2022-2023学年陕西省西安建筑技大学附属中学高二下学期期中数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安建筑技大学附属中学高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数满足，给出下列四个命题其中正确的是（    ）

A． B．的虚部为 C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可逐项判断.

【详解】∵，∴，故z的虚部为，

则，，，所以B正确，A，C，D不正确.

故选：B.

2．已知，，若，则P，Q的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．由x的取值确定

【答案】C

【分析】先根据特殊值判断出，然后结合分析法，通过平方的方法确定正确选项.

【详解】取，则，，此时．

要证，只要证，

只要证，

只要证，

只要证，

只要证，

只要证．

显然成立，所以成立．

故选：C

3．如图是函数的导函数 的部分图像，则下面判断正确的是（    ）

A．当时，函数取到极小值

B．当时，函数取到极大值

C．在区间内，函数有3个极值点

D．函数的单调递减区间为和（1，5）

【答案】C

【分析】根据导函数的零点以及符号，逐项分析.

【详解】不妨设导函数在 区间的零点为 ， ，在 区间的零点为 ，

对于A，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， 在 处取得极大值，错误；

对于B，当 时， 单调递增，不存在极值点，错误；

对于C，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，在 处取得极小值，

由A：在 处取得极大值，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，在 处取得极小值，

共有3个极值点，正确；

对于D，由以上分析可知：错误.

故选：C.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据增量变形，由导数定义可得.

【详解】因为，

所以

所以.

故选：C

5．下列等式错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据排列数，组合数公式，逐项判断即可．

【详解】解：，故A错误；

，故B正确；

，故C正确；

，

，

故，故D正确．

故选：A．

6．由曲线与x轴及所围成的图形绕x轴旋转一周后形成的几何体的体积为（    ）

A．2π B． C．π D．

【答案】D

【分析】首先根据已知条件可将旋转所得的立体图形的体积表示为，然后根据定积分的计算方法进行计算即可．

【详解】由题意可得：.

故选：D．

7．某中学于2023年4月25日召开春季运动会，在开幕式之前，由高一，高二学生自发准备了7个娱乐节目，其中有2个歌曲节目，3个乐器独奏，2个舞蹈节目，要求舞蹈节目一定排在首尾，另外2个歌曲节目不相邻．则这7个节目出场的不同编排种数为（    ）

A．288 B．72 C．144 D．48

【答案】C

【分析】先把舞蹈节目排好，再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，再利用插空法排2个歌唱节目即可.

【详解】先把舞蹈节目排好，共种，

再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，共种，

这样3个乐器独奏与2个舞蹈节目中间共产生4个空档（不包括两边），

2个歌唱节目排在4个空档上，共种．

故这7个节目出场的不同编排种数为种．

故选：C．

8．已知函数的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由函数图象斜率的变化，即可得出答案．

【详解】解：割线AB的斜率为，

为函数图象在点处切线的斜率，

为函数图象在点处切线的斜率，

结合图象可得，

故选：D．

9．定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，求出导函数，即可得到的单调性，则问题转化为，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】令，则，

所以在定义域上单调递增，

不等式，即，即，

所以，解得，即不等式的解集为.

故选：C

10．如下图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，由曲线y＝sinx（ ）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据定积分求解曲边梯形的面积，结合几何概型的概率计算公式即可求解.

【详解】阴影部分的面积为，

由几何概型的概率公式可得：点落在阴影部分的概率是，

故选：A

11．已知函数在定义域内单调递增，则实数a的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对求导，由在定义域内单调递增，可得在恒成立，即在恒成立，令，转化为求，可得的取值范围；

【详解】的定义域为，，

函数在定义域内单调递增，则在恒成立，

则，即，

令，，

令，解得：，令，解得：，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

故，故实数a的最小值为.

故选：A.

12．我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式（“…”代表无限次重复）可以通过方程来求得，即；类似上述过程及方法，则的值为（    ）

A． B． C．7 D．

【答案】B

【分析】根据题意得，则得到，解出即可.

【详解】由题意,令,则,

整理得，解得，，，

故选：B.

二、填空题

13．已知函数的图像在点处的切线方程是，则        ．

【答案】

【分析】由已知可得，再由点在切线上求解，作和得答案．

【详解】解：∵函数的图像在点处的切线方程是，

∴，，

∴．

故答案为：

14．计算：         ．

【答案】2

【分析】利用牛顿莱布尼茨公式求解．

【详解】由题意可得：

故答案为：

15．设集合，，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆有        个．

【答案】10

【分析】根据a<b，对A中元素进行分析可得到答案．

【详解】焦点位于y轴上的椭圆则，a<b，

当b=2时，a=1；

当b=3时，a=1，2；

当b=4时，a=1，2，3；

当b=5时，a=1，2，3，4；

共10个.

故答案为：10

16．我们比较熟悉的网络新词，有“”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为       ．

【答案】

【分析】根据“躺平点”新定义，可解得,，利用零点存在定理可得,即可得出结论.

【详解】根据“躺平点”定义可得，又；

所以，解得；

同理，即；

令，则，

即为上的单调递增函数，

又，

所以在有唯一零点，即；

易知，即，

解得；

因此可得.

故答案为：.

三、解答题

17．（1）利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？

（2）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？

（3）计算：．

【答案】（1）48；（2）1440；（3）330

【分析】（1）按是否选0分2种情况讨论，先安排个位，再安排十位和百位，利用排列组合数计算即可．

（2）从1，3，5，7中选3个数字，从2，4，6中选2个数字，再进行全排即可；

（3）根据组合数公式的性质求解即可．

【详解】（1）不选0时，有个奇数；选0时，有个奇数；共有个奇数．

（2）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数．

（3）．

18．（1）已知x∈R，，，，试用反证法证明a，b，c中至少有一个不小于1．

（2）复数，则求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）-1

【分析】（1）假设a，b，c均小于1，利用不等式的可加性得到，说明假设错误，则结论得证；

（2）利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由虚数单位i的运算性质得答案．

【详解】证明：（1）假设a，b，c均小于1，

即，，，

则，可得，也就是，

该式显然不成立，假设错误．

故a，b，c中至少有一个不小于1．

解：（2），

则.

19．已知数列满足

(1)求出项，并由此猜想的通项公式

(2)用数学归纳法证明的通项公式

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据已知条件求得，由此猜想，

（2）结合数学归纳法的证明步骤，证得猜想通项公式正确即可.

【详解】（1）依题意，

所以，

由此猜想.

（2）当时，，成立.

假设当时成立，即成立.

则当时，，成立.

综上所述，对任意正整数都成立.

20．若函数，当x=2时，函数有极值．

(1)求函数的解析式：

(2)若关于x的方程有一个零点，求实数k的取值范围．

(3)求曲线与直线所围图形的面积．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由当时，函数有极值，可得，，联立解得a，b，经过验证即可得出．

（2）结合（1）可得函数的单调性与极值，根据关于x的方程有一个零点，即可得出实数k的取值范围．

（3）联立，，解得x，利用微积分基本定理即可得出曲线与直线所围图形的面积．

【详解】（1）函数，所以，

由当时，函数有极值，

∴，，

联立解得：，，∴，

，

满足时，函数有极值，

因此．

（2）由（1）可得：，

令，解得．

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

又，，

若关于x的方程有一个零点，

∴或，

∴实数k的取值范围是．

（3）联立，解得：，

∴曲线与直线所围图形的面积：

.

21．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，（万元），当年产量不小于7万件时，（万元）．已知每件产品售价为6元，若该同学生产的产品当年全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；

（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）

（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？

（注：取）

【答案】（1）；（2）当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获得年利润最大，最大利润为5万元.

【分析】（1）根据年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本，分和两种情况建立函数关系式，再写出分段函数的形式；

（2）分和两种情况分别求出最大值，即可得到结论.

【详解】（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元

依据题意得，当时，，

当时，

（2）当时，，

因为（当且仅当，即x=2时取等号），

所以，

即时，当时，的最大值为万元

当时，

∴，

∴当时，，单调递减，

∴当时，的最大值为万元

∵

∴当时，的最大值为5万元

答：当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获得年利润最大，最大利润为5万元.

22．设函数．

(1)若在点处的切线斜率为，求a的值；

(2)当时，求的单调区间；

(3)若，求证：在时，．

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）通过计算，可求解；（2）由（1）知：，讨论导数的正负即可得到单调性；（3）通过变形，只需证明即可，利用不等式，即可证明.

【详解】（1）解：函数，则，

因为在点处的切线斜率为，

所以，解得.

（2）由（1）知：，

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（3），

令，则，

因为，所以，

则在上单调递增，又，所以恒成立，即；

令，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即，

所以，得证.