2024届山西省晋中市平遥县第二中学校高三上学期第一次质检（8月）数学试题含答案

2024届山西省晋中市平遥县第二中学校高三上学期第一次质检（8月）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数型函数的定义域、一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：C

2．下列命题中为真命题的是（    ）

A．所有的矩形都是正方形

B．集合与集合表示同一集合

C．是的必要不充分条件

D．，

【答案】C

【分析】由正方形与矩形的概念可判定A项，由描述法的概念可判定B项，由平方的性质结合充分必要条件的定义可判定C项，由配方法可判定D项.

【详解】对于A项，所有长宽不等的矩形都不是正方形，故A错误；

对于B项，由描述法的概念可知集合与集合分别表示点的集合与数的集合，

显然不表示同一集合，故B错误；

对于C项，由，不满足充分性，若则，满足必要性，故C正确；

对于D项，，故D错误.

故选：C

3．已知，则的最大值为（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】利用基本不等式进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

当且仅当时取等号，因为，解得，

故选：B

4．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由定义域不关于原点对称判断A；根据导数以及奇偶性定义判断B；由指数和对数函数单调性判断CD.

【详解】对于A，易知的定义域为，不关于原点对称，故A错误；

对于B，函数的定义域为，

令当时，，

即函数在区间上单调递减，

又，所以是奇函数，故B正确；

对于C，，易知函数在区间上单调递增，故C错误；

对于D，当时，在区间上单调递增，故D错误；

故选：B

5．下列命题中，正确的是（    ）

A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a<b

C．若a>b，c>d，则a﹣c>b﹣d D．若，则a<b

【答案】D

【分析】运用不等式的性质，结合特殊值法，对选项注逐一判断正误即可.

【详解】选项A中，若，时，则成立，否则，若，则，显然错误，故选项A错误；

选项B中，若，，则能推出，否则，若，则，显然错误，故选项B错误；

选项C中，若，则，显然错误，故选项C错误；

选项D中，若，显然，由不等式性质知不等式两边同乘以一个正数，不等式不变号，即.

故选：D

6．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式、增函数的性质进行判断即可.

【详解】

，所以有，

因此函数的周期是，

，

，

因为函数是定义在R上的奇函数，

所以，

因为区间上是增函数，

所以，所以，

所以，

故选：D

7．已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ）

A．①④ B．①② C．②③ D．③④

【答案】B

【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.

【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，

因为是的的充分条件，所以，

因为是的必要条件，所以，

因为是的必要条件，所以，

因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，

因为，，，所以，

推不出，故是的充分不必要条件，②正确；

因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；

因为，，所以，又，

所以是的充要条件，命题④错误；

故选：B.

8．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】易知为上的增函数，且为奇函数，将转化为，利用单调性求解.

【详解】因为函数的定义域为R，且，

所以为奇函数，又为上的增函数，

所以，

即，

所以，

解得，

所以实数的取值范围是.

故选：D.

二、多选题

9．(多选)已知都是非零实数， 可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】分类讨论的正负情况，从而得到集合的表达式，由此得解.

【详解】当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

故，所以，故B正确.

故选：ACD．

10．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．已知a，b为实数，则“”是“”的充要条件

C．命题p：，，则：，

D．已知，，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】AC

【分析】根据充分性、必要性的定义，结合对数函数和指数函数的单调性、存在命题的否定性质逐一判断即可.

【详解】A：，或，显然“”是“”的充分不必要条件，所以该选项正确；

B：当时，显然成立，但是不成立，

因此本选项不正确；

C： 因为存在命题的否定是全称命题，

所以本选项正确；

D：因为，，

所以，，

显然由，

当时，显然成立，但是不成立，

所以本选项不正确，

故选：AC

11．下列函数中，最小值是4的函数有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】根据基本不等式，对各项逐个分析判断，经过计算即可得解.

【详解】对A，，可得 ，当时取等，故A正确，

对B，，，故B错误，

对C，， ，

当取等，故C正确，

对D，，，当时取等，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题考查了基本不等式，在利用基本不等式求最值时，注意变量的取值范围，关键是考查能否取等号，属于基础题.

12．已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，，当时，都有，则下列结论正确的是（   ）

A． B．是偶函数

C．是周期为4的周期函数 D．

【答案】ABC

【分析】由的图象关于直线对称，得到关于轴对称，赋值后得到，进而得到，判断出ABC均正确；

根据，，当时，都有，得到在上单调递增，结合函数的周期及奇偶性得到，，判断出.

【详解】的图象关于直线对称，故关于轴对称，是偶函数，B正确；

中，令得：，

因为，所以，解得：，A正确；

故，是周期为4的周期函数，C正确；

对，，当时，都有，

故在上单调递增，又是周期为4的周期函数，且是偶函数，

故，，

因为，

所以，D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为       .

【答案】

【分析】根据“三个二次关系”确定参数值，进而解二次不等式即可.

【详解】∵关于的不等式的解集为，

∴，即，

∴关于的不等式可化为，即

∴解集为，

故答案为：

14．已知函数，则的值为          .

【答案】8

【分析】利用分段函数的性质，已知时函数，利用所给性质转化到该区间上，然后代入求值．

【详解】解：由题意得

故答案为

【点睛】本题考查分段函数求函数值，关键利用所给性质转化到已知函数解析式的区间上，属于基础题．

15．已知函数，若，则      ．

【答案】

【分析】本题首先可根据得出，然后根据即可得出结果.

【详解】因为，所以，，

则，

故答案为：.

16．若函数满足，则        ．

【答案】/

【分析】根据的倒数关系，利用代入法构造方程组进行求解即可.

【详解】因为，

所以有，

，得，

所以，

故答案为：

四、解答题

17．已知，试比较与的大小.

【答案】

【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可.

【详解】，

，.

两数作商

，

.

18．已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}

（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．

（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．

【答案】（1）（2，5]； （2）{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}.

【分析】（Ⅰ）当m＝3时，求得集合B，解不等式求得集合A,进而可得交集；

（Ⅱ）分B≠∅和B＝∅两种情况，列出不等式组求解即可．

【详解】（Ⅰ）当m=3时，A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；

则A∩B=（2，5]．

（Ⅱ）∵B⊆A，

当B≠∅时，；

解得，﹣1≤m≤2；

当B=∅时，由m﹣1≥2m+1得，m≤﹣2；

故实数m的取值范围为{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}．

【点睛】本题考查了集合的化简与运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．

19．已知命题p：对于任意，都有：命题q：存在，使得．若p与q中至少有一个是假命题，求实数a的取值范围．

【答案】且

【分析】先根据命题p为真和命题q为真，求得a的范围，再求得命题p和命题q同时为真的a的范围，再求补集即可.

【详解】解：由题意知：命题p：对于任意，都有，

若命题p为真，则对于任意，都有，即：

命题q：存在，使得．

若命题q为真，则方程有解．

则有，即 ，解得 或，

若p与q都是真命题，则或，

所以若p与q中至少有一个是假命题，实数a的取值范围是且.

20．已知定义域为R的函数是奇函数.

（1）求a，b的值；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）a＝2；b＝1；（2）或.

【分析】（1）由是定义在R上的奇函数，可得f(0)＝0，再由奇函数的定义可得f（1）＝－f(－1)，从而可求出a，b的值；

（2）对函数变形判断函数的增减性，由于函数为奇函数，所以可转化为f(t2－2t)<f(－2t2＋1)，再利用单调性可求得结果

【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即，解得b＝1，

所以.

又由题意得f（1）＝－f(－1)，知，解得a＝2.

（2）由（1）知.

由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数).

又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0

等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1).

所以t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，

解得t>1或t<－，

所以该不等式的解集为或.

【点睛】此题考查奇函数的性质，考查函数的单调性，考查利用函数的性质解不等式，属于中档题

21．已知二次函数的最小值为1，且．

(1)求的解析式；

(2)若在区间上不单调，求实数a的取值范围；

(3)在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意，设，结合，求得，即可求解；

（2）根据二次函数的性质，结合题意，得到不等式，即可求解；

（3）根据题意，转化为在区间上恒成立，设，结合二次函数的性质，求得的最小值为，即可求解.

【详解】（1）解：根据题意，二次函数满足，可得函数的对称轴为，

因为函数的最小值为，可设，

又因为，可得，解得，

所以函数的解析式为.

（2）解：由函数，其对称轴为，

要使得函数在区间上不单调，则满足，

解得，即实数a的取值范围为.

（3）解：由函数，

若在区间上，的图象恒在的图象上方，

则由在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

设，其对称轴为，则在上单调递减，

所以函数的最小值为，则有，

所以实数m的取值范围为．

22．设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有，当时，．

(1)求证：是周期函数；

(2)当时，求的解析式；

(3)计算．

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据已知等式，利用赋值法进行证明即可；

（2）根据函数的周期性，结合奇函数的性质进行求解即可；

（3）根据函数的周期性进行求解即可.

【详解】（1），

所以：是以为周期的周期函数；

（2）当时，因为函数是定义在R上的奇函数，

所以，

当时，；

（3），

因为函数的周期为，

所以.