2022-2023学年陕西省西安市蓝田县城关中学高二下学期6月第二次月考数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市蓝田县城关中学高二下学期6月第二次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解不等式得到，从而求出交集.

【详解】，故.

故选：D

2．设复数z满足，则 =

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由得，所以，故选C.

【解析】 复数的运算，共轭复数

【名师点睛】复数的共轭复数是，据此先化简再计算即可.

3．函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图象可直接得出，求出最小正周期，即可得出，再将点代入解析式即可求出.

【详解】由图可知，最小正周期满足，

，，

，代入点得，

解得，当时，，

.

故选：A.

【点睛】本题考查根据三角函数部分图象求函数解析式，属于基础题.

4．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.

【解析】 正方体的性质，球的表面积

【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.

5．设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：由抛物线的性质可得，故选D.

【解析】1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.

6．圆的圆心到直线的距离为1，则

A． B． C． D．2

【答案】A

【详解】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.

【解析】 圆的方程，点到直线的距离公式

【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．

7．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．

【解析】三视图与表面积．

8．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.

【解析】几何概型

【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．

9．中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，依次输入的a为2，2，5，则输出的（    ）

A．7 B．12 C．17 D．34

【答案】C

【分析】根据程序框图的循环结构依次计算，直至算出结果.

【详解】输入输入，循环，

输入，循环，

输入输出

故选：C

10．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是

A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝

【答案】D

【详解】试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D．

【解析】对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．

11．函数的最大值为

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【详解】试题分析：因为，而，所以当时，取得最大值5，选B.

【解析】 正弦函数的性质、二次函数的性质

【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当时，函数取得最大值.

12．已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2−x），若函数 y=|x2−2x−3|与y=f（ x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则

A．0 B．m C．2m D．4m

【答案】B

【详解】试题分析：因为的图像都关于对称，所以它们图像的交点也关于对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为，因此选B.

【解析】 函数图像的对称性

【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.

二、填空题

13．已知向量，且，则___________.

【答案】

【分析】由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案.

【详解】因为，所以，解得.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.

14．若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________.

【答案】

【详解】试题分析：由得，记为点；由得，记为点；由得，记为点.分别将A，B，C的坐标代入，得，，，所以的最小值为．

【解析】简单的线性规划

【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

（1）在平面直角坐标系内作出可行域；

（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；

（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b=   .

【答案】

【详解】试题分析：因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.

【解析】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式

【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

16．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是        ．

【答案】1和3.

【详解】 根据丙的说法知，丙的卡片上写着和，或和；

 （1）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和；

 所以甲的说法知，甲的卡片上写着和；

 （2）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和；

 又甲说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”；这与已知矛盾；

 所以甲的卡片上的数字是和.

三、解答题

17．等差数列{}中，.

（Ⅰ）求{}的通项公式；

（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.

【详解】试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求，，从而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求数列的前10项和.

试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意有.

解得.

所以的通项公式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.

当n=1,2,3时，；

当n=4,5时，；

当n=6,7,8时，；

当n=9,10时，.

所以数列的前10项和为.

【解析】等差数列的通项公式，数列的求和

【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对“表示不超过的最大整数”理解出错.

18．某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；

（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．

【答案】（I）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.1925a．

【分析】（I）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P（A）的估计值；

（Ⅱ）求出B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P（B）的估计值；

（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．

【详解】解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保，

P（A）的估计值为：；

（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：30+30＝60，P（B）的估计值为：；

（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为1.1925a．

【点睛】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．

19．如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折起到的位置.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ)若，求五棱锥的体积.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【详解】试题分析：（1）由已知得，，

；（2）由，由

，可证平面．又由得五边形的面积

以五棱锥体积．

试题解析： （1）由已知得，，

又由得，故，

由此得，所以．

（2）由得，

由得，

所以，

于是，故，

由（1）知，又，

所以平面，于是，

又由，所以，平面．

又由得．

五边形的面积．

所以五棱锥体积．

【解析】1、线线垂直；2、锥体的体积.

20．已知函数.

（I）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.

试题解析：（I）的定义域为.当时，

，

曲线在处的切线方程为

（II）当时，等价于

设，则

，

（i）当，时，，故在上单调递增，因此；

（ii）当时，令得

.

由和得，故当时，，在单调递减，因此.

综上，的取值范围是

【解析】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性

【名师点睛】求函数的单调区间的方法：

（1）确定函数y＝f（x）的定义域；

（2）求导数y′＝f′（x）；

（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

21．已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，.

(1)当时，求的面积；

(2)当时，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）运用椭圆的对称性，可得直线的斜率为1，求得的方程代入椭圆方程，解方程可得，的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；

（2）直线的方程为，代入椭圆方程，求得交点，可得，，再由，根据函数的单调性即可求解．

【详解】（1）由椭圆的方程：知，其左顶点，

，且，为等腰直角三角形，

轴，可得，关于轴对称，

由．可得直线的斜率为1，直线的方程为，

代入椭圆方程，可得，

解得或，，，，，

则的面积为；

（2）设直线的方程为：，直线的方程为：，

由消去得：，

，，故

，

，

又，，

整理得：，

设，

则，

为的增函数，

又， ，

．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

22．在直角坐标系中，圆的方程为．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.

试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.

（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.

于是，.

.

由得，.

所以的斜率为或.

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数，M为不等式的解集.

（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：当a，b时，.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【详解】试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．

试题解析：（I）

当时，由得解得；

当时，；

当时，由得解得.

所以的解集.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而

，

因此

【解析】绝对值不等式，不等式的证明.

【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：

（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，， （此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．

（2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解．