2022-2023学年山西省吕梁市孝义市高二下学期5月联考数学试题含答案

2022-2023学年山西省吕梁市孝义市高二下学期5月联考数学试题

一、单选题

1．从5名老师和10名学生中各选1人组成一个小组，则不同的选法共有（    ）．

A．15种 B．50种 C．105种 D．210种

【答案】B

【分析】由分步乘法计数原理即可求解.

【详解】根据分步乘法计数原理知，不同的选法共有种．

故选：B

2．若，则（    ）

A．3 B．4 C． D．

【答案】C

【分析】由二项分布的方差公式求解即可.

【详解】因为，所以.

故选：C.

3．已知变量关于的回归直线方程为，相关系数为，则下列选项正确的是（    ）

A．若，则与是正相关

B．若接近，则表示与的相关性很强

C．若，则

D．若变量增大一个单位，则变量就一定增加个单位

【答案】C

【分析】根据回归方程和相关系数的定义逐项判断即可．

【详解】对于A：若，则与是正相关，故A错误；

对于B：若接近，则表示与的相关性很强，故B错误；

对于C：若，则与是正相关，则，故C正确；

对于D：线性回归方程为估计值，不知准确值，故D错误．

故选：C．

4．已知随机变量的分布列为

若，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由概率和为1可确定，即可确定，后由方差性质可得答案.

【详解】由，得，则，．因为，所以．

故选：

5．  的展开式的常数项为（    ）

A．1 B．121 C．-119 D．-120

【答案】C

【分析】利用展开式的来源分析，有两种情况，由于有个括号，个括号中全提供常数，或个括号提供常数，剩下个括号各提供.

【详解】因为 所以 的展开式的常数项为.

故选：C

6．某班书法兴趣小组有6名男生和4名女生，美术兴趣小组有5名男生和5名女生．从书法兴趣小组中任选2人，与原来的美术兴趣小组成员组成新的美术兴趣小组，然后再从新的美术兴趣小组中任选1人，则选中的人是男生的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设“从书法兴趣小组中任选的2人均是男生”，“从书法兴趣小组中任选的2人为1男1女”，“从书法兴趣小组中任选的2人均是女生”，由古典概率公式求出，再由条件概率和全概率公式求解即可.

【详解】记A＝“从新的美术兴趣小组中任选的1人为男生”，

“从书法兴趣小组中任选的2人均是男生”，

“从书法兴趣小组中任选的2人为1男1女”，

“从书法兴趣小组中任选的2人均是女生”，

则，，，

．

故选：C.

7．已知抛物线 直线与交于，两点，直线 与交于，两点，则||+2||的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设A，联立 根据直线经过C的焦点，利用抛物线的定义分别得到和再利用基本不等式求解.

【详解】解：设A，联立   

得x²-4kx-4=0，则，

因为直线经过C的焦点，

所以，

同理可得

所以  +12，

当且仅当时，等号成立.

故选：A

8．放假伊始，8名同学相约前往某门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中角色各1人，角色2人.已知这8名同学中有4名男生，4名女生，店主让他们8人分成两组先后参加游戏，其中角色不可同时为女生，角色至少有一名女生，则他们不同的选择方式共有（    ）

A．2376种 B．4752种 C．9504种 D．1584种

【答案】B

【分析】根据三个角色的要求进行分组，然后计算出他们不同的选择方式.

【详解】分组方法1：一组角色两个男生、角色男女；

另一组角色男女、角色女；

方法数有：.

分组方法2：一组男女；另一组男女；

方法数有：.

所以他们不同的选择方式共有.

故选：B

二、多选题

9．已知，且，则（    ）

附：若，则.

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据正态分布的性质结合题意可得，再根据正态分布的性质可求得的值.

【详解】因为，且，

所以，解得..

故选：AC.

10．在三棱锥A-BCD中， ， ， 两两夹角均为，且若G，M分别为线段AD，BC的中点，则（    ）

A． B．

C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为

【答案】BC

【分析】根据空间向量对应线段的位置及数量关系，用表示出，应用数量积的运算律求向量的模长，根据向量夹角公式、数量积运算律求异面直线夹角.

【详解】

不妨设，则，且，

，

所以，

因为，且，

所以 ，则，

所以异面直线AC与DB所成角的正弦值为

故选：BC

11．如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有（    ）

A．小明可以选择的不同路径共有20种 B．小明与小齐能相遇的不同路径共有12种

C．小明与小华能相遇的不同路径共有164种 D．小明、小华、小齐三人能相遇的概率为

【答案】ACD

【分析】对于A：分析从A到B的路径组成，结合组合数运算求解；对于B：分析小明与小齐能相遇的路径组成，结合组合数运算求解；对于C：讨论小明与小华相遇的点，根据对称性结合组合数运算求解；对于D：根据对称性结合古典概型运算求解.

【详解】对于选项A：小明从A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，

小明可以选择的不同路径共有种，故A正确；

对于选项B：小明与小齐相遇，则小明经过C，

小明从A经过C需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为，

再从C到B需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为，

所以小明与小齐能相遇的不同路径共有种，B不正确；

对于选项C：小明与小华的速度相同，故双方相遇时都走了3步，

则小明与小华相遇的点为正方形过点C的对角线上的四个点，

不同路径共有种，C正确；

对于选项D：小明从A到B的不同路径共有种，小华从B到A的不同路径共有种，

所以一共有400种，

则小明、小华、小齐三人相遇的概率，D正确．

故选：ACD.

12．甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据全概率公式及条件概率概率公式计算可得.

【详解】因为，，，

若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，故A正确；

若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，

若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，

所以

，故B正确；

因为，所以，

所以，故C错误；

，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．已知A与B独立，且，则      ．

【答案】/0.7

【分析】根据相互对立满足的关系，结合条件概率的计算公式即可求解.

【详解】由于A与B独立，所以,

所以.

故答案为:

14．被4除的余数为           .

【答案】1

【分析】根据二项式定理，可得答案.

【详解】因为，且2024可以被4整除，所以余数为1.

故答案为：1.

15．公司要从名男性员工和名女性员工中随机选出人去出差，设抽取的人中女性员工的人数为，则          .

【答案】

【分析】依题意可得，利用古典概型的概率公式计算可得.

【详解】依题意的可能取值为、、、，

所以.

故答案为：

四、双空题

16．《夺冠》这部影片讲述的是中国女排从1981年首夺世界冠军到2016年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的精神．某排球赛采用五局三胜制（先胜三局者获胜），前4局每局25分，第5局15分．在每局的每一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于得分方．经过统计，甲、乙两支球队在前4局比赛中，甲每局获胜的概率为，各局相互独立且互不影响，在第5局每一个回合中，输赢的情祝如下：当甲队拥有发球权时，甲队该回合获胜的概率为，当乙队拥有发球权时，甲队该回合获胜的概率为，那么在第5局开始之前甲队不输的概率为       ；若两支球队比拼到第5局时，甲队拥有发球权，则甲队在前3个回合中至少获得2分的概率为       

【答案】         

【分析】在第5局开始之前甲队不输的情况包括了甲胜，甲胜，甲平，再由分类法计算原理和分步乘法计数原理即可求出甲队不输的概率；在前3个回合中，甲队至少获得2分对应的胜负情况为:胜胜负，胜负胜，负胜胜，胜胜胜，共4种情况，再由分类法计算原理和分步乘法计数原理即可求出甲队不输的概率.

【详解】因为在第5局开始之前甲队不输的情况包括了甲胜，甲胜，甲平，

所以甲队不输的概率．

在前3个回合中，甲队至少获得2分对应的胜负情况为:胜胜负，胜负胜，负胜胜，胜胜胜，共4种情况，

对应的概率分别记为，

则，，，

所以甲队在前3个回合中至少获得2分的概率．

故答案为：；.

五、解答题

17．2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月20日在卡塔尔正式开赛，该比赛吸引了全世界亿万球迷观看.为了了解喜爱观看世界杯是否与性别有关，某体育台随机抽取200名观众进行统计，得到如下2×2列联表.

试根据小概率值=0.001的独立性检验，能否认为喜爱观看世界杯与性别有关联?

附  其中

【答案】认为喜爱观看世界杯与性别有关联

【分析】由列联表，求得 的值，再与临界值表对照下结论.

【详解】解：假设为:喜爱观看世界杯与性别无关联.

根据列表中的数据，经计算得到 ，

因为   ，

根据小概率值=0.001的独立性检验，推断不成立，即认为喜爱观看世界杯与性别有关联.

18．已知数列满足．

(1)若是等比数列，且成等差数列，求的通项公式；

(2)若是公差为2的等差数列，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设的公比为q，由题意列式求得q，再结合已知可得，即可求得答案；

（2）由已知求得的通项公式，可得，利用累乘法求得的表达式，再用裂项求和法证明结论.

【详解】（1）设的公比为q，由于成等差数列，

故，而，故，

解得，

由，得，

即是等比数列，且，故；

（2）证明：是首项为1，公差为2的等差数列，故，

由，得，

故

，

又符合上式，

故

.

19．某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种原本露天种植的草莓搬到了大棚里，获得了很好的经济效益.根据资料显示，产出的草莓的箱数x（单位：箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：

y与x可用回归方程（其中，为常数）进行模拟.某农户种植的草莓主要以300元/箱的价格给当地大型商超供货，多余的草莓全部以200元/箱的价格销售给当地小商贩.

(1)若该农户1月份草莓的种植量为100箱，全部被当地大型商超收购，试预测该农户的利润是多少元（精确到个位）；

(2)据统计，往年1月份当地大型商超草莓的需求量为50箱､100箱､150箱､200箱的概率分别为，根据回归方程以及往年商超草莓的需求情况进行预测，求今年1月份农户草莓的种植量为200箱时所获得的利润情况.（最后结果精确到个位）

附：在线性回归直线中.

【答案】(1)元

(2)元

【分析】（1）根据求回归方程参数的计算公式，可得答案；

（2）根据分布列的概念以及均值的计算公式，可得答案.

【详解】（1）因为，

所以，

，

所以，

因为，所以回归方程为.

当时，，

所以预测该农户的利润是元.

（2）由回归方程知，若农户草莓的种植量为200箱，则成本为（千元）.

设农户草苺的种植量为200箱时的收入为元，则的可能取值为，

所以的分布列为

所以，

所以所获利润为元.

20．某校为增强学生保护生态环境的意识，举行了以“要像保护眼睛一样保护自然和生态环境”为主题的知识竞赛．比赛分为三轮，每轮先朗诵一段爱护环境的知识，再答道试题，每答错一道题，用时额外加秒，最终规定用时最少者获胜．已知甲、乙两人参加比赛，甲每道试题答对的概率均为，乙每道试题答对的概率均为，甲每轮朗诵的时间均比乙少秒，假设甲、乙两人答题用时相同，且每道试题是否答对互不影响．

(1)若甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相等，求最终乙获胜的概率；

(2)请用统计学的知识解释甲和乙谁获胜的可能性更大．

【答案】(1)

(2)甲获胜的可能性更大，理由见解析

【分析】（1）分析可知第三轮答题中乙要比甲多答对道题以上才能获胜，对甲、乙答对试题的数量进行分类讨论，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）设甲在比赛中答错的试题数量为，乙在比赛中答错的试题数量为，分析可知，，计算出两人因答错试题而额外增加的时间的期望值，并算比较两人所用的时间的期望的大小，即可得出结论.

【详解】（1）解：因为甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同，

且甲每轮朗诵的时间均比乙少秒，

所以，第三轮答题中乙要比甲多答对道题以上才能获胜，

若乙答对道试题，甲答对道试题，概率为，

若乙答对道试题，甲答对道或道试题，概率为，

所以，乙获胜的概率为.

（2）解：设甲在比赛中答错的试题数量为，乙在比赛中答错的试题数量为，

则，，

由二项分布的期望公式可得，，

则因甲答错试题额外增加的时间的期望值为秒，

乙因答错试题额外增加的时间的期望值为秒，

因为三轮中，甲朗诵的时间比乙少秒，所以，甲最后所用的时间的期望比乙少秒，

所以，甲获胜的可能型更大.

21．已知双曲线：的左、右顶点分别为，，且顶点到渐近线的距离为，点是双曲线右支上一动点（不与重合），且满足，的斜率之积为.

(1)求双曲线的方程.

(2)过点的直线与双曲线交于轴上方的，两点，若是线段的中点，是线段上一点，且，为坐标原点，试判断直线，的斜率之积是否为定值．若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)为定值

【分析】（1）由顶点到渐近线的距离为，得，设，则，从而得到，解得，，，即可得出答案．

（2）设直线的方程为，，，联立双曲线方程，结合韦达定理可得，，进而可得点坐标，则，进而可得点的坐标，即可得出答案．

【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即，

因为顶点到渐近线的距离为，

所以，

设，，，则，

所以，

因为点在双曲线上，所以，所以，

所以，

又

所以，，，

所以双曲线的方程为．

（2）设直线的方程为，，，

联立，得，

则，

所以，，

因为直线与双曲线交于轴上方的，两点，

所以，即，解得，

所以，，即，

所以，

又，所以，

所以，

所以，所以，所以，

所以，即直线，的斜率之积为定值．

22．已知函数有两个不同的零点．

(1)求的取值范围；

(2)若恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，求出函数的最小值，结合已知条件可得到关于a的不等式求解即可；

（2）依题意可得恒成立，再证明，构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值可知，再结合的单调性可证得结论，得到，即可求出的的取值范围.

【详解】（1）由，可得，

当时，单调递减；

当时，单调递增；

所以在处取得极小值即最小值，所以，

因为函数有两个不同的零点，所以，解得，

当时，，，，

其中令，，

则，所以在上单调递增，

所以，即，

所以使得，使得，

综上可得.

（2）因为函数有两个不同的零点，

所以，

由恒成立，可知，所以恒成立，

所以恒成立，

现证明，不妨设，

则，且.

要证，即证，

令，，

则，，

令，则，所以单调递增，则，

所以，函数单调递减，所以，

即，，

又，所以

因为在区间上单调递增，所以，

所以，则，

所以，所以.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．