2022-2023学年山西省忻州市名校高一下学期4月期中联考数学试题含答案

2022-2023学年山西省忻州市名校高一下学期4月期中联考数学试题

一、单选题

1．已知复数，则复数的虚部为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算求解即可.

【详解】因为，

所以复数的虚部为，

故选：B

2．`已知向量，，，则实数k的值为（    ）

A． B． C．6 D．2

【答案】C

【分析】根据两向量垂直向量积为0，得到关于的方程，进行求解.

【详解】解：因为，故，即，解得.

故选：C.

3．在中，，，，则角C的度数为（　　）

A．135° B．45° C．45°或135° D．120°

【答案】C

【分析】根据三解形面积公式即可求解．

【详解】的面积为

所以，又故或

故选：C

4．如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高相等，下面部分的体积为，则这个漏斗的容积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，即可得到答案；

【详解】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，

故个漏斗的容积为，

故选：A

5．在中，若，，，则此三角形解的情况为（       ）

A．无解 B．两解

C．一解 D．解的个数不能确定

【答案】C

【分析】根据正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可得出结论.

【详解】由正弦定理，得，

得，

因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.

故选：C.

6．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（    ）

A．5m B．15m C．5m D．15m

【答案】D

【分析】在中，由正弦定理，求得，再在中，即求.

【详解】在△BCD中，，

由正弦定理得，

解得(m），

在Rt△ABC中，(m).

故选：D

7．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式．用该术可求得圆周率的近似值．现用该术求得的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为（    ）

A． B．3 C． D．9

【答案】D

【分析】先根据体积V的近似公式，可求出的近似值3，再根据所求圆锥的表面积，可列出等式关系，求出底面圆的半径，由该圆锥的底面直径和母线长相等，可求出圆锥的高，进而求出体积即可.

【详解】先求圆周率的近似值：

已知圆锥的底面周长L与高h，其体积V的近似公式．

设底面圆的半径为，则，可得，

所以，整理得.

再来计算所求圆锥体积的近似值：

该圆锥的底面直径和母线长相等，其表面积的近似值为27，

设该圆锥的底面半径为，母线长为，高为，

，解得.

又，所以，

所以所求圆锥体积.

故该圆锥体积的近似值为9.

故选：D.

8．已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（    ）

A．13 B． C．5 D．

【答案】A

【分析】建立直角坐标系，可以表示出的坐标，再设点，即可用与表示出，即可求出答案.

【详解】建立如图所示坐标系，

则点，

设点，且，

则

故当 时，有最大值为13

故选：A.

二、多选题

9．已知与是共轭复数（虚部均不为），下列结论中一定正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】设，，根据复数四则运算、模长运算依次判断各个选项即可.

【详解】设，，

对于A，，，

当时，与无法比较大小，A错误；

对于B，，，

，B正确；

对于C，，C正确；

对于D，，

当时，，D错误.

故选：BC.

10．若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABC

【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，依次求解即可.

【详解】A：在中，，故A正确；

B：，故B正确；

C：，故C正确；

D：，故D错误.

故选：ABC.

11．在中，角的对边分别为，，，，，，且满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的面积为

C． D．为锐角三角形

【答案】AB

【解析】已知等式利用正弦定理边化角，结合三角形的内角与两角和差公式化简得到，大角对大边，所以，再利用余弦定理可解三角形，利用面积公式可得到的面积.

【详解】∵，∴，

∴，

即，∴．

∵在中，，∴，∴，A正确．

由余弦定理，得得，

，即，

解得或，又，∴，C错误，

∴的面积，B正确．

又，∴A为钝角，为钝角三角形，D错误．

故选：AB.

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和面积公式在解三角形中的灵活运用，属于中档题.

12．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，则（    ）

A．水的部分始终呈棱柱状

B．水面四边形EFGH的面积为定值

C．多面体的表面积不变

D．若，则是定值

【答案】AD

【分析】根据棱柱的几何结构特征，以及棱柱截面性质和柱体的表面积公式，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由于四边形与四边形全等，各条侧棱相互平行，

由棱柱的定义可知，水的部分始终呈棱柱状，所以A正确；

对于B中，因为水面四边形为矩形，所以水面四边形的面积等于，因为水面四边形的边长不变，在变化，所以水面四边形的面积在变化，所以B错误；

对于D中，由于水平放置时，水的体积是定值，水的高度是定值，底面面积不变，所以当一部分上升的同时，另一部分下降相同的高度，

设，则，所以为定值，

所以当时，是定值，所以D正确；

对于C中，因为棱柱的体积不变，高为不变，故其底面积不变，

由D知，当时，是定值，但不是定值，

故底面周长不是定值，故侧面积不是定值，故表面积不是定值，所以C错误.

故选：AD.

三、填空题

13．已知向量，则的夹角为         ．

【答案】

【分析】设，的夹角为，则，利用数量积的定义，将已知代入即可得到答案.

【详解】设，的夹角为，则，

又，，所以，

所以，又，故．

故答案为：

14．若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为           .

【答案】100

【分析】根据正四棱台的结构特征，借助其高、斜高、两底面对应边心距构成的直角梯形求出斜高即可计算得解.

【详解】因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底、下底面边心距分别为1，4，

而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高，

因此，侧面积，

所以所求的侧面积为100.

故答案为：100

15．三角形中，是边上一点，，，且三角形与三角形面积之比为，则          .

【答案】

【分析】根据角平分线定理可得，再两次利用余弦定理即可得答案；

【详解】因为为的平分线，故.

又，整理得，

所以，故.

又，则.

故答案为：.

【点睛】本题考查角平分线定理和余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

16．如图，一块边长为4cm的正方形纸片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形和一个正方形做成一个正四棱锥，则该正四棱锥的体积为      ．

【答案】

【分析】设正方形纸片为，其内的小正方形为，取，的中点分别为，连接，对称性可知，从而求出的长，从而得到正四棱锥中的斜高，从而可求出其高，得到体积.

【详解】如图设正方形纸片为，其内的小正方形为，做成的正四棱锥为

取，的中点分别为，连接

由题意，,由对称性可知，

所以，所以

即在正四棱锥中，，又

所以

所以正四棱锥的体积为

故答案为：

四、解答题

17．已知非零向其和不共线.

(1)如果，求证：三点共线；

(2)欲使向量与平行，试确定实数的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，化简得到，结合向量的共线定理，即可证得三点共线；

（2）根据题意得到成立，列出方程组，即可求解.

【详解】（1）证明：因为

可得，所以，且为非零向量，

所以与共线，所以三点共线.

（2）解：因为与平行，且两向量都为非零向量，

所以存在实数使得成立，即，

因为和不共线，所以，解得.

18．如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求：

(1)三棱锥的表面积；

(2)三棱锥的体积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接按照锥体表面积计算即可；

（2）利用正方体的体积减去三棱锥，，，的体积即可.

【详解】（1）∵是正方体，

∴，

∴三棱锥的表面积为．

（2）三棱锥，，，是完全一样的．

且正方体的体积为，故．

19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

(1)求角A；

(2)若，BC边上的高为，求c.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解；

（2）利用三角形面积公式和余弦定理求解即可.

【详解】（1）由已知条件得,

由正弦定理得，

∵，∴，∴，

又∵, ∴, ∴,∴;

（2）由三角形面积公式得

∵，，

∴，即，

由余弦定理得, 将代入可得，

解得或（舍去），

故.

20．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，

(1)求该圆锥的侧面积；

(2)求圆锥内半径最大的球的体积

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆锥的高为h，根据圆锥的底面半径为6，其体积为，求得h，进而得到母线长，再利用圆锥的侧面积求解；

（2）由球为圆锥的内切球时，球的半径最大求解.

【详解】（1）解：设圆锥的高为h，

因为圆锥的底面半径为6，其体积为，

所以，

解得，

则圆锥的母线为，

所以圆锥的侧面积为；

（2）如图所示：

当球为圆锥的内切球时，球的半径最大，

由图象知：，

解得 ，

所以圆锥内半径最大的球的体积是.

21．已知半圆圆心为，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．

(1)直接写出点、、的坐标；

(2)若，求与夹角的大小；

(3)若，当得最小值时，求点的坐标及的最小值．

【答案】(1)，，

(2)

(3)最小值为，点的坐标为

【分析】（1）由图可标出点、、的坐标；

（2）由平面向量数量积运算，结合平面向量的夹角公式求解即可；

（3）设，即可表示出、，再结合平面向量数量积的坐标运算及二次函数的性质计算可得．

【详解】（1）解：因为半圆的直径，所以，，

又，，

则，即．

（2）解：由（1）知，，          

∴.                

则，              

又∵，∴，即与的夹角为.

（3）解：设，                        

由（1）知，，

故，   

∴，

又∵，∴当时，有最小值为，      

此时点的坐标为

22．锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：．

(1)求A；

(2)求面积取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边化角，利用两角和差关系得，即，结合角度范围即可得角A；

（2）根据正弦定理及三角形面积公式转化为关于角的正切函数，根据锐角得角的范围，即可求得面积取值范围．

【详解】（1）解：因为，由正弦定理得：，

因为，

所以，

化简得，所以，

因为，所以，

（2）解：由正弦定理，得

又

，

因为锐角，所以解得，则

所以.