2022-2023学年山东省枣庄市薛城区薛城实验中学高二下学期6月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年山东省枣庄市薛城区薛城实验中学高二下学期6月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省枣庄市薛城区薛城实验中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题
1．“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．下表记录了第年（2016年为第一年）捐赠现金（万元）的数据情况．由表中数据得到了关于的线性回归方程为，预测2021年该商会捐赠现金（    ）万元．










A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得的值，令求得预测值.
【详解】，
所以，
所以，
当时，（万元）.
故选：D
2．从甲、乙等8名大学生中选取3名参加演讲比赛，则甲、乙2人中至多有1人参加演讲比赛的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出甲乙都参加的概率，再由对立事件求得甲、乙2人中至多有1人参加概率即可.
【详解】先考虑甲乙都参加的概率为，则甲、乙2人中至多有1人参加演讲比赛的概率为.
故选：C.
3．已知的展开式共有6项，则展开式中各项二项式系数的和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，从而得到二项式系数和；
【详解】解：因为的展开式共有6项，所以，
所以展开式中各项二项式系数的和为，
故选：A
4．某学校学生服务中心为了解在校学生对学校后勤工作的满意度﹐随机调查了名学生，其中男女生比例为并对这些学生进行了问卷调查，学生对后勤工作给出了满意或不满意的总体评价﹐得到下面的列联表：

满意
不满意
总计
男生



女生



总计



附：，其中.














则下列说法正确的是（    ）
A．列联表中男生不满意的人数为
B．列联表中女生满意的人数为
C．没有的把握认为男生与女生对后勤工作的评价有差异
D．有的把握认为男生与女生对后勤工作的评价有差异
【答案】D
【分析】根据已知数据补全列联表可判断选项A和B，计算的值与临界值比较，可判断选项C和D，进而可得正确选项.
【详解】由题意得，男生共人，女生共人，补全列联表如下：

满意
不满意
总计
男生



女生



总计



对于A：由列联表知男生不满意的人数为，故选项A不正确；
对于B：由列联表知女生满意的人数为，故选项B不正确；
对于C和D：因为，
所以有的把握认为男生与女生对后勤工作的评价有差异，所以选项C不正确﹐选项D正确；
故选：D.
5．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：，贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小明期待想去影院看的．小明同学家附近有甲､乙两家影院，小明第一天去甲､乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小明同学（    ）
A．第二天去甲影院的概率为0.44
B．第二天去乙影院的概率为0.44
C．第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为
D．第二天去了乙影院，则第一天去甲影院的概率为
【答案】D
【分析】先表示基本事件，根据题中概率及贝叶斯概率公式进行逐一判断即可.
【详解】设:第一天去甲影院，:第二天去甲影院，
:第一天去乙影院，:第二天去乙影院，
所以，，，
因为，
所以，
所以有,
因此选项A不正确；
，因此选项B不正确；
，所以选项C不正确；
，
所以选项D正确，
故选：D
6．小李，小王相约周日到晋祠游玩，两人约定早上7:00各自从家出发，小李乘坐301路公交，路上所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(44，4).小王乘坐804路公交，路上所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(40，16).下列说法从统计角度可认为不合理的是（    ）
参考数据: ，则，，)
A．小王在7:28前到达晋祠的可能性不超过1%
B．小王比小李在7:50前到达晋祠的可能性更小
C．小李和小王在7:48前到达晋祠的可能性一样
D．小李比小王在7:44前到达晋祠的可能性更大
【答案】D
【分析】利用正态分布的原则求解.
【详解】记小李路上所需时间为X，小王路上所需时间为Y.
对于,，所以合理；
对于，小李在7:50前到达晋祠的概率为，小王在7:50前到达晋祠的概率为.小李在7:50前到达晋祠的概率要大，所以选项合理；
对于，小李在7:48前到达晋祠的概率为，
小王在7:48前到达晋祠的概率为，选项合理；
对于，小李在7:44前到达晋祠的概率为，小王在7:44前到达晋祠的概率为.小王在7:44前到达晋祠的概率要大，选项不合理.
故选：.
7．已知函数．则下列结论中正确的是（    ）
A．函数既有最小值也有最大值 B．函数无最大值也无最小值
C．函数有一个零点 D．函数有两个零点
【答案】C
【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，得到函数有最大值，无最小值，AB错误，设，函数单调递增，，故函数有一个零点，C正确，D错误，得到答案.
【详解】，，，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故函数有最大值，无最小值，AB错误，
设，则恒成立，函数单调递增，
且，故函数有一个零点，C正确，D错误.
故选：C
8．已知，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，求出导函数得出单调性，从而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案.
【详解】∵，
构造函数，，
令，则，
∴在上单减，
∴，
故，所以在上单减，
∴，
∵，
构造函数，，
令，则，
∴在上单减，
∴，
故，所以在上单减，
∴，
故.
故选：D.

二、多选题
9．已知A，B，C为随机事件，则下列表述中不正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据条件概率和独立事件概率公式依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，当事件为独立事件，则，故A错误；
对选项B，当事件为互斥事件时，，
故B错误；
对选项C，，故C正确；
对选项D，，故D正确.
故答案为：AB
10．已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】直接由二项展开式及赋值法依次判断即可.
【详解】令，得，A正确；令，得，B正确；
令，得，所以，D错误；
因为，则，所以，C正确．
故选：ABC
11．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（    ）
A．若女生必须站在一起，那么一共有种排法
B．若女生互不相邻，那么一共有种排法
C．若甲不站最中间，那么一共有种排法
D．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法
【答案】AC
【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.
【详解】选项,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上4名男生一共有5个个体，则有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；
选项,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有种，再将3名女生插入空中，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故不正确；
选项,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有种，再将剩余的6人全排列，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；
选项,利用间接法，3人站成一排共有种排法，若甲站最左边有种排法，乙站最右边有种排法，甲站最左边且乙站最右边有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法，故不正确；
故选：AC.
12．函数图像上不同两点处的切线的斜率分别是为两点间距离，定义为曲线在点与点之间的“曲率”，给出以下命题，其中正确的是（    ）
A．存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数
B．图像上两点与的横坐标分别为1，2，则“曲率”
C．图像上任意两点之间的“曲率”
D．设是曲线上不同两点，且，若 恒成立，则实数的取值范围是
【答案】AC
【分析】结合一次函数的性质，可判定A正确；求得的坐标，得到的值，可判断B错误；求得，运用不等式的性质，得到，可判定C正确；求得，运用新定义求得，结合恒成立，求得的范围，可判定D错误
【详解】若函数时，可得，此时曲率为，是常数，故A是正确的；
当时，，函数的导数为，
可得，
所以，所以B是错误的；
因为，可得，所以，
则，
所以，
所以C正确；
由函数，可得，
又由为曲线上的两点，且，
因为，，
可得，
又因为恒成立，可得，
由于，可得，所以D是错误的.
故选：AC．

三、填空题
13．展开式中的系数是 （用数字作答）.
【答案】
【分析】求得的展开式的通项为，进而得出展开式中含有的项，即可求解.
【详解】由的展开式的通项为，
则展开式中含有的项为，
所以展开式中的系数是.
故答案为：.
14．6本不同的书全部分给5个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为
【答案】1800
【分析】先把6本书取出两本看做一个元素，这一元素和其他的4个元素分给5个同学，相当于在5个位置全排列，根据分步乘法计数原理即可得出结果.
【详解】从6本书中取出两本看做一个元素共有种不同的取法，
这一元素与其他4个元素分给5个同学共有种不同的分法，
根据分步乘法计数原理，共有种不同的分法.
故答案为:1800.
15．随机变量，，若，，则
【答案】
【解析】利用二项分布概率公式求得，再利用正态分布的对称性求解的值.
【详解】∵随机变量服从，符合二项分布，
由二项分布概率公式：得：
∴，
解得，
又，
∴.
故答案为：.
16．若对任意的，总存在三个不同的，使得方程成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】把原等式变形，构造函数，利用导数画出草图，将问题转化为与有三个交点，根据题意可得关于的不等式组，即可求出答案.
【详解】因为，所以，
又当时，，
令，所以，
令得，得或
所以在上递减，在上递增，在上递减，
又，时，，
所以如图为函数在上的图象，
  
又，，，，
所以要使与有三个交点，需使，
又对任意的，总存在三个不同的，
使得方程成立，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：

四、解答题
17．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球．
(1)记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求期望的值；
(2)求从乙盒取出2个红球的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据超几何分布概率求解；（2）根据甲盒任取2球放入乙盒的不同情况，分类讨论，利用超几何分布概率模型求解.
【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有，
所以
分布列如下：

0
1
2




所以.
（2）(i)若，则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒，
此时乙盒有6个白球，1个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为0；
(ii) 若，则此时甲盒取出来了1个白球，1个红球放入乙盒，
此时乙盒有5个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；
(iii) 若，则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒，
此时乙盒有4个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；
所以从乙盒取出2个红球的概率为.
18．针对国内天然气供应紧张问题，某市打响了节约能源的攻坚战，某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，数据资料见表1：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
天然气需求量y/亿立方米
24
25
26
28
29
(1)已知这5年的年度天然气需求量y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，求y与x的线性回归方程，并预测2023年该地区的天然气需求量；
(2)政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，根据续航里程的不同，将补贴金视划分为三类，A类；每车补贴1万元：B类：每车补贴2万元：C类：每车补贴3万元．某出租车公司对该公司120辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如表2：
类型
A类
B类
C类
车辆数目
20
40
60
为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况.在该出租公司的120辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查．若抽取的两辆车享受的补贴金额之和记为，求的分布列及期望.
参考公式：，．
【答案】(1)，天然气需求量大约为31.6亿立方米
(2)分布列见解析，

【分析】（1）代入公式求出，从而求出线性回归方程，将代入回归方程，预测2023年该地区的天然气需求量；（2）求出的可能取值及对应的概率，从而求出分布列和数学期望.
【详解】（1）由题意可知，．
∴，
∴，
∴，所以当时，．
故预测2023年该地区的天然气需求量大约为31.6亿立方米，．
（2）由题意可知抽样比为，
所以A类车抽取辆，
B类车抽取辆，
C类车抽取辆，
故的可能取值为3，4，5，6，
；
；
；
；
所以的分布列为

3
4
5
6
P




∴．
19．某校与英国某高中结成友好学校，该校计划选派3人作为交换生到英国进行一个月的生活体验，学校准备从该校英语兴趣小组的6名同学中选派，已知英语兴趣小组中男生有4人，女生有2人.
(1)求男生甲或女生乙被选的概率；
(2)记选派的3人中的女生人数为随机变量，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）设“男生甲或女生乙都不被选中”为事件，求出，由此能求出男生甲或女生乙被选的概率；
（2）由题设知，的可有取值为0，1，2，分别求出，，，由此能求出的分布列及数学期望.
【详解】（1）设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件，则，
∴所求概率为.
（2）ξ的所有可能取值为0，1，2， 依题意得，，.
∴ ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



∴ .
20．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为、、、，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.

（1）根据频率分布直方图，求重量超过克的产品数量；
（2）在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列及期望；
（3）从流水线上任取件产品，设为重量超过克的产品数量，求的分布列、期望、方差.
【答案】（1）件；（2）分布列见解析，期望为；（3）分布列见解析，期望为，方差.
【解析】（1）根据频率分布直方图可计算得出重量超过克的产品的频率，乘以可得结果；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的数学期望；
（3）由题意可知，利用二项分布可求得随机变量的分布列、数学期望以及方差.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，件产品中重量超过克的产品数量为件；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：








随机变量的数学期望为；
（3）从流水线上任取件产品服从二项分布：可取：、、、、、，
超过克的产品发生的概率为，则，
，
，
，
，
，
，
则的分布列为：














的期望，方差.
【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
21．已知函数.
（1）当时，求函数在上的最值；
（2）若在上为减函数，求a的取值范围.
【答案】（1）最大值为，最小值为0；（2）.
【解析】（1）首先，利用导数判断函数的单调性，再求区间的最值；（2）首先求函数的导数，，令，由条件转化为函数在上恒成立求的取值范围.
【详解】解：（1）当时，，，
当时，，当时，或，
∴在上是减函数，在上是增函数.
，
∴在上的最大值为，最小值为0.
（2）.
令，
恒成立，
若函数在上为减函数，则在恒成立，
由解得.
当时，，即，故为减函数；
当时，，即，故为增函数；
当时，，即，故为减函数；
由在上为减函数，知，解得，
故a的取值范围为.
【点睛】思路点睛：本题第二问考查利用函数在区间的单调性求参数的取值范围，本题隐含着恒成立问题，熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键，处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法：①变量分离思路处理，转化为最值问题；②利用函数的性质，图象思路处理.
22．已知函数，.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若恰有三个零点和两个极值点.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若，且，证明：.
【答案】(1)当时, 无极值点;当时,所以有两个极值点；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.

【分析】（1）先求导，对进行讨论，研究单调性可得函数的极值；
（2）(i)由(1)知: ,且,,又得出，即可得证；
(ii)易得，令,可得，要证明:，只需证:，只需证: (显然,易证)，即证明:，又因为,所以，令,,利用导数证明即可.
【详解】（1）由题知:，
设函数,
当时,开口向上,,
所以,在上单调递减,无极值点；
当时, 在上有两个解,
又因为,
所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
所以有两个极值点.
综上:当时, 无极值点;当时,所以有两个极值点.
（2）(i)由(1)知: ,且,
又因为,
所以.
(ii)由(i)知:,,,
所以,所以.
令,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
因为时,>0;时,