2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二下学期第一次月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二下学期第一次月考数学试题 一、单选题1．已知数列满足，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用递推关系即求.【详解】依题意有，则，由此得，，，．故选：C．2．下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（    ）A． B．C．通项公式 D．【答案】C【分析】根据等差数列的中项性质以及通项公式，结合充分必要条件的概念逐项分析即可.【详解】对于A：数列是等差数列，∴A选项为“数列是等差数列”的一个充要条件，故A错误；对于B：易知B选项为“数列是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；对于C：∵，∴，∴，∴数列是等差数列，反之若为等差数列，则，此时不一定为2，所以必要性不成立，∴C选项为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；对于D：若数列是等差数列，则，∴成立，反之当，，，时，满足，但不是等差数列，∴D选项为“数列是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误．故选：C．3．已知数列是等差数列，若，，则公差（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用等差数列的下标和性质即可求解.【详解】∵，∴．∵，∴，∴公差．故选：D4．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（    ）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长【答案】C【分析】先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果.【详解】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差（单位都为寸）.故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；春分的晷长为，，秋分的晷长为，，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；小雪的晷长为，，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；立春的晷长，立秋的晷长分别为，，，，，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点.5．已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差和等比数列通项公式可推导得到的通项公式，利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得结果.【详解】是以为首项，为公比的等比数列，，是以为首项，为公差的等差数列，，，.故选：A.6．若正项等比数列满足，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合等比数列的通项公式求出首项与公比，进而求出，从而得到数列的通项公式，进而利用等比数列的前n项和公式即可求出结果.【详解】由题意，，得.令的公比为，由，得，得，∴，∴，令，则，∴，故选：D.7．函数的图象如下图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意结合平均变化率的概念即可得解.【详解】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，即函数在区间上的平均变化率小于0；在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大.所以函数在区间上的平均变化率最大.故选：C.【点睛】本题考查了平均变化率的概念，关键是对知识点的准确掌握，属于基础题.8．设在可导，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据导数的定义，可直接计算出结果.【详解】因为在处可导，由导数的定义可得：.故选：D.9．曲线的倾斜角为的切线的切点坐标为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】对曲线求导，设切点坐标，根据导数的几何意义及已知求切点横坐标，进而求得切点坐标.【详解】由已知得：，切线的斜率．设切点为，则，可得，又，∴切点为.故选：A．10．已知为的导函数，则的图象是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导后由函数性质判断【详解】，则，为奇函数，故排除B，D，且，故排除C，故选：A11．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是（　　　）A．[0,) B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：因为，所以，选A.【解析】导数的几何意义、正切函数的值域.12．已知函数的导函数是，且，则实数的值为（    ）A． B． C． D．1【答案】B【解析】求出导函数，由，可求出实数的值.【详解】求导得，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查复合函数的导数，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 二、填空题13．如图所示的图形是由一连串直角三角形拼合而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为______．【答案】【分析】由勾股定理易得.【详解】因为，，，…，，所以，，，…，．故答案为：.14．在数列中，，且数列是等差数列，则_________.【答案】.【分析】先设等差数列的公差为，由题中条件求出公差，进而求出等差数列的通项公式，得到的通项，从而得出结果.【详解】设数列的公差为，因为，则，所以，所以，因此，解得.故答案为【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的通项公式即可，属于常考题型.15．已知正项数列，满足，且 ，则首项的取值范围是 ______ ．【答案】【解析】根据，利用递推得到 ，则数列的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列，然后利用等比数列前n项和公式分别求和，再根据条件得到求解.【详解】因为，所以，所以所以数列的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列，所以所以，所以，因为，所以，即，所以，即，解得，故答案为：【点睛】方法点睛：证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明；二是等比中项法，证明 .若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可．16．曲线在点处的切线方程为______．【答案】【分析】由题设得，求出点处的导数，即可写出处的切线方程.【详解】∵，∴，∴所求切线方程为，整理得．故答案为： 三、解答题17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，.（1）求等比数列{an}的公比q；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）结合等比数列前n项和的性质以及已知条件，解方程即可求出结果；（2）求出，即可判断数列{}是首项为1，公比为的等比数列，然后利用等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1）由，a1＝－1，知公比q≠1，.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝，.（2）由（1），得an＝(－1)×，所以，所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，故＝＝.18．已知数列中，a1=1，其前n项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，若数列为递增数列，求λ的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）项和转换可得，继而得到，可得解；（2）代入可得，由数列为递增数列可得，，令，可证明为递增数列，即，即得解【详解】（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．（2）．=2·-λ（2n+1）．∵数列为递增数列，∴，即．令，即．∴为递增数列，∴，即的取值范围为．【点睛】本题考查了数列综合问题，考查了项和转换，数列的单调性，最值等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.19．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为，其中为体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：）．（1）求从至，蜥蜴的体温下降了多少？（2）从到，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它表示什么实际意义？（3）求并解释它的实际意义．【答案】（1）16℃；（2）表示从到这段时间内变化率为，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃；（3）表示太阳落山后时，蜥蜴的体温下降的速度为．【分析】（1）由题意从至的体温为，即可求值.（2）根据平均变化率的定义求到的平均变化率，说出其实际含义即可.（3）利用导数的定义求，并说明其实际含义即可.【详解】（1），即从到，蜥蜴的体温下降了16℃．（2）蜥蜴的体温下降的平均变化率为，它表示从到这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃．（3）∵，∴当趋于0时，趋于，即，它表示太阳落山后时，蜥蜴的体温下降的速度为．20．已知曲线.（1）求该曲线斜率为-3的切线方程；（2）当曲线的切线斜率最大时，切点为，过点作直线与轴、轴的正半轴交于两点，求面积的最小值.【答案】（1）或.（2）【分析】（1）先对函数求导，再令导函数等于-3即可求出切点坐标，进而可求切线方程；（2）先由切线斜率取最大时，求出切点坐标，再设出两点坐标，得到直线的截距式方程，将切点坐标代入直线方程，结合基本不等式即可求解.【详解】（1）由，得，，解得或.当时，；当时，.∴切线方程为或，即或.（2）∵，∴当时，切线的斜率取得最大值1，此时，即点坐标为.由题意，设，（，），则直线的方程为.∴.∴ ，当且仅当，即时取“”号.将代入，解得，.∴直线的方程为，即时，面积的最小值为.【点睛】本题主要考查导函数的几何意义，根据导数的方法求曲线的切线方程，由切线斜率求切点坐标，属于基础题型.21．已知点A（，﹣1），B（2，1），函数f（x）＝log2x．（1）过原点O作曲线y＝f（x）的切线，求切线的方程；（2）曲线y＝f（x）（≤x≤2）上是否存在点P，使得过P的切线与直线AB平行？若存在，则求出点P的横坐标，若不存在，则请说明理由．【答案】（1）；（2）【分析】(1 )设切点为，求得的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式列方程求得，从而可得结果；(2)设,求得导数可得切线的斜率,由两点的斜率公式，以及两直线平行的条件：斜率相等，可得的横坐标.【详解】（1）设切点为，函数导数为由题意可得，解得，则切线方程为；（2）的斜率为，设，假设存在点P，使得过P的切线与直线AB平行，可得.可得则曲线上存在点P，使得过P的切线与直线AB平行，且P的横坐标为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 已知斜率求切点即解方程；(3)已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.22．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6． 23．已知函数．（1）求该函数的导数；（2）求该函数的图象在处的切线的倾斜角．【答案】（1） ；（2） ．【分析】（1）运用复合函数的求导法则，计算即可得到所求的导数.（2）代入，计算可得切线的斜率，由斜率公式可得倾斜角的大小.【详解】（1），．（2）由（1），知所以．设该函数的图象在处的切线的倾斜角为，则．又，所以，所以该函数的图象在处的切线的倾斜角为．