2024届河南省漯河市高级中学高三上学期摸底考试数学试题含答案

2024届河南省漯河市高级中学高三上学期摸底考试数学试题

一、单选题

1．下面四个命题正确的是（    ）

A．10以内的质数集合是{1，3，5，7}

B．0与{0}表示同一个集合.

C．方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}

D．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}

【答案】D

【分析】根据集合的概念和集合元素的特性逐一判断即可.

【详解】以内的质数有、、、，故A选项错误；

是集合内的一个元素，故B选项错误；

由集合元素互异性可知错误，故C选项错误；

由集合元素的无序性可知D选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了集合的概念和集合元素的特性，属于基础题.

2．若复数所对应的点在第四象限，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意求出，再根据复数所对应的点所在象限，即可求解.

【详解】因为复数满足：，即，

故或，

因为复数所对应的点在第四象限，

故复数，所以.

故选:C.

3．已知四面体的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由空间向量的线性运算可得，结合数量积的运算性质和定义求.

【详解】因为E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，

所以，，因为

，

，

，

所以．

故选：D.

4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？

A．第2天 B．第3天 C．第4天 D．第5天

【答案】B

【分析】用列举法求得前几天挖的尺寸，由此求得第几天相遇.

【详解】第一天共挖，前二天共挖，故前天挖通，故两鼠相遇在第天.

故选B.

【点睛】本小题主要考查中国古代数学问题，考查等比数列的概念，属于基础题.

5．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而即可求解.

【详解】设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为，则

由题意可知，，

因此有

，即，解得，

因为，

所以.

所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

故选：D.

6．设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则直线与平面所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意，根据线面角与向量夹角的关系，可得答案.

【详解】由题意，设直线与平面所成角为，则，

由，则，

故选：A.

7．若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将不等式变式为，设后转化为恒成立，只需求函数的最大值即可.

【详解】因为，

所以，设，

则，，

令

恒成立，故单调递减，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；.

故

所以，得到.

故选:A.

8．函数f（x）的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出f(x)的导函数,利用导数研究函数的单调性,然后结合图象得到答案.

【详解】解:由f(x),得f′(x),

令g(x)＝1,则g′(x)0,

所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,

又g(e)0,g(e2)0,

所以存在x0∈(e,e2),使得g(x0)＝0,

所以当x∈(0,x0)时,g(x)＞0,f′(x)＞0;

当x∈(x0,+∞)时,g(x)＜0,f′(x)＜0,

所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.

故选:C.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理,属中档题.

二、多选题

9．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ）

A．

B．

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

【答案】ABD

【分析】根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.

【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以，

由于，所以.

A，，当时等号成立，故A正确.

B，，当且仅当时等号成立，故B正确.

C，不等式的解集为，，故C错误.

D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，

则，，故D正确，

故选：ABD

10．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】对双曲线的焦点位置进行讨论，得关系，再计算离心率即可.

【详解】若双曲线焦点在轴上，因为渐近线方程为，故，；

若双曲线焦点在轴上，由渐近线方程为，得，.

故选：AB.

【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了分类讨论思想，属于基础题.

三、单选题

11．下列说法中不正确的是（    ）.

A．点斜式适用于不垂直于轴的任何直线.

B．斜截式适用于不垂直于轴的任何直线.

C．两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线.

D．截距式适用于不过原点的任何直线.

【答案】D

【分析】由直线方程有意义分析可得各种形式的适用条件，从而得出答案.

【详解】解:点斜式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，A正确；

斜截式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，B正确；

两点式中分母不能为零，即两点的横坐标不能相等，纵坐标也不能相等，即直线不能垂直于轴，C正确；

截距式中两截距必须存在且都不为0，因此直线必须不过原点，也不能与坐标轴平行，D错误．

故选：D．

【点睛】本题考查直线方程的四种形式的适用范围，属于基础题．解题时只要从各方程有意义即可分析．

四、多选题

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数在处取得极大值

B．方程有两个不同的实数根

C．

D．若不等式在上恒成立，则

【答案】AC

【分析】当时，函数有极大值，故选项A正确；方程不可能有两个不同的实数根，选项B错误；，选项Ｃ正确；，选项D错误.

【详解】易知函数的定义域为，，

令，则，解得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以当时，函数有极大值，故选项A正确；

因为，且当时，，当时，，

所以方程不可能有两个不同的实数根，选项B错误；

因为函数在上单调递增，且，

所以，选项Ｃ正确；

不等式在上恒成立即不等式在上恒成立，

令，则，令，

则，解得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

所以当时，函数有最大值，所以，选项D错误.

故选：AC

【点睛】方法点睛：零点问题的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令得，分析的图象得解）.

五、填空题

13．已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是         ．

【答案】

【分析】根据题意转化为 ，求导函数，分别求出函数的最大值，的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．

【详解】由，可得，

当，，所以在单调递减，

，

，在上单调递增，

，

对任意的，都有成立，

，

，

故答案为：．

14．已知函数f（x）=lg（x2+2ax-5a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围为     

【答案】

【分析】利用对数函数的定义域以及二次函数的单调性，转化求解即可．

【详解】解：函数f（x）＝lg（x2+2ax﹣5a）在[2，+∞）上是增函数，

可得：，解得a∈[﹣2，4）．

故答案为[﹣2，4）．

【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．

15．如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若，，，，，分别是棱，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是      ．

【答案】

【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线夹角.

【详解】如图，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，

由题可得，，，，，

，，

为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，

又平面与平面均与轴垂直，

所以，，

又，，，分别是，，，的中点，

则，，，，

所以，，

，

所以直线与直线夹角余弦值为，

故答案为：.

16．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为     ．

【答案】

【分析】根据数列最大值的性质，结合等差数列前n项和公式进行求解即可.

【详解】∵Sn＝7n，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，

∴，即，解得：，

综上：d的取值范围为．

故答案为：

六、解答题

17．已知等比数列的各项均为正数，且，.

(1)求的通项公式；

(2)数列满足，求的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件建立关于的方程组，然后解出即可得答案；

（2）利用分组求和法求出答案即可.

【详解】（1）∵，

∴，，解得，∴；

（2）由题可知，∴，

∴，

18．如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上.

（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；

（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.

【详解】（1）由得圆心，

∵圆的半径为1，

∴圆的方程为：，

显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．

∴，

∴，∴或．

∴所求圆的切线方程为或．

（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，

则圆的方程为．

又∵，

∴设为，则，整理得，设为圆．

所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，

∴，

由，得，

由，得．

综上所述，的取值范围为．

【解析】1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.

【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.

19．已知函数，且，．

(1)求的解析式；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明．

【答案】(1)；

(2)单调递增，证明见解析.

【分析】（1）由题可得即可求出，得到的解析式；

（2）根据单调性的定义即可判断证明.

【详解】（1）由题意，得，即,

解得：，．故．

（2）方法一：在上单调递增．

证明：，，且，则．

由，得，，，

所以，即．故在上单调递增．

方法二：在上单调递增．

证明：，，且，则．

由，得，，所以．故在上单调递增．

20．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

【答案】（1）．（2）．

【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．

（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．

【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，

得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，

根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．

如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，

如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，

如果最高气温低于20，需求量为200瓶，

∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p．

（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，

Y＝450×2＝900元，

当温度在[20，25）℃时，需求量为300，

Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，

当温度低于20℃时，需求量为200，

Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，

当温度大于等于20时，Y＞0，

由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：

90﹣（2+16）＝72，

∴估计Y大于零的概率P．

【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

21．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在直线，使得直线与圆相切，与椭圆交于两点，且满足（为坐标原点）？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）设椭圆方程为，将已知点坐标代入解方程组即可；

（2）分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程消去y，利用韦达定理表示，再根据直线与圆相切列方程，联立求解即可判断.

【详解】（1）设椭圆的方程为．

因为过两点，所以解得，

所以椭圆的方程为．

（2）假设存在直线满足题意．

（ⅰ）当直线的斜率不存在时，此时的方程为．

当时，，

同理可得，当时，．

（ⅱ）当直线的斜率存在时，设的方程为，设，

因为直线与圆相切，所以，即①，

联立方程组整理得，

，

由根与系数的关系，得

因为，所以．

所以，

所以，

整理得②，

联立①②，得，此时方程无解．

由（ⅰ）（ⅱ）可知，不存在直线满足题意．

22．某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路，余下的外围是抛物线的一段，的中垂线恰是该抛物线的对称轴，是的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形区域种植草坪，其中均在该抛物线上.经测量，直路段长为60米，抛物线的顶点到直路的距离为40米.以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.

(1)求该段抛物线的方程；

(2)当长为多少米时，等腰梯形草坪的面积最大？

【答案】(1)

(2)20米

【分析】(1)，把两点坐标代入求解即可；

(2)，由梯形的面积公式，可得梯形的面积为，构造函数，求导可知当时，该函数有唯一的极大值点，则改点也是函数的最大值点，即可求解.

【详解】（1）设该抛物线的方程为，由条件知，，

所以，解得，

故该段抛物线的方程为.

（2）由（1）可设，所以梯形的面积，

设，

则，令，解得，

当时，在上是增函数；

当时，在上是减函数.

所以当时，取得极大值，也是最大值.

故当长为20米时，等腰梯形草坪的面积最大.