河南省漯河市2023-2024学年高三上学期期末质量监测数学试题

这是一份河南省漯河市2023-2024学年高三上学期期末质量监测数学试题，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知，，是不重合的三条直线，，，是不重合的三个平面，则下列选项正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，，则
3.已知，则（ ）
A.2B.C.D.
4.将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
A.，的最小值为B.，的最小值为
C.，的最小值为D.，的最小值为
5.设正实数，，满足，则的最大值为（ ）
A.4B.2C.3D.1
6.已知，是椭圆的两个焦点，双曲线的一条渐近线与交于，两点.若，则的离心率为（ ）
A.B.C.D.
7.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过4次飞行后，停在位于数轴上实数3的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有（ ）
A.22B.24C.26D.28
8.，，，则（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某同学用搜集到的六组数据绘制了如下散点图，在这六个点中去掉点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A.决定系数变小B.相关系数的绝对值变大
C.残差平方和变小D.解释变量与预报变量相关性变弱
10.如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（ ）
A.
B.存在一点，使得
C.三棱锥的体积为
D.若，则面积的最小值为
11.已知抛物线与圆交于，两点，且，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法中正确的有（ ）
A.若直线的斜率为1，则
B.若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为
C.若点，则周长的最小值为
D.的最小值为
12.已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为______.
14.数列满足，若为数列的前项和，则______.
15.如图是构造无理数的一种方法：线段；第一步，以线段为直角边作直角三角形，其中；第二步，以为直角边作直角三角形，其中；第三步，以为直角边作直角三角形，其中……如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如，，，…，则______.
16.已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共6个题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
如图所示，在平面四边形中，，，，，的面积为.
（1）求；
（2）求.
18.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱的底面是等边三角形，，，，，分别为，，的中点.
（1）在线段上找一点，使平面，并说明理由；
（2）若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）直线与曲线交于不同两点，，直线，分别交轴于，两点.求证：.
21.（本小题满分12分）
为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电450度时应交电费多少元？
（2）现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；
（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，记取到第一阶梯电量的户数为，当时对应的概率为，求取得最大值时的值.
22.（本小题满分12分）
已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求的取值范围；
（2）证明：，.
漯河市2023-2024学年上学期期末质量监测
高三数学参考答案
（特别提醒：解答题解法不唯一，请阅卷老师根据考生实际作答情况酌情给分.）
一、单选题
1-5 BCDAD6-8 BDD
二、多选题
9.BC10.ACD11.ABC12.BC
三、填空题
13.14.15.16.
（注：15题写成或同样给分。）
四、填空题
17.解：（I）由题知，，
，，，
由余弦定理知，
，
.
（II）由（I）知，，.
如图所示，作，，垂足分别为，，
则，，.
，，，
.
.
（注：17题第（2）问不作辅助线也有多种做法.）
18.解：（1）解：，
当时，，两式相减得，.
，，所以，，
，，
数列是以首项，公比为的等比数列.
（2），，
，
，
，
对任意恒成立，
，
，
恒成立，
，，的取值范围是.
（注：对于数列的求和利用裂项相消也是可行的.请阅卷老师根据学生实际作答情况酌情给分.）
19.解：（1）如图所示：
当点为的中点时，平面，
证明如下：设为中点，连接，.
因为在三棱柱中，，
，，，分别为，，，的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形.
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）如图所示：
取中点，连接，，.
因为，，
所以为正三角形，所以.
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又，平面，所以，，
因为为等边三角形，所以.
以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
依题意得，，，，，，
所以，.
设平面的法向量，
则由，得，令，得.
取平面的法向量，
设平面与平面所成二面角的大小为，
则.
所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为.
20.解：（1）由题意得
所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.
设其方程为，则，，所以，，
所以，所以动点的轨迹方程为.
（2）设，，（且），
由，得，
依题意，即，
则，
因为
所以直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，即.
因为，所以.
21.解：（1）（元）.
（2）设取到第二阶梯电量的户数为，可知第二阶梯电量的用户有4户，则可取0，1，2，3，4
，
，，
故的分布列为
.
（3）据题意，从全市中抽取的10户中用电量为第一阶梯的有户，则服从二项分步，
可知，
（注：两个不等式写出一个即可.）
解得，，.
当时用电量为第一阶梯的可能性最大.
22.解：（1）由题意知，函数的定义域为，，
因为函数在其定义域内有两个不同的极值点.
所以方程在有两个不同根
即方程在有两个不同根，
令，则，
当时，由恒成立，即在内为增函数，显然不成立.
当时，由解得，
即在内为增函数，内为减函数，则，解得.
此时，当时，，当时，，满足题意.
综上可知的取值范围为；
（注：本题亦可用参数分离法求解.）
（2）证明：由（1）知：当时，恒成立
所以，，……，，
上面个式子相加得：
，
即.
又因为
所以，
所以，.
（注：本题还可先变形，然后利用（且）放缩证明.）阶梯级别
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
月用电范围（度）
居民用电户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用电量（度）
53
86
90
124
214
215
220
225
420
430
0
1
2
3
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