山西省忻州市2023届高三上学期第二次联考数学试题（含答案）

高三数学试题

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语､不等式､函数与导数､三角函数与解三角形､平面向量与复数占70%，其他内容占30%.

第I卷

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.

C.    D.

2.已知复数满足，则（    ）

A.    B.

C.    D.

3.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y与时间x的函数图象大致是（    ）

A.    B.

C.    D.

4.“”是“方程表示椭圆”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

5.已知，则（    ）

A.    B.    C.    D.3

6.已知，则的最小值是（    ）

A.4    B.6    C.8    D.16

7.在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

9.《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，则鳖臑外接球的表面积是（    ）

A.    B.    C.    D.

10.已知函数若关于的方程有4个不同的实根，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

11.已知函数在区间上单调，且当时，，则（    ）

A.2    B.4    C.6    D.8

12.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

第II卷

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知向量，若，则__________.

14.已知圆的圆心在直线上，且与直线相切，则圆的方程是__________.（写出一个即可）

15.设等差数列的前项和分别是，且，则__________.

16.在中，内角所对的边分别是，且，点是线段的中点，若，则面积的最大值是__________.

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演步骤..

17.（10分）

在中，内角所对的边分别是，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的最大值.

18.（12分）

如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.

（1）证明：平面平面.

（2）若是棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值.

19.（12分）

已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；

（2）若函数，对任意的恒成立，求的取值范围.

20.（12分）

据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）

（1）若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）

（2）为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投人固定成本200万元，每生产千台空调，需另投人成本万元，且知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.

21.（12分）

已知双曲线的离心率是，点是双曲线的一个焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.

（1）求双曲线的标准方程.

（2）设点在直线上，过点作两条直线，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明：.

22.（12分）

已知函数.

（1）若是的极值点，求的单调区间；

（2）若关于的方程恰有一个解，求的取值范围.

高三数学试题参考答案

1.B  由题意可得，则.

2.A  由题意可得.

3.C  由图可知该青花瓷上､下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图象，C选项符合.

4.B  由方程表示椭圆，得且，则“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.

5.D  因为，所以，则.

6.C  因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.

7.A  由题意可知从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是.

8.B  如图，为圆心，连接，则.因为点在线段上，所以，所以，则，即的取值范围是.

9.A  由题意可知.如图，将鳖臑补全成长方体，则鳖臑外接球的半径，故鳖臑外接球的表面积为.

10.D  如图，画出的图象.设，结合函数的图象可知，当或时，有且仅有1个实根；当时，有2个实根，则关于的方程有4个不同的实

根等价于在内有两个不同的实数根，

从而解得.

11.A  .因为，

所以，则，从而.因为，所以.因为在区间上单调，所以，解得.因为所以.因为，所以或，所以2或.因为，所以.

12.A  设函数，则.由，得；由，得.则在上单调递减，在上单调递增.设，则.由，得；由，得.所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，则，故.因为，所以，所以（当且仅当时，等号成立），所以，即.因为，所以.

13.  由题意可得，则，解得.

14.（答案不唯一）  设圆心，则半径，故圆的方程为

15.  由等差数列的性质可知，则.

16.  因为，所以，所以，所以，所以或，即或.当时，因为，所以，所以，则的面积为；当时，则.设，则.在中，由余弦定理可得，则，故的面积，当且仅当时，等号成立.综上，面积的最大值是.

17.解：（1）因为，所以，

所以，所以，

所以.

因为，所以，所以，解得.

（2）因为，所以.

由正弦定理可得，则.

因为，所以，所以，

所以.

当，即时，取得最大值4，

即的最大值为4.

18.（1）证明：记，则为的中点，连接.

因为四边形是菱形，所以.

因为为的中点，所以.

因为平面，且，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（2）解：因为为的中点，所以.

因为平面，所以平面，则以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，故.

设平面的法向量，

则令，得.

设平面的法向量，

则令，得.

设平面与平面的夹角为，

则.

19.解：（1）由图可知，则.

因为的图象经过点，所以，所以，

所以.因为，所以.

因为的图象经过点，所以，所以.

故.

（2）由（1）可知，

则.

因为，所以，所以，

所以，即的值域为.

因为对任意的恒成立，所以.

20.解：（1）由题意可得，解得.

设经过分钟，这杯茶水降温至，则，

解得（分钟）.

故欲将这杯茶水降温至，大约还需要13分钟.

（2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，

当时，，

当时，取得最大值3400万元；

当时，，

因为，当且仅当时，等号成立，

则当时，取得最大值3380万元.

因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.

21.（1）解：由题意可得解得

故双曲线的标准方程为.

（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设，直线.

联立整理得，

则.

故.

设直线的斜率为，同理可得.

因为直线与直线的倾斜角互补，所以，所以，

则，即，故.

22.解：（1），

因为是的极值点，所以，即，

易知在上单调递增，且.

所以当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增.

所以的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）易知.

令，则恒成立，所以在上单调递增，

且，

故存在，使得.当时，；当时，.

所以当时，单调递减；

当时，单调递增.所以当时，取得极小值.

由，得，则，

因为关于的方程恰有一个解，所以，

则，当时，等号成立，

由，可得.

故的取值范围是.