专题7.4 概率（能力提升卷）-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

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专题7.4 概率（能力提升卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022秋·广东佛山·高二校考期中）从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（    ）
A．“至少一个白球”和“都是红球”
B．“至少一个白球”和“至少一个红球”
C．“恰有一个白球”和“恰有一个红球”
D．“恰有一个白球”和“都是红球”
【答案】D
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】A选项中“至少一个白球”和“都是红球”二者是互斥事件，同时二者必发生其一，是对立事件，A错误；
B选项中“至少一个白球”和“至少一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，不是互斥事件，B错误；
C选项中“恰有一个白球”和“恰有一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，不是互斥事件，C错误；
D选项中“恰有一个白球”和“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件之外还有“都是白球”事件，故不是对立事件，D正确.
故选：D.
2．（2022春·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考期末）已知事件A与事件B是互斥事件，则（    ）
A．PA∩B=0 B．PA∩B=PAPB
C．PA=1-PB D．PA∪B=1
【答案】D
【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.
【详解】因为事件A与事件B是互斥事件，A、B不一定是互斥事件，所以PA∩B不一定为0，故A错误；
因为A∩B=∅，所以PA∩B=0，而PAPB不一定为0，故B错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，所以C错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，A∪B是必然事件， 所以PA∪B=1，故D正确.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（    ）
A．频率为35 B．概率为35 C．频率为12 D．概率接近35
【答案】A
【分析】根据频率和概率的知识确定正确选项.
【详解】依题意可知，事件A的频率为1220=35，概率为12.
所以A选项正确，BCD选项错误.
故选：A
4．（2022·高一课时练习）等可能地从集合1,2,3的所有子集中任选一个，选到非空真子集的概率为（    ）
A．78 B．34 C．1516 D．14
【答案】B
【分析】写出集合1,2,3的所有子集，再利用古典概率公式计算作答.
【详解】集合1,2,3的所有子集有：∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}，共8个，它们等可能，
选到非空真子集的事件A有：{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}，共6个，
所以选到非空真子集的概率为P(A)=68=34.
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）北京2022年冬奥会于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为（    ）

A．14 B．13 C．12 D．23
【答案】C
【分析】记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D，用列举法写出所有的基本事件及没有选择冰壶的所有事件，从而求出没有选择冰壶的概率.
【详解】解：记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D，
则从这四个项目中任选两项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况，
其中没有选择冰壶的有BC，BD，CD，共3种情况，
所以所求概率为36=12.
故选：C.
6．（2022秋·湖北·高二襄阳四中校联考阶段练习）高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a、b、14，该同学可以进入两个社团的概率为15，且三个社团都进不了的概率为310，则ab=（    ）
A．320 B．110 C．115 D．15
【答案】B
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于a，b的方程，联立求解即得.
【详解】依题意，该同学可以进入两个社团的概率为15，则ab⋅(1-14)+14a(1-b)+14b(1-a)=15，整理得ab+a+b=45，
又三个社团都进不了的概率为310，则(1-a)(1-b)(1-14)=310，整理得a+b-ab=35，
联立ab+a+b=45与a+b-ab=35，解得ab=110，
所以ab=110.
故选：B
7．（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（    ）
A．事件A发生的概率PA等于事件A发生的频率fnA
B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点
C．掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B为“两枚都是正面朝上”，则PA=2PB
D．对于两个事件A、B，若PA∪B=PA+PB，则事件A与事件B互斥
【答案】C
【解析】根据频率与概率的关系判断即可得A选项错误；根据概率的意义即可判断B选项错误；根据古典概型公式计算即可得C选项正确；举例说明即可得D选项错误.
【详解】解：对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；
对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，表示一次实验发生的可能性是16，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；
对于C选项，根据概率的计算公式得PA=12×12×2=12，PB=12×12=14，故PA=2PB，故C选项正确；
对于D选项，设x∈-3,3，A事件表示从-3,3中任取一个数x，使得x∈1,3的事件，则PA=13，B事件表示从-3,3中任取一个数x，使得x∈-2,1的事件，则PA=12，显然PA∪B=56=13+12=PA+PB，此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误.
【点睛】本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D选项的判断，适当的举反例求解即可.
8．（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3，且p3>p2>p1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p丙.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12，
则此时连胜两盘的概率为p甲
则p甲=12(1-p2)p1p3+p2p1(1-p3)+12(1-p3)p1p2+p3p1(1-p2)
=p1(p2+p3)-2p1p2p3；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，
则p乙=(1-p1)p2p3+p1p2(1-p3)=p2(p1+p3)-2p1p2p3
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙
则p丙=(1-p1)p3p2+p1p3(1-p2)=p3(p1+p2)-2p1p2p3
则p甲-p乙=p1(p2+p3)-2p1p2p3-p2(p1+p3)-2p1p2p3=p1-p2p3