山西省长治市2024-2025学年高三上学期9月质量监测 数学试题（含解析）

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【注意事项】
1.本试卷全卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.
3.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，填空题和解答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷 选择题（58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，,则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知下列四个命题：
：设直线是平面外的一条直线，若直线不平行于平面，则内不存在与平行的直线.
：过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行.
：如果直线和平面满足，那么.
：设均为直线，其中在平面内，则“”是“且”的充分不必要条件.
其中真命题的个数是（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
5. 的展开式中的系数是（ ）
A. ﹣10B. 0C. 10D. 30
6. 平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A. y=2x+1B. y=2x+C. y=x+1D. y=x+
8. 已知矩形（）的周长为12，把沿向折叠，折过去后交于点.当的面积取最大值时，的长度为（ ）
A. 3B. C. D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A.
B. 的图像关于点对称
C. 的图像关于直线对称
D. 函数为偶函数
10. 已知a，，有一组样本数据为，3，，，8，10，，12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则（ ）
A. 平均数不变B. 中位数不变C. 方差不变D. 极差不变
11. 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
A 直线平面
B. 棱与平面所成角正切值为
C. 若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
D. 若，那么Q点的轨迹长度为
第Ⅱ卷 非选择题（92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列的前n项和为，则______.
13. 已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则b＝______.
14. 已知实数，满足，，则______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在锐角中，a，b，c分别为内角A、B，C的对边，且.
（1）求A的大小；
（2）求的取值范围.
16. 如图，AB是圆的直径，MA与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A、B的一点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角正弦值.
17. 已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，证明：.
18. 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于A，B两点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若AB的中点坐标为，求直线l的方程；
（3）若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形.
19. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本标准差S.
（ⅰ）利用该正态分布，求；
（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）；
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，.
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点的概率为，试证明数列是等比数列，求出数列的通项公式，并比较和的大