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【中职专用】高中数学 高教版2021·拓展模块一上册 2.1 向量的概念（教案）-【中职专用】高中数学同步精品课堂（高教版2021·拓展模块一 上册）
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这是一份【中职专用】高中数学 高教版2021·拓展模块一上册 2.1 向量的概念（教案）-【中职专用】高中数学同步精品课堂（高教版2021·拓展模块一 上册），共8页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
学习重难点
教材分析
平面向量的概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用．一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法的基础.
学情分析
职高学生在思维辨析方面还较薄弱．所以在对向量的长度而不是对向量本身进行度量的问题上，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析．基于上述分析，本节课的难点在于向量相关概念的形成．这是学生获得新的数学对象的基本方法、基本套路的重要体现，需要学生思维的灵活性和思考的主动性．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题 随着我国综合国力的不断增强,我国海军装备事业发展迅速,一批新型舰艇陆续下水试航. 如图所示,为测试某型号舰艇的性能,S舰从A点沿东北方向航行100 n mile 到达B点. 如果S舰沿其他方向航行100 n mile,能不能到达B点呢？
可以看出,S舰从A点出发沿其他方向航行100 n mile 不能到达B点．
事实上,图中带箭头的线段AB包含两个要素: 航程100 n mile ;航向东北方向．
物理学中，把 “S舰沿东北方向航行100 n mile” 称为S舰的位移.
【设计意图】创设情境，设置问题引导学生发现并抽象出向量相关知识渗透思政课程.
（二）调动思维，探究新知
生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量．
在数学中,把既有大小又有方向的量,称为向量. 向量常用小写黑体英文字母a、b、c 等来表示,手写体为在字母上方加箭头,如
向量a的大小也称为该向量a的模,记为|a|.模为1的向量称为单位向量．
规定:模为零的向量为零向量,记作0或,零向量的方向是任意的.
非零向量的方向如何表示呢？
一般地,把具有确定方向的线段称为有向线段．
以A为起点、B为终点的有向线段记作
习惯上,在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向,如图所示．
图中的有向线段直观地表示了S 舰的位移,其长度表示S 舰位移的大小,其箭头指向表示S舰位移的方向.
一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 这也是向量的几何表示.
【设计意图】结合生活实际说明向量与数量的区别，介绍了向量的符号表示.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】如图(1)所示,用点A、B、C 表示三地的位置.分别用有向线段表示出A地至B、C 两地的位移,并通过测量和计算指出它们的大小和方向（精确到1km）.
解 如图(2)所示,用有向线段表示A地到B地的位移.测量可得AB≈2.5cm.因此位移的大小,方向是正北.
同理,用有向线段表示A地到C 地的位移.位移的大小,方向是正东.
【典例2】 如图所示,在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上,求各向量的模和方向,并指出其中的单位向量.
解 向量:，东北方向；
向量:，东北方向；
向量:，西南方向；
向量:，东北方向；
向量:，正北方向；
向量:，正东方向；
向量:，正北方向.
【设计意图】例1巩固向量的概念及强化向量的直观表示，通过作图等方式体会向量的几何特征，例2强化了向量的两个要素及单位向量等概念.
例2中的下列四组向量,每组的两个向量之间有什么关系？
（1）i与j； （2）a与d；（3）a与b；（4）c与d.
向量i与j的模相等,但是方向不同,它们是不同的向量.
向量a与d的模不相等,但是方向相同,它们也是不同的向量.
向量a与b不仅模相等,而且方向相同.考虑到向量是由大小和方向所确定的,我们把 a与b看作一样的向量.
向量c与d的模相等,方向相反,它们的关系类似于相反数的关系.
一般地,模相等且方向相同的两个向量称为相等向量.向量a与b相等时,记a=b.
与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量,记作−a.
规定：零向量的相反向量仍是零向量.
进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同,向量c与d的方向相反,但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行.
一般地,方向相同或相反的两个向量称为平行向量.当向量a与b平行时,记a∥b.
规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a,都有0∥a.
对于上图中的平行向量a、c、d,我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l.然后,在l上任取一点O,并在l上分别作出,如右图所示.这说明,任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.因此,平行向量也称共线向量.
【设计意图】引出新概念，在原有问题基础上进行分析.
【典例3】如图所示,点O为平行四边形ABCD对角线的交点.
（1）写出向量的平行向量；
（2）写出与向量的向量；
（3）写出向量的相反向量.
解 由平行四边形的性质可知,平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分.
(1)因为平行向量是方向相同或相反的两个非零向量，所以的平行向量有、、；
(2) 因为相等向量是模相等且方向相同两个向量，所以与的平行向量有；
(3) 因为非零向量的相反向量是与该向量模相等且方向相反的向量，所以的相反向量有、.
【设计意图】及时归纳总结三者之间的区别与联系，提醒学生分析平行向量是思考要全面及时掌握学生掌握知识情况.
（四）巩固练习，提升素养
【巩固】在平行四边形ABCD中，O为对角线交点．
A
D
C
B
O
（1）找出与向量相等的向量；
（2）找出向量的负向量；
（3）找出与向量平行的向量．
分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．
解 由平行四边形的性质，得
（1）=；
（2）=,；
（3）//,//，//．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1．某中等职业学校旅游服务与管理专业毕业生小王带团到北京旅游,行程的第一项就是登天安门城楼,然后步行参观人民英雄纪念碑,路线大致如图所示,请在图中用有向线段表示该旅游团的位移.
2．试判断下列说法是否正确．
（1）两个单位向量一定是相等向量；
（2）向量与向量相等；
（3）方向分别为竖直向下和竖直向上的两个力是共线向量；
（4）零向量与任意向量共线；
（5）一人向左走5m的位移和向右走5m的位移是一对相反向量.
3. 在图中所示方格纸上用有向线段表示力(1个单位长度表示10N).
(1)方向正北、大小为20N的力,用向量表示；
(2)方向正东、大小为50N的力,用向量表示.
4. 按图中的比例尺,分别求出由A地到B、C两地的位移 、 (长度精确到1km) .
5. 如图所示,D、E、F分别是三角形ABC各边中点，连接DE、DF、EF.试写出下列向量.
(1)向量的共线向量；
（2）与向量相等的向量；
（3）向量的相反向量.
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节2.1；
(2)书面作业： P21习题2.1A，1，2，3,4,5.
（八）教学反思
知识
能力与素养
（1）了解向量的概念；
（2）理解平面向量的线性运算；
（3）了解共线向量的充要条件.
逐步提升直观想象，数学运算和数学抽象等能力．
重点
难点
向量的线性运算
已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．
学习重难点
教材分析
平面向量的概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用．一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法的基础.
学情分析
职高学生在思维辨析方面还较薄弱．所以在对向量的长度而不是对向量本身进行度量的问题上，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析．基于上述分析，本节课的难点在于向量相关概念的形成．这是学生获得新的数学对象的基本方法、基本套路的重要体现，需要学生思维的灵活性和思考的主动性．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题 随着我国综合国力的不断增强,我国海军装备事业发展迅速,一批新型舰艇陆续下水试航. 如图所示,为测试某型号舰艇的性能,S舰从A点沿东北方向航行100 n mile 到达B点. 如果S舰沿其他方向航行100 n mile,能不能到达B点呢？
可以看出,S舰从A点出发沿其他方向航行100 n mile 不能到达B点．
事实上,图中带箭头的线段AB包含两个要素: 航程100 n mile ;航向东北方向．
物理学中，把 “S舰沿东北方向航行100 n mile” 称为S舰的位移.
【设计意图】创设情境，设置问题引导学生发现并抽象出向量相关知识渗透思政课程.
（二）调动思维，探究新知
生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量．
在数学中,把既有大小又有方向的量,称为向量. 向量常用小写黑体英文字母a、b、c 等来表示,手写体为在字母上方加箭头,如
向量a的大小也称为该向量a的模,记为|a|.模为1的向量称为单位向量．
规定:模为零的向量为零向量,记作0或,零向量的方向是任意的.
非零向量的方向如何表示呢？
一般地,把具有确定方向的线段称为有向线段．
以A为起点、B为终点的有向线段记作
习惯上,在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向,如图所示．
图中的有向线段直观地表示了S 舰的位移,其长度表示S 舰位移的大小,其箭头指向表示S舰位移的方向.
一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 这也是向量的几何表示.
【设计意图】结合生活实际说明向量与数量的区别，介绍了向量的符号表示.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】如图(1)所示,用点A、B、C 表示三地的位置.分别用有向线段表示出A地至B、C 两地的位移,并通过测量和计算指出它们的大小和方向（精确到1km）.
解 如图(2)所示,用有向线段表示A地到B地的位移.测量可得AB≈2.5cm.因此位移的大小,方向是正北.
同理,用有向线段表示A地到C 地的位移.位移的大小,方向是正东.
【典例2】 如图所示,在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上,求各向量的模和方向,并指出其中的单位向量.
解 向量:，东北方向；
向量:，东北方向；
向量:，西南方向；
向量:，东北方向；
向量:，正北方向；
向量:，正东方向；
向量:，正北方向.
【设计意图】例1巩固向量的概念及强化向量的直观表示，通过作图等方式体会向量的几何特征，例2强化了向量的两个要素及单位向量等概念.
例2中的下列四组向量,每组的两个向量之间有什么关系？
（1）i与j； （2）a与d；（3）a与b；（4）c与d.
向量i与j的模相等,但是方向不同,它们是不同的向量.
向量a与d的模不相等,但是方向相同,它们也是不同的向量.
向量a与b不仅模相等,而且方向相同.考虑到向量是由大小和方向所确定的,我们把 a与b看作一样的向量.
向量c与d的模相等,方向相反,它们的关系类似于相反数的关系.
一般地,模相等且方向相同的两个向量称为相等向量.向量a与b相等时,记a=b.
与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量,记作−a.
规定：零向量的相反向量仍是零向量.
进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同,向量c与d的方向相反,但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行.
一般地,方向相同或相反的两个向量称为平行向量.当向量a与b平行时,记a∥b.
规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a,都有0∥a.
对于上图中的平行向量a、c、d,我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l.然后,在l上任取一点O,并在l上分别作出,如右图所示.这说明,任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.因此,平行向量也称共线向量.
【设计意图】引出新概念，在原有问题基础上进行分析.
【典例3】如图所示,点O为平行四边形ABCD对角线的交点.
（1）写出向量的平行向量；
（2）写出与向量的向量；
（3）写出向量的相反向量.
解 由平行四边形的性质可知,平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分.
(1)因为平行向量是方向相同或相反的两个非零向量，所以的平行向量有、、；
(2) 因为相等向量是模相等且方向相同两个向量，所以与的平行向量有；
(3) 因为非零向量的相反向量是与该向量模相等且方向相反的向量，所以的相反向量有、.
【设计意图】及时归纳总结三者之间的区别与联系，提醒学生分析平行向量是思考要全面及时掌握学生掌握知识情况.
（四）巩固练习，提升素养
【巩固】在平行四边形ABCD中，O为对角线交点．
A
D
C
B
O
（1）找出与向量相等的向量；
（2）找出向量的负向量；
（3）找出与向量平行的向量．
分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．
解 由平行四边形的性质，得
（1）=；
（2）=,；
（3）//,//，//．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1．某中等职业学校旅游服务与管理专业毕业生小王带团到北京旅游,行程的第一项就是登天安门城楼,然后步行参观人民英雄纪念碑,路线大致如图所示,请在图中用有向线段表示该旅游团的位移.
2．试判断下列说法是否正确．
（1）两个单位向量一定是相等向量；
（2）向量与向量相等；
（3）方向分别为竖直向下和竖直向上的两个力是共线向量；
（4）零向量与任意向量共线；
（5）一人向左走5m的位移和向右走5m的位移是一对相反向量.
3. 在图中所示方格纸上用有向线段表示力(1个单位长度表示10N).
(1)方向正北、大小为20N的力,用向量表示；
(2)方向正东、大小为50N的力,用向量表示.
4. 按图中的比例尺,分别求出由A地到B、C两地的位移 、 (长度精确到1km) .
5. 如图所示,D、E、F分别是三角形ABC各边中点，连接DE、DF、EF.试写出下列向量.
(1)向量的共线向量；
（2）与向量相等的向量；
（3）向量的相反向量.
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节2.1；
(2)书面作业： P21习题2.1A，1，2，3,4,5.
（八）教学反思
知识
能力与素养
（1）了解向量的概念；
（2）理解平面向量的线性运算；
（3）了解共线向量的充要条件.
逐步提升直观想象，数学运算和数学抽象等能力．
重点
难点
向量的线性运算
已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．
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