2022-2023学年陕西省西安市蓝田县高二上学期期末数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市蓝田县高二上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，则M∩N＝（   ）

A．{x|﹣4＜x＜2} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜4}

【答案】C

【分析】首先求出集合N，利用交集定义能求出．

【详解】集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝{x|﹣2＜x＜4}，

则．

故选：C

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可得解.

【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题得：命题“，”的否定是，.

故选：A.

3．函数的极小值为（　　）

A． B．1 C．0 D．不存在

【答案】A

【分析】利用导数研究函数单调性，求解函数极小值.

【详解】函数，定义域为，，

，解得；，解得，

在上单调递减，在上单调递增，

时有极小值，极小值为.

故选：A

4．“”是“方程表示椭圆”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先求出“方程表示椭圆”的充要条件，即可判断.

【详解】“方程表示椭圆”的充要条件为，即且.

故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.

故选：B

5．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出双曲线方程中的即得解.

【详解】解：∵抛物线的焦点是（2，0），∴，，∴，

∴．

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：D

6．在等差数列中，若，，则=（    ）

A．20 B．25 C．30 D．33

【答案】D

【分析】将条件转化为基本量并解出，进而解得答案.

【详解】设数列的公差为d，，则.

故选：D.

7．已知实数满足约束条件则的最大值是（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】根据z的几何意义结合的可行域分析求解即可．

【详解】解：根据题意先作出可行域，如下图阴影部分所示，

对直线，令得，

，

当直线（图中虚线）经过点时，

取最大值为1．

故选：B．

8．若函数在区间上只有一个零点，则常数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将问题转化为函数与函数的图像只有一个交点，利用导数研究的极值或最值即可得到答案.

【详解】令，则，

因为函数在区间上只有一个零点

则函数与函数的图像只有一个交点

又，

在上单调递增，

则

故选：C.

9．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求解的定义域并判断奇偶性，然后根据的值以及在上的单调性选择合适图象.

【详解】定义域为，，

则，为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；

，故排除A；

∵，当时，可得，当时，，单调递增，故排除D.

故选：C.

10．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则椭圆的长轴长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式即可求即解.

【详解】椭圆的蒙日圆的半径为.

因为，所以为蒙日圆的直径，

所以，所以.

因为，当时，等号成立，

所以面积的最大值为：.

由面积的最大值为34，得，得，

故椭圆的长轴长为.

故选：C

11．已知双曲线的左右焦点分别为,为双曲线上第二象限内一点，若直线恰为线段的垂直平分线，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设，渐近线方程为，对称点为，即有，且，解得，将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即有e2=5，解得，故选C．

点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题；设出的坐标，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.

12．已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由得,设，则存在，使得成立，即成立.所以成立又当且仅当即取等号.所以,故选C.

点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立问题. 本题中由可构造函数，则即恒成立，转化为，再求的最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.

二、填空题

13．已知函数.则函数的图像在处的切线方程为            .

【答案】

【分析】求出导函数求出，从而利用点斜式得到切线的方程.

【详解】∵，∴，∴，

又，∴所求切线方程为，即．

故答案为

【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

14．若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为        ．

【答案】4

【分析】根据抛物线的定义计算焦半径即可.

【详解】由题意可得，，P纵坐标为，由其解析式可得P横坐标为，

由抛物线定义知.

故答案为：4

15．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则       ．

【答案】

【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得.

【详解】由正弦定理，①，

又，

代入式①得：，

∴，∵，∴，，

故，又，∴．

故答案为：

16．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围        ．

【答案】

【分析】根据题意转化为可转化为在上有解，令，求得，得出函数的单调性，求得最大值，即可求解.

【详解】若存在，使得不等式成立，

可转化为在上有解，

令，可得，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

又由时，；当时，，

因为，

所以函数的最大值为，所以，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题

17．已知命题，命题有意义．

(1)若为真命题，求实数的取值范围;

(2)若为假命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或．

【分析】（1）先求出命题,为真命题的等价条件,为真命题,则,均为真命题,求出此时的取值范围即可;

（2）由（1） ,为真命题的等价条件,要使为假命题,则为假命题,为真命题,求出此时的取值范围即可.

【详解】（1）解:由题知,，解得，即,

要使函数有意义,

只需,，解得或，即或,

若为真，则有，解得:,

实数的取值范围是;

（2）由(1)知,或,

若为假命题，则与都为假命题，即与都为真命题，

或,

只需，解得或．

则实数的取值范围:或．

18．已知的内角，，的对边分别是，，，且．

（1）求的大小；

（2）若的面积等于，，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）根据题意结合余弦定理得，进而得；

（2）结合（1），由的面积等于得，进而得，故由余弦定理得，再结合正弦定理求解即可.

【详解】解：（1）∵，由余弦定理得，

∵，∴．

（2）因为，

所以，又，故，

于是，

∴，，

所以．

【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查运算求解能力，是基础题.本题第二问解题的关键在于利用正弦定理求解.

19．已知函数．

（1）当时，求在上的值域；

（2）若方程有三个不同的解，求b的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）求出函数的导数，令，列出的变化情况表，即可求出最值；

（2）题目等价于有三个不同的解，根据（1）得出的单调性和极值，即可求出的范围.

【详解】（1）当时，，

，

令，解得，

当变化时，的变化情况如下表：

可得当时，取得最小值为，

当时，取得最大值为，

在上的值域为；

（2）方程有三个不同的解，

即有三个不同的解，

由（1）知，在单调递增，在单调递减，

在处取得极大值为，在处取得极小值为，

，解得.

【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：

（1）先求出函数的导数；

（2）根据导数的正负判断函数的单调性；

（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.

20．已知数列的前项和为，且

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，再结合等比数列的定义，即可求出结果；

（2）由（1）可知，再利用错位相减法，即可求出结果.

【详解】（1）解：因为，当时，，解得

当时，，

所以，

即.

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.

故.

（2）解：由（1）知，则，

所以①

②，

①-②得

.

所以数列的前项和

21．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2.

(1)求椭圆的方程；

(2)若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点.证明：为定值.

【答案】(1)

(2)为定值4，证明见解析

【分析】（1）结合离心率和面积的最大值列出关于的方程，解方程即可；

（2）设直线CM方程，写出点M坐标，联立椭圆方程，求点N坐标，通过向量数量积计算即可；

【详解】（1）当P为短轴端点时，的面积最大，，故解得，故椭圆的方程为.

（2）由（1）知，,设直线，,，

联立整理得，

由得，，

,，

故为定值4.

22．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，证明：对任意的，．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）利用导数求单调区间；（2）将不等式等价转化为，利用导数讨论最值即可求解.

【详解】（1）由题可知函数的定义域为 ，

，

即，

(i)若，

则在定义域上恒成立，

此时函数在上单调递增；

(ii) 若，

令，即，解得,

令，即，解得,

所以在上单调递减，上单调递增.

综上，时，在上单调递增；

时，在上单调递减，上单调递增.

（2）当时，，

要证明，只用证明，

令，，

令，即，可得方程有唯一解设为，且，

所以，

当变化时，与的变化情况如下，

所以，

因为，因为，所以不取等号，

即，即恒成立，

所以，恒成立，

得证.