2022-2023学年安徽省滁州市明光市第二中学高二下学期第一次月考数学试题含答案

2022-2023学年安徽省滁州市明光市第二中学高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知，则（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【分析】利用排列数与组合数的公式求解即可.

【详解】因为，

所以，即，解得或，

因为，所以.

故选：C．

2．甲､乙､丙､丁四名同学参加学校组织的植树活动，学校共组织了3个植树小组，每人只能参加一个植树小组，则甲､乙不在同一个植树小组的安排方法有（    ）

A．81种 B．54种 C．36种 D．12种

【答案】B

【分析】根据分步计数原理分析求解即可.

【详解】甲有3种参加方法，乙有2种参加方法，丙､丁均有3种参加方法，根据分步乘法计数原理可知，甲、乙不在同一个植树小组的安排方法有种，

故选：B．

3．若随机变量的分布列为

则当时，实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】可由分布列的性质直接求解.

【详解】由随机变量的分布列知:

，

则当时，实数的取值范围是.

故选：C.

4．设随机变量，且．若8名党员中有名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意结合二项分布的期望和方差可得，再利用超几何分布的概率公式运算求解.

【详解】因为，则，解得或，

又因为，则，可得，

则．所以，

故选：．

5．已知函数，则（    ）

A．4 B．2 C．-2 D．-4

【答案】A

【分析】根据导数运算求解，结合导数定义即可得所求.

【详解】当时，，所以，

又，则，解得，

由定义可知，．

故选：A．

6．某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为；若浇水，盆栽枯萎的概率为．邻居浇水的概率为．则该人回来盆栽没有枯萎的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，利用全概率公式可求得的值，再利用对立事件的概率公式可求得的值.

【详解】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，

由题意可得，，，，

由全概率公式可得,

由对立事件的概率公式可得，

故选：B.

7．设在上的导函数均存在，，且，当时，下列结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意构建，，利用导数判断其单调性，并利用单调性分析判断.

【详解】因为，不妨设，，

则，所以在上单调递增，

因为与1的大小不确定，所以无法比较的大小关系，故A、B无法判断；

则，即，

且，则，故D错误；

由，即，

且，则，C正确；

故选：C．

8．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，作出抛物线与直线AB的图像，利用抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距离转化为曲线上的点到准线的距离，借助几何图形可判断直线AB的倾斜角，从而可得答案．

【详解】如图，当点在第一象限时，过点分别向准线作垂线，垂足为，作，垂足为，

则轴，设，则，，

由抛物线的定义得，则有，

在中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，

，，∴，

于是直线l的倾斜角为，斜率．

当点在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为.

故选：D．

二、多选题

9．某校开展羽毛球比赛，甲组有选手6名，其中3名男生，3名女生；乙组有选手5名，其中3名男生，2名女生．现从甲组随机抽取一人加入乙组，再从乙组随机抽取一人，A表示事件“从甲组随机抽取的一人是女生”，表示事件“从乙组随机抽取的一人是男生”，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】AB选项，在A发生情况下，结合古典概型求概率公式计算出答案；CD选项，在发生的情况下，结合古典概型求概率公式计算出答案.

【详解】A选项，在A发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是男生有3种可能情况，所以，A正确；

B选项，在A发生时，从乙组随机抽取一人，其中抽取的一人是女生有3种可能情况，所以错误；

C选项，在发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是男生有4种可能情况，所以，C正确；

D选项，在发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是女生有2种可能情况，所以，D错误.

故选：AC．

10．已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则（    ）

A． B．

C． D．曲线在处的切线方程为

【答案】ACD

【分析】根据求导法则以及导数的几何意义可得答案.

【详解】由题意可得，曲线在处的切线方程为.

令，则，即，A正确.

，曲线在处的切线方程为，

即，所以

解得，，B错误，C正确.

曲线在处的切线方程为，D正确.

故选：ACD.

11．若，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AC

【分析】根据展开式的形式结合二项式定理，逐项赋值判即可.

【详解】①，令，则，故A正确，

易知，故B错误；

令，则，故C正确；

对①两边求导可得：②

令，得，

则，

两式相减得，

所以，故D错误．

故选：AC．

12．如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于四点，为弦的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．线段长度的最大值为

B．弦长度的最小值为

C．点的轨迹是一个圆

D．连接四边形各边中点所得四边形面积的最大值为

【答案】BCD

【分析】由长度表示圆上点到原点的距离，即可判断A；根据方程写出已知圆的圆心和半径，由圆的性质判断B；若，，，分别是，，，的中点，圆心到直线，的距离且，易证为矩形且其中心、对角线长度恒定，即可确定的轨迹判断C；根据四边形的面积，利用，从而可得面积最值，即可判断D.

【详解】由题易知圆的方程为，设圆心为则，半径，

由三角形两边之和大于第三边可知，且，

所以当长度最大时圆心与共线且在它们中间，此时错误；

由圆的性质知当即圆心与直线距离最大时的长度最小，

此时圆心与直线距离为，故，B正确；

设分别是的中点，则且且，

又，易知四边形为矩形，而，

圆心到直线的距离且，

所以，则，故

所以在以为直径，的交点为圆心的圆上，C正确；

由上知，则，当且仅当时取等号，此时四边形的面积，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．某班从3名男同学和4名女同学中，选取3人参加班委会选举，要求男女生都有，则不同的选法共有      种，（用数字作答）

【答案】30

【分析】利用间接法，即所有选法中排除全为男生和全为女生的情况即可得答案.

【详解】从3名男同学和4名女同学中，选取3人参加班委会选举，共有种选法，

在所有选法中排除全为男生和全为女生的情况，

则男女生都有的不同的选法共有种，

故答案为：30

14．“民以食为天，食以安为先”．质监部门对某种袋装面粉进行质量检测，这种袋装面粉质量服从正态分布，随机抽取10000袋，其中至少有9545袋面粉的质量在内，则的最大值为          ．（质量单位：，若随机变量服从正态分布，则，，

【答案】/

【分析】利用正态分布的原则求概率.

【详解】由题意可知，，即，

则，解得，故的最大值为．

故答案为：.

四、双空题

15．满足方程的整点（即都是整数）称为佩尔方程的解，其中是给定的整数．当是无理数时，记．若，使得恒成立，则称为方程的基本解．佩尔方程的所有正整数解可由基本解导出，具体关系为：．则佩尔方程的基本解为          ；          ．

【答案】          169

【分析】根据佩尔方程基本解的定义，讨论研究对应是否成立，即可确定基本解；由所得基本解和具体关系有，将代入求即可得结果.

【详解】当时，，不满足题意；

当时，，不满足题意，

当时，，满足题意；

所以佩尔方程的基本解为．

由题意知，

当时，，

故，．

故答案为：，

五、填空题

16．已知函数，若不等式有且只有2个整数解，则实数的取值范围为          ．

【答案】

【分析】不等式有且只有2个整数解即不等式有且只有2个整数解，设，利用导数研究函数单调性，作出函数图像，通过数形结合求解实数的取值范围.

【详解】函数的定义域为．

不等式有且只有2个整数解即不等式有且只有2个整数解，

设，则，

当时，为增函数；当时，为减函数，

又，当时，，当时，，

设，则直线恒过点，在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图像，如图所示．

由图像可知，不满足条件，则，

要使不等式有且只有2个整数解，则这两个整数解是2 和3，

则有

解得，

故答案为：．

六、解答题

17．在①，②成等差数列，③这三个条件中选出两个，补充在下面问题横线上，并解答问题．

数列为递增的等比数列，其前项和为，已知__________．

(1)求数列的通项公式；

(2)设为数列的前项和，证明：．

注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）选①②，选①③，选②③，利用等差中项的意义、等比数列定义及前3项和列式求出首项及公比作答.

（2）由（1）的结论，利用等比数列前n项和公式、裂项相消法求和推理作答.

【详解】（1）选条件①②，设等比数列的公比为，由①知，，

由成等差数列，得，即，解得，

所以数列的通项公式为．

选条件①③，设等比数列的公比为，由①知，，

由，得，解得，

所以数列的通项公式为．

选条件②③，由成等差数列，得，即，

由，得，解得，

设等比数列的公比为，由，得，即，

解得或，而数列为递增的等比数列，则，

所以数列的通项公式为．

（2）由（1）知，，

因此，

所以

18．一个口袋内有5个不同的红球，4个不同的白球.

(1)若将口袋内的球全部取出后排成一排，求白球互不相邻的排法种数；

(2)已知取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若从口袋内任取5个球，总分不少于8分，求不同的取法种数.

【答案】(1)43200

(2)81

【分析】（1）使用插空法可解；

（2）分3红2白，4红1白，5红三种情况求解即可.

【详解】（1）先将5个红球排成一排共，再将4个白色小球插入到6个空位中有，

所以白球互不相邻的排法种数为种.

（2）当取出的小球为3红2白时得8分，共种；

当取出小球为4红1白时得9分，共种；

当取出小球都是红球时得10分，共1种.

所以口袋内任取5个球，总分不少于8分的取法共有种.

19．学校组织的亚运会知识竞赛，设初赛､复赛､决赛三轮比赛，经过前两轮比赛，甲､乙两人进入冠亚军决赛，获胜者获得冠军，失败者获得亚军．本轮比赛设置5道抢答题目，甲与乙抢到题目的机会均等，先抢到题目者回答问题，回答正确得10分，回答错误或者不回答得0分，对方得10分，先得30分者获胜，比赛结束．已知甲与乙每题回答正确的概率分别为．

(1)在第一题的抢答中，记甲的得分为，求的分布列和数学期望；

(2)求乙获得冠军的概率（精确到0.001）．

【答案】(1)分布列见解析；期望为6

(2)

【分析】（1）的可能取值为0和10，每个取值都分甲抢到题目与乙抢到题目两个情况，结合答题是否正确求概率，得分布列，利用公式算数学期望.

（2）已知每题两个得分的概率，根据最后的比分，求乙获得冠军的概率.

【详解】（1）设在第一题的抢答中，甲得分为，则的可能取值为0，10．

，

，

所以的分布列为

所以．

（2）由（1）可知，乙在一题的抢答中得10分的概率为0.40．

设乙得30分甲得0分，乙得30分甲得10分，乙得30分甲得20分的概率分别为．

由（1）可知，；

；

，

所以乙获得冠军的概率为．

20．如图，在直三棱柱中，，点为上一点，且平面．

(1)求的值；

(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质得，再利用中位线性质即可得到比值；

（2）建立合适的空间直角坐标系，求出两平面的法向量即可得到面面角的余弦值.

【详解】（1）如图，连接交于点，连接．

因为平面平面，平面平面，

所以，因为四边形为平行四边形，

所以是的中点，所以为的中点，

所以．

（2）因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

连接，

则

，所以．

取的中点，连接．

因为，则，同理．

以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则

所以，．

设平面的法向量为，

由得取，则，

设平面的法向量为，

由得取，则．

所以，

故平面与平面夹角的余弦值为．

21．已知双曲线与椭圆的焦点重合，且与的离心率之积为．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设双曲线的左､右顶点分别为，若直线与圆相切，且与双曲线左､右两支分别交于两点，记直线的斜率为的斜率为，那么是否为定值？并说明理由．

【答案】(1)

(2)为定值，理由见解析

【分析】（1）设双曲线标准方程，由焦点重合可得的值，再根据离心率关系可求的值，从而得双曲线方程；

（2）设直线，，利用直线与圆相切得的等式关系，联立椭圆与直线可得交点坐标关系，再根据坐标运算即可得结论.

【详解】（1）设双曲线的标准方程为．

易知椭圆的焦点坐标为，离心率为，

所以，

因为与的离心率之积为，所以的离心率为，

所以，即，解得．

故双曲线的标准方程为．

（2）是定值，理由如下：

设，其中，

因为直线与圆相切，所以，即，

联立，消去并整理得，

所以．

因为，则，即，

所以．

由题意得．

，

即为定值．

22．已知函数．

(1)当时，求的单调区间和极值；

(2)若有两个零点，求的取值范围．

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值；

(2)

【分析】（1）代入函数解析式，利用导数求单调区间和极值；

（2）有两个零点，则方程有两个不同的实数根，令且，利用导数研究的单调区间和极值，作出函数图像，数形结合求的取值范围．

【详解】（1）当时，，定义域为，，

当时，，当时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

极大值为，无极小值．

（2），定义域为，

当时，，所以不是函数的零点，

要使有两个零点，则方程有两个不同的实数根．

令且，则直线与函数的图像有两个不同的交点．

，令，解得或，

当时，，当时，，当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减，

当的取值接近0时，的值接近，的极大值为，又知时，，当时，．

又知在上单调递增，在上单调递减，

所以的极小值为，

当的取值接近时，的值趋向，当的取值趋向时，的值趋向，

所以函数的大致图像如图所示．

由图像可知，要满足题设条件，则或，

故的取值范围为．