2022-2023学年四川省射洪中学高二下学期5月月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省射洪中学高二下学期5月月考数学（理）试题

一、单选题

1．中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件，求出，的值，结合双曲线的方程进行求解即可．

【详解】解：设双曲线的方程为．

由已知得：，，

再由，，

双曲线的方程为：．

故选：D．

2．下列说法错误的是（    ）

A．线性回归直线一定过样本点中心

B．在回归分析中，为0.91的模型比为0.88的模型拟合的效果好

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强

【答案】D

【分析】根据回归方程相关知识逐项判断即可.

【详解】回归直线必过样本点中心，故A正确；

拟合系数越大拟合效果越好，故B正确；

残差点分布区域越窄，拟合精度越高，故C正确；

相关系数越接近于1，相关性越强，故当时，r的值越大，变量间的相关性越弱，故D错误.

故选：D

3．已知条件p：函数的定义域，条件q：的解集，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由题意条件p： ，条件q：，

当时，一定有.

但时，不一定有，比如.

所以是的充分不必要条件.

故选：A

4．设X为随机变量，且，若随机变量X的方差，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二项分布的方差公式可求得，再根据二项分布的概率求解即可

【详解】因为，故，故

故选：B

5．二项式的展开式中第3项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题直接运用二项式的展开式的通项公式计算即可.

【详解】解：∵ 二项式的展开式的通项公式为：，

∴ 二项式的展开式中第项是：，

故选：C

【点睛】本题考查二项式的展开式的通项公式，是简单题.

6．如图所示,A,B,C表示3种开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,那么系统的能正常工作的概率是(　　)

A．0.504 B．0.994

C．0.496 D．0.06

【答案】B

【详解】试题分析：系统正常工作的概率为，即可靠性为0.994．故选B．

【解析】 相互独立事件同时发生的概率．

【名师点睛】1．对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B相互独立；

2．若A与B相互独立，则P(B|A)＝P（B），P(AB)＝P(B|A)×P(A)＝P（A）×P（B）

3．若A与B相互独立，则A与 ， 与B， 与 也都相互独立．

4．若P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．

7．抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则（    ）

A． B． C．3 D．5

【答案】B

【分析】联立直线与抛物线方程，利用韦达定理和向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】由题意易知直线的斜率存在，设，，

因为抛物线的焦点为，所以不妨设直线的方程为，

联立，消去，得，

则，故，，

则，

所以.

故选：B.

8．设双曲线C：的左，右焦点分别是，，点M是C上的点，若是等腰直角三角形，则C的离心率是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】根据题意得到或，进而得到，构造出关于的齐次式，解出答案.

【详解】显然，或，不妨令，将代入双曲线方程，，解得：，由等腰直角三角形可得，则，方程两边同除以得：，解得：，因为，所以离心率为.

故选：D

9．将甲、乙、丙、丁4名志愿者分配到A、B两个社区参加防疫工作，每个社区至少去一名，则甲、乙不在同一社区的分配方法种数为（    ）

A．14 B．10 C．8 D．6

【答案】C

【分析】分两种情况讨论，采用先分组后安排的办法即可求解

【详解】分两种情况：

第一种情况：将甲、乙、丙、丁4名志愿者分成人数为的两组，

则甲、乙不在同一社区的分配方法种数为：种；

第二种情况：将甲、乙、丙、丁4名志愿者分成人数为的两组，

则甲、乙不在同一社区的分配方法种数为：种；

所以甲、乙不在同一社区的分配方法种数为种，

故选：C

10．若是正奇数，则被9除的余数为（    ）

A．2 B．5 C．7 D．8

【答案】C

【分析】将原式转化为，再将其用二项式定理展开，再结合是正奇数，即可求出其被除的余数．

【详解】由题可知：原式=

，

因为为正奇数，所以上式可化简为：

所以该式除以9，余数为7.

故选：C.

11．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则

A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3

【答案】B

【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可．

或

，

,可知

故答案选B.

点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．

12．已知有相同焦点，的椭圆与双曲线在第一象限的交点为A，若（O为坐标原点）是等边三角形，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知图形特征结合椭圆，双曲线中关系及公交点求解即可.

【详解】（O为坐标原点）是等边三角形，且，则，

且，则，

，

所以，即得，

所以

故选：A

二、填空题

13．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有             种．（用数字填写答案）

【答案】

【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.

【详解】［方法一］：反面考虑

没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，

故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．

故答案为：.

［方法二］：正面考虑

若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；

若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．

故答案为：.

【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；

方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．

14．设随机变量服从正态分布，向量与向量的夹角为锐角的概率是，则      ．

【答案】

【分析】先由向量夹角为锐角求得，再利用正态分布的性质即可得解.

【详解】当向量与向量的夹角为锐角时，且不共线，

则，且，解得，

又向量与向量的夹角为锐角的概率是，所以，

又随机变量服从正态分布，，

故答案为：.

15．位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点移动五次后位于点的概率是        ．

【答案】

【分析】可判断出质点需向右移动次，向上移动次，从而利用二项分布求得概率.

【详解】质点移动五次后，位于点处，则需向右移动次，向上移动次

则所求概率

本题正确结果：

【点睛】本题考查二项分布的应用问题，属于基础题.

16．已知，是双曲线的左､右焦点，P为曲线上一点，，的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e，则           .

【答案】

【分析】根据双曲线的定义，设，结合利用余弦定理可得，再根据等面积法求得内切圆半径的表达式，结合正弦定理可得外接圆半径的表达式，进而列式求解离心率即可

【详解】由题意，设，因为，故，即，根据双曲线的定义有，故.所以的面积为.又，故.故内切圆半径满足，解得.又的外接圆半径满足，故，由题意，即，所以，故，故，解得

故答案为：

三、解答题

17．在的展开式中，求：

(1)各项的二项式系数的和；

(2)设，求各项系数之和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二项式系数的性质即可得解.

（2）各项系数之和即为，利用“赋值法”即可求解；

【详解】（1）依题意，得的二项式系数的和为.

（2）因为，

令，得到，即.

所以各项系数之和为.

18．已知，在上有解．

(1)若，且命题与均为真命题，求实数t的取值范围；

(2)若是成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出命题为真时的取值范围，然后由复合命题的真假得出的真假，从而得结论；

（2）由充分不必要条件对应集合的包含关系得的不等关系，从而得的取值范围．

【详解】（1）对于，时，，

对于，在上有解，

所以，解得或，

因为与均为真命题，

所以为真命题，为假命题，

当为假命题时，，

故实数t的取值范围是.

（2）因为，所以，则，

因为是成立的充分不必要条件，

所以或，解得，

所以实数m的取值范围是.

19．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品.

（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；

（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）甲箱的8件产品，任取2件的取法为，而2个都是次品的取法是为3件次品中取2件，取法数为，再利用古典概型的概率公式求解；

（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，所取2件产品对乙箱中的正品次品数有影响，因此需分三类，即2件都是正品，一正品一次品，2件都是次品，然后利用条件概率公式和互斥事件的概率公式求解即可．

【详解】（1）从甲箱中任取2个产品的事件为，这2个产品都是次品的事件数为.

所以这2 个产品都是次品的概率为.

（2）设事件为“从乙箱中取一个正品”，事件为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件为“从甲箱中取2个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥.

，

，，

所以.

20．已知动点E到点A（2，0）与点B（-2，0）的直线斜率之积为-，点E的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）过点D（l，0）作直线l与曲线C交于P，Q两点，且=-．求直线l的方程．

【答案】（1）+y2=1（x±2）；（2）x±y-1=0

【分析】（1）根据题意表示出点到两点的斜率，得到点的轨迹方程.

（2）当直线斜率不存在时，表示出，说明其不成立；当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，得到，再用表示出，得到关于斜率的方程，解出，得到直线的方程.

【详解】（1）动点到点与点的直线斜率之积为，

．

化为：，即为点的轨迹曲线C的方程．

（2）当轴时，的方程为：，

代入：，解得，．

．不符合题意，舍去．

当与轴不垂直时，

设的方程为：，

代入：，

化为：．

设．

则：，，

，解得．

直线的方程．

【点睛】本题考查动点轨迹方程问题，直线与椭圆的位置关系，设而不求的方法，属于中档题.

21．随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红，有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害．为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对高二年级的学生进行网络搜题的情况进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，得到下面2×2列联表．

(1)试运用独立性检验的思想方法分析，并判断是否在犯错误的概率不超过5%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？并说明理由．

(2)现采用分层抽样的方法，从偶尔或不用网络搜题的学生中抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取3人进行座谈，记男生人数为X，求X的分布列及数学期望．

附：．

【答案】(1)能在犯错误的概率不超过的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关；

(2)分布列见解析，的数学期望为：.

【分析】(1)由列联表计算观测值，对照临界值得出结论.

(2)由题意得：男生3人，女生4人，所以X的可能取值为0，1，2，3，分别计算出它们的概率，由此求出X的分布列和数学期望.

【详解】（1）因为

所以，能在犯错误的概率不超过的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关．

（2）从偶尔或不用网络搜题的学生中抽取一个容量为7的样本，

故男生3人，女生4人，所以X的可能取值为0，1，2，3

，，

，，

所以X的分布列为：

故的数学期望为.

22．已知椭圆的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：与x轴相交于点H，过点A作，垂足为点D．

(1)求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；

(2)证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标．

【答案】(1)；

(2)详见解析.

【分析】（1）直线AB的方程代入椭圆C，结合韦达定理得两根关系，求出四边形OAHB面积表达式，通过换元及函数的单调性求得取值范围；

（2）由点坐标写出直线BD的方程的表达式，令y＝0，求出的表达式，两根关系进行化简计算得到定值即可．

【详解】（1）由题设知，设直线AB的方程为，，

由，消去x并整理，得，

∵，则，

所以，

所以四边形OAHB的面积，

令，则，

所以，

因为在上单调递增，，

所以，

故四边形OAHB的面积的取值范围为；

（2）由可知直线BD的斜率，

所以直线BD的方程为，

令，得，

∵，

所以，

∴，

所以直线BD过定点E．

【点睛】求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．