2022-2023学年四川省达州市外国语学校高二下学期5月月考数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省达州市外国语学校高二下学期5月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合，再由补集运算即可.

【详解】因为，且，得.

故选C．

【点睛】本题考查了集合的补集运算，属于基础题.

2．复数在复平面内对应的点的坐标为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】先求出复数的代数形式，然后可得其对应点的坐标，进而得到答案．

【详解】因为，

所以复数在复平面内对应的点的坐标为．

故选B．

【点睛】本题考查复数的运算和复数的几何意义，其中得到复数的代数形式是解题的关键，属于简单题．

3．命题“∀x∈[1,2]，x2-3x+2≤0”的否定为（    ）

A．∀x∈[1,2]，x2-3x+2>0 B．∀x∉[1,2]，x2-3x+2>0

C．∃x∈[1,2]，x2-3x+2>0 D．∃x∉[1,2]，x2-3x+2>0

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定是任意改存在，否定结论即可得出.

【详解】根据含有一个量词的命题的否定是改量词、否结论可得命题的否定为“∃x∈[1,2]，x2-3x+2>0”.

故选：C.

【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.

4．“”是“对任意恒成立”的　　

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合判别式的解法进行判断即可．

【详解】解：对任意恒成立，

推不出，

，

“”是“对任意恒成立”的必要不充分条件．

故选C．

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据判别式的解法是解决本题的关键．

5．已知抛物线的焦点为，准线方程为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则

A．16 B．32 C．24 D．48

【答案】B

【分析】根据准线方程求得抛物线方程，再利用抛物线的焦半径公式得到，从而得到，从而求得结果.

【详解】由准线方程为，可知

则抛物线的方程为

由抛物线的定义可知，，则

即，故

本题正确选项：

【点睛】本题考查抛物线的标准方程、焦半径公式的应用，属于基础题.

6．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】还原几何体得到几何体为一个长方体挖去一个直三棱柱后剩余的部分，利用柱体体积公式计算即可.

【详解】由三视图可知，该几何体为一个长方体挖去一个直三棱柱后剩余的部分，其中长方体的长、宽、高分别为，，，直三棱柱的底面是等腰直角三角形（腰长为），高为，故该几何体的体积为．

故选C．

【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确还原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．

7．已知关于，的不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一点，则的概率为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先作出线性区域以及内部，而满足不等式的点在内，利用面积之比即可．

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示（及其内部），由题意可知所求概率，易得，，，，则，，所以，故选C．

【点睛】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值

8．已知中，内角所对的边分别为.若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据正弦定理求出C的三角函数值，结合角的关系求出B的三角函数值，求解即可得到面积.

【详解】由正弦定理，，故，则，而，故，

则，

故的面积为

故选：C

【点睛】此题考查解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理在解三角形中的应用，利用三角恒等变换求三角函数值根据面积公式求得面积.

9．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于点对称，则的最小值是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换和伸缩变换的应用和性质求出结果.

【详解】由题可得，

所以，

因为函数的图象关于点对称，

所以，即，

又，所以的最小值是．

故选：A．

10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内可填入的条件是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】读懂循环结构的图可知是在求数列的和，按照题干要求是当时，结束循环.

【详解】因为，所以当时，，此时应结束循环，输出，所以判断框内可填入的条件是．

故选B．

【点睛】对于程序框图的读图问题，一般按照从左到右、从上到下的顺序，理清算法的输入、输出、条件结构、循环结构等基本单元，并注意各要素之间的流向是如何建立的．特别地，当程序框图中含有循环结构时，需首先明确循环的判断条件是什么，以决定循环的次数．

11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】由可得是以为顶点的等腰三角形，故，即可求出，，再由直线过双曲线的右顶点且平行于双曲线的一条渐近线，斜率相等，可得，结合即得解

【详解】因为，

取为中点，

是以为顶点的等腰三角形

所以，

因为，所以是线段的中点．

又直线过双曲线的右顶点且平行于双曲线的一条渐近线，

由于，代入双曲线方程可得，，

，右顶点坐标为

化简可得，所以，

所以，结合解得．

故选：C

12．已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用分离参数，将问题转化为直线与曲线的交点问题，数形结合解决问题.

【详解】函数的零点，

即方程的根，则，

根据题意，可知直线与的图象有三个不同的交点，

在同一直角坐标系中作出这两个函数图象，如图，

由图可知，当时，两个函数图像有三个不同的交点，

即函数有三个不同的零点.

故选：B

二、填空题

13．为了调研甲、乙、丙三个地区公务员的平均工资，研究人员拟采用分层抽样的方法在这三个地区中抽取m名公务员进行调研.已知甲、乙、丙三个地区的公务员人数情况如下表所示，且甲地区的公务员被抽取了15人，则丙地区的公务员被抽取了            人.

【答案】10

【分析】先设丙地区的公务员被抽取了人，根据分层抽样的特征，列出等式，即可得出结果.

【详解】设丙地区的公务员被抽取了人，则，解得.

【点睛】本题主要考查分层抽样，熟记分层抽样的特征即可，属于常考题型.

14．在边长为的正方形中，点在线段的延长线上，且，若与交于点，则        ．

【答案】

【分析】先利用正方形的特殊性建立直角坐标系，然后写出点的坐标和直线方程，并求出两条直线的交点坐标，再利用向量的数量积求解即可．

【详解】如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则由题可得，，，，易得直线的方程为，直线的方程为，上述两个方程联立可得，，则，所以，，所以 ．

【点睛】本题考查了平面直角坐标系的建立，直线的交点坐标以及数量积的坐标运算．本题中建系非常关键．

15．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．若圆柱的内切球的体积为，则该球的内接正方体的表面积为          ．

【答案】

【分析】根据两图形的关系可得圆柱的底面半径与球的半径相等，再根据正方体是球内接正方体即得正方体的棱长．

【详解】设圆柱的内切球的半径为，因为圆柱的内切球的体积为，所以，解得，设该球的内接正方体的棱长为，则，即，所以该球的内接正方体的表面积为．

【点睛】本题考查了旋转体的结构特征，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，属于基础题

16．已知函数的图象在点处的切线斜率为，若命题“对，使得成立”是假命题，则实数的最小值为  .

【答案】

【分析】根据切线斜率可得，根据命题为假命题，可将问题转化为，使得成立，即有解；通过求解的最小值，可得的最小值.

【详解】    

命题“对，使得成立”是假命题

，使得成立

由得，即

设，则

设，则

时，，单调递增；时，，单调递减

在上是增函数        的最小值为

本题正确结果：

【点睛】本题考查利用导数解决能成立问题，关键是能够通过命题的真假性将问题转化为能成立问题，通过求解函数的最值求得结果.

三、解答题

17．已知是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，且满足.

(1)求与的通项公式；

(2)求的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得的公差，的公比，从而求得求与的通项公式；

（2）利用裂项求和法求得.

【详解】（1）依题意，是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，

设的公差为，的公比为（），

，，

解得（负根舍去），.

所以

（2），

所以.

18．人工智能教育是将人工智能与传统教育相融合，借助人工智能和大数据技术打造一个智能化教育生态，通过线上和线下结合的学习方式，让学生享受到个性化教育．为了解某公司人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到该公司2017年一2021年人工智能教育市场规模统计表，如表所示，用表示年份代码年用1表示，2018年用2表示，依次类推），用表示市场规模（单位：百万元）．

(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；

(2)该公司为了了解社会人员对人工智能教育的满意程度，调研了200名参加过人工智能教育的人员，得到数据如表：

完成列联表，并判断是否有的把握认为社会人员的满意程度与性别有关？

附1：线性回归方程：，其中，；

附2：，．

【答案】(1)

(2)列联表见详解，有的把握认为社会人员的满意程度与性别有关

【分析】（1）利用公式求出，，即可得出结论；

（2）求得，与观测值比较，即可得出结论．

【详解】（1）由题意得，，，

，

，

，

，

所以关于的线性回归方程为．

（2）由题意得如下列联表：

，

所以有的把握认为社会人员的满意程度与性别有关．

19．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，.

(1)证明：平面平面；

(2)点M在平面内，直线平面，求四棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据线面垂直判定定理证明面，再根据面面垂直判定定理证明平面平面；(2)先求四棱锥的高，再根据锥体体积公式求解即可.

【详解】（1）连接交于点O，

∵底面平面，

∴，

又∵，，平面，

∴面，∵平面，

∴平面平面；

（2）连接，过A作交于点N，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，所以重合，

因为，

所以，又，，,

所以，所以，

∴点M到底面的距离为，又

∴.

20．已知函数，其中.

(1)讨论的单调性；

(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）首先求出函数的定义域与导函数，分与两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；

（2）依题意只需，即需要恒成立，设，，由（1）中的结论求出的最小值，则问题转化为，恒成立，参变分离可得，恒成立，再构造函数，，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；

【详解】（1）解：因为定义域为，

且，

当，恒成立，所以该函数在上单调递增；

当，令，解得，令，解得，

所以该函数的单调增区间为，单调减区间为.

综上，当，的单调递增区间为；当，的单调增区间为，单调减区间为.

（2）解：若要，只需，

即需要恒成立.

设，，

由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以，

于是需要，恒成立，即，恒成立.

设，，则恒成立，

所以，

则，即.

21．已知椭圆过点，长轴的长为4.

(1)求椭圆的方程；

(2)过左焦点，作互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与圆交于两点，为的中点，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据长轴长的定义，代入已知点的坐标，建立方程，可得答案；

（2）由题意，先研究直线斜率不存在以及斜率为零的特殊情况，再研究该直线斜率存在且不为零时，设出两直线方程，联立方程，写出韦达定理，求得弦长，根据几何性质，求得高线，利用函数思想，可得答案.

【详解】（1）由题意知，解得

所以椭圆的方程为.

（2）由（1）可得左焦点，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，

这时直线的方程为，可得MN的中点为，

；

当直线的斜率为0时，则直线与圆无交点；

当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，

直线的方程为，，联立，

得

∵，∴，∴点到等于点到的距离为，

点到的距离为，所以

，

令，则，.

所以面积的最大值为.

22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求C的普通方程和的直角坐标方程；

(2)若与C交于A，B两点，，求的值.

【答案】(1)，

(2)21

【分析】（1）根据参数方程化为普通方程、极坐标方程转化为直角坐标方程的公式求得C的普通方程和的直角坐标方程；

（2）写出直线的标准参数方程并代入的普通方程，结合根与系数关系求得的值.

【详解】（1），

所以C的普通方程为，

l的极坐标方程可化为，

所以l的直角坐标方程为.

（2）点在上，

可设l的参数方程为（t为参数），

代入，化简得，

设点A，B对应的参数分别为，，

则.

23．已知函数．

(1)当时，解不等式；

(2)若恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值号，解不等式即可；

（2）利用绝对值三角不等式得到，直接解不等式，即可求出实数a的取值范围.

【详解】（1）当时，．

当时，令，解得；

当时，恒成立；

当时，令，解得．

综上，当时，不等式的解集为．

（2）因为，

当且仅当即时等号成立，

所以，解得或．

故实数a的取值范围为．