2024届山西省长治市第四中学校高三上学期8月月考数学试题含答案

这是一份2024届山西省长治市第四中学校高三上学期8月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据集合并集的概念及运算，即可求解．
【详解】由集合，，
根据集合并集的概念及运算，可得．
故选：B．
2．若函数，若，则实数m的值等于（ ）
A．－3B．1C．－1或3D．－3或1
【答案】D
【分析】分段求解方程，即可求得函数的零点.
【详解】当时，等价于，解得；
当时，等价于，解得.
故选：D.
【点睛】本题考查函数零点的求解，属基础题.
3．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据指数函数的单调性判断与1的大小关系，再由对数函数的单调性判断与0的大小关系，最后判断与0和1的大小关系即可求解.
【详解】解：因为，，，
所以，
故选：C.
4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】首先根据题意得到，为方程的根，再解出的值带入不等式即可.
【详解】有题知：，为方程的根.
所以，解得.
所以，解得：或.
故选：B
【点睛】本题主要考查二次不等式的求法，同时考查了学生的计算能力，属于简单题.
5．函数的大致图象是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式，用排除法判断，根据偶函数排除C、D；再根据单调性，排除A，即可求解答案.
【详解】可知函数是偶函数，排除C，D；
定义域满足：，可得或.当时，是递增函数，排除A；
故选B.
【点睛】本题考查已知函数解析式的函数图像的判断，考查数形结合思想，属于基础题.
6．已知，则关于的说法正确的是（ ）
A．有最大值8B．有最小值C．有最小值8D．有最大值
【答案】B
【分析】由题意可知x与3y和为定值，根据基本不等式即可求得的最小值.
【详解】根据题意得，，
则（当且仅当时，等号成立），
则有最小值.
故选B．
7．定义运算：，例如：，，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为函数与的图象有3个不同的交点，画出函数图象，利用图象求解即可
【详解】因为函数有3个不同的零点，
所以方程有3个不相等的实根，
所以函数与的图象有3个不同的交点，
函数图象如图所示
由图可知当，两函数图象有3个不同的交点，
所以实数的取值范围为，
故选：A
8．高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先求出函数的值域，再根据题干中要求即可得出的值域.
【详解】，
，
，
，
，
即函数的值域为，
由高斯函数定义可知：
函数的值域为
故选：C.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
二、多选题
9．当时，幂函数的图像在直线的下方，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】转化为当时，恒成立，可得，由此可得解.
【详解】根据题意得当时，，可知，
故选：AB
【点睛】关键点点睛：由不等式得出是解题关键.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.
【详解】A.取特殊值，，，显然不满足结论；
B.由可知，，结论正确；
C. ，，，，显然不满足结论；
D. ，则
又，则根据不等式性质，有成立.
故选：BD.
11．已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】CD
【分析】利用分段函数单调性建立不等关系，从而求出参数的取值范围．
【详解】由函数是上的增函数，
所以
所以，
故选：CD．
12．对任意两个实数a，b，定义，，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．方程有两个解
C．函数有个单调区间D．函数有最大值为，最小值
【答案】ABC
【分析】根据定义表示出函数解析式，并画出函数图象，观察图象即可得出正确选项．
【详解】由题意可得，，作出函数图象，如下图所示：
由图像可知，该函数为偶函数；
函数有两个零点；
函数单调递减区间为：和，单调递增区间为：和，故函数有四个单调区间；
当时，函数取得最大值为，无最小值．
故选：ABC．
三、填空题
13．函数的单调递减区间是 ．
【答案】
【分析】根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.
【详解】，
，
解得或.
函数的开口向上，对称轴是轴，
在上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知的单调递减区间是.
故答案为：
14．使得“”成立的一个充分不必要条件是 ．
【答案】（答案不唯一，只需为集合的真子集即可）
【分析】由指数函数性质求得不等式的解，然后根据充分不必要条件的定义确定．
【详解】，即原不等式解集为，只要取此集合的真子集即可，如．
故答案为：．
15．若函数满足，则 .
【答案】1
【分析】根据，分别令，求解.
【详解】因为，
令可得：，①
令可得：，②
联立①②可得：，
故答案为：1.
16．已知函数是定义在[-5,5]上的偶函数，且在区间是减函数，若，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用奇偶性及单调性将原命题等价转化为，从而解该不等式组即可求得正解.
【详解】由已知可得原不等式等价于，结合单调性可得．
故答案为：
四、解答题
17．已知集合U为全体实数集，或，.
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）把代入求出N，然后结合集合的补集交集运算即可.
（2）根据函数的包含关系即可求解参数的取值范围.
【详解】（1）解：由题意得：
当时，集合U为全体实数集
或，
（2）若，则当时，，解得：；
当时，成立，且或成立，解得：；
综上：实数a的取值范围或
18．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
(2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，，
【答案】(1)；证明见解析
(2)
【分析】（1）根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可．
（2）利用（1）中结论可得，时，，依此不等式即可比较所给三个数的大小.
【详解】（1）由题意可得：，时，．
证明如下：，
，，，，
，．
（2）由（1）知，时，，即；
则，
，
又
综上所述，.
19．求满足下列条件的各式的值：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）首先解方程求出的值，再根据对数恒等式计算可得；
（2）根据对数恒等式计算可得.
【详解】解：（1）
，
；
（2），.
【点睛】本题考查对数恒等式的应用（且），属于基础题.
20．已知函数，．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)讨论函数的值域．
【答案】(1)
(2)偶函数，理由见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）由对数的真数大于零可求得函数的定义域.
（2）根据函数奇偶性的定义判断.
（3）换元后分和两种情况分析判断.
【详解】（1）且，得，即定义域为.
（2）因为定义域关于原点对称，且，
所以函数为偶函数.
（3），
令，由，得，
则，，
当时，，所以原函数的值域为；
当时，，所以原函数的值域为.
21．设函数，且，求证：函数在内至少有一个零点.
【答案】见解析
【解析】由可得到，由此化简得到，确定，可知与中至少有一个为正；利用零点存在定理可证得结论.
【详解】
又
与中至少有一个为正
又 或
∴函数在内至少有一个零点
【点睛】本题考查零点存在定理的应用，关键是能够通过确定区间端点处的函数值的正负，从而利用零点存在定理确定是否存在零点.
22．已知函数．
(1)判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)若，
①判断函数的奇偶性，并证明；
②若恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)函数是上的增函数，证明见详解；
(2)①函数为奇函数，证明见详解；②
【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取，设，然后，再分析判断其符号即可.
（2）当时，①，直接利用函数奇偶性的定义判断；
②利用函数是奇函数，将，转化为，再利用是上的单调增函数求解.
【详解】（1）函数是增函数，定义域：，
任取，不妨设 ，
，
，
∵，
∴.
又，
∴，
即，
∴函数是上的增函数.
（2）当时，
①，定义域为，关于原点对称，
，
∴函数是定义域内的奇函数.
②等价于
，
∵是上的单调增函数，
∴，即恒成立，
∴，
解得.