2024漯河高级中学高三上学期摸底考试数学试题含答案

参 考 答 案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.答案：D

解析：10以内的质数有2，3，5，7，故A错误；0是集合中的一个元素，故B错误；由集合元素的互异性可知错误，故C错误；由集合元素的无序性可知D正确.故选D.

2.答案：C

解析：根据已知有：因为复数z满足：，即，故或，因为复数z所对应的点在第四象限，故复数，所以.故选C.

3.答案：D

解析：因为E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，所以，所以.因为，

，

，所以.故选D.

4.答案：B

解析：第一天：大老鼠1+小老鼠1=2；

第二天：大老鼠2+小老鼠1.5=3.5

第三天：大老鼠4+小老鼠1.75=5.75相遇

5.答案：D

解析：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为，则

由题意可知，，

因此有

，

即，

解得，

因为，

所以.

所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.

故选：D.

6.答案：A

解析：由题意，设直线l与平面所成的角为，则.由，得.故选A.

7.答案：A

解析：因为，

所以，设，，则，，

令

恒成立，故单调递减，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故所以，得到.

8.答案：C

解析：由，得.
令，则，
所以在上单调递减.
又，，
所以存在，使得，
所以当时，，；
当时，，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.答案：ABD

解析：由于集合有且仅有两个子集，所以，.因为，所以.，当且仅当，时等号成立，故A正确.，当且仅当，即，时等号成立，故B正确.不等式的解集为，则，故C错误.不等式的解集为，即不等式的解集为，且，又因为，，所以，所以，故D正确.选ABD.

10.答案：AB

解析：当双曲线C的焦点在x轴上时，渐近线为，可设，，则，离心率；当双曲线C的焦点在y轴上时，渐近线为，可设，，则，离心率，故选AB.

11.答案：ABC

解析：A，B，C均正确，D中，与坐标轴平行的直线也不能用截距式表示.

12.答案：AC

解析：易知函数的定义域为，，令，则，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数有极大值，选项A正确；因为，且当时，，当时，所以方程不可能有两个不同的实数根，选项B错误；因为函数在上单调递增，且，所以，选项C正确；不等式在上恒成立即不等式在上恒成立，令，则，令，则，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数有最大值，，所以，选项D错误.故选AC.

三、填空题：每小题5分，共4小题，共20分.

13.答案：

解析：求导函数，可得，，，，

在上单调递增，

，

对任意的，，都有成立，

，

，

故答案为：.

14.答案：

解析：函数在上是增函数，可得解得，所以a的取值范围函数，可得为.

15.答案：

解析：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，.因为，，所以为等腰直角三角形，所以也为等腰直角三角形.又平面与平面均与x轴垂直，所以，.又P，Q，M，N分别是，，，的中点，所以，，，，所以，，所以，所以直线PQ与直线MN所成角的余弦值为.

16.答案：

解析：由题意知当且仅当时有最大值，可得即解得.

四、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）答案：（1）

（2）

解析：（1），

，，解得，；

（2）由题可知，，

，

18.（12分）答案：（1）或，即或

（2）

解析：（1）由得则圆心.

又圆C的半径为1，圆C的方程为.

显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即.

，，

，或.

所求圆C的切线方程为或，即或.

（2）设，则由，得，即，故点M的轨迹方程为，记为圆D.

根据题意只要保证圆D与圆C有公共点即可.

设，则，即，解得.

圆心C的横坐标a的取值范围为.

19.（12分）答案：（1）

（2）单调递增，证明见解析

解析：（1）由题意，得，即，

解得：，.故.

（2）方法一：在上单调递增.

证明：，且，则.

由，得，，，

所以，即.故在上单调递增.

方法二：在上单调递增.

证明：，且，则

.

由，得，，所以.故在上单调递增.

20.（12分）答案：（1）概率的估计值为0.6

（2）概率的估计值为0.8

解析：（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为.

所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，

则；

若最高气温位于区间，则；

若最高气温不低于25，测，所以，利润Y的所有可能值为-100，300，900.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为.

因此Y大于零的90概率的估计值为0.8.

21.（12分）答案：（1）

（2）不存在直线l满足题意，理由见解析

解析：（1）设椭圆C的方程为.因为过，两点，故解得，所以椭圆C的方程为.

（2）假设存在直线l满足题意.

(i)当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为.

当时，，，，

同理可得，当时，.

(ii)当直线l的斜率存在时，设l的方程为，设，，

因为直线l与圆O相切，所以，即①，

联立方程组整理得，，

由根与系数的关系得

因为，所以.

所以，

所以，

整理得②，

联立①②，得，此时方程无解.

由(i)(ii)可知，不存在直线l满足题意.

22.（12分）答案：（1），

（2）20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大

解析：（1）设该抛物线的方程为，由条件知，，，

所以，解得，故该段抛物线的方程为，.

（2）由（1）可设，所以梯形ABCD的面积，，设，，则，令，解得，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.所以当时，取得极大值，也是最大值.故当CD长为20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大.