详解】（1）因为，所以，

因为，所以，

由，得．

（2）因为，，所以，

（1）若，则，在上为增函数，

所以在上只有一个零点，不合题意；

（2）当，设，

，

当时，，即在上单调递增，，

①若，因为，所以，当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，，

所以在上有且只有一个零点，不合题意；

②若，则，易知，，，

且在上单调递减，在上单调递增，

所以，又，

所以根据零点存在性定理，在上有且只有一个零点，

又在上有且只有一个零点0，

所以，当时，在上有两个零点；

③当时，，，，，

且在上单调递减，在上单调递增，

因为在上有且只有一个零点0，

所以，若在上有两个零点，则在上有且只有一个零点，

又，所以，即，所以，

即当时，在上恰有两个零点，

综上所述，m的取值范围为.

【点睛】方法点睛：本题考查利用导数解决函数零点个数的求参数的问题，解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用导数研究函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可，考查了分析问题、解决问题的能力．