黑龙江省大庆市东风中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

大庆市东风中学2023－2024学年度高二年级上学期开学考试

数学学科试卷（时长：120分钟）

一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）

1．（    ）

A． B． C． D．

2．如果，是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是（    ）

A．与  B．与 

C．与  D．与

3．已知，，则等于（    ）

A． B． C． D．

4．下列说法正确的是（    ）

A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面

B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥

D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体

5．在中，P为线段AB上的一点，，且，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

6．已知圆锥的侧面展开图为一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（    ）

A． B．1 C． D．

7．若m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

8．已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则的值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

9．非零复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．已知平面，，两两垂直，直线a，b，c满足，，，则直线a，b，c可能满足以下哪种关系（    ）

A．两两平行 B．两两相交 C．两两异面 D．两两垂直

11．已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可能的取值是（    ）

A．1 B． C．－1 D．－2

12．在棱长为2的正方体中，AC与BD交于点O，则（    ）

A．若E，F分别是，的中点，平面EFO与平面ABCD的交线为l，则

B．平面

C．三棱锥的体积为

D．与平面ABCD所成的角为45°

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．已知函数，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则______．

14．如图所示的是的直观图，其中，则的周长为______．

15．已知向量，，若，则______．

16．在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角的余弦值为______．

四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分）

17．已知复数。

（1）求；

（2）若，求实数a，b的值．

18．（1）已知，，求；

（2）已知，，求，．

19．如图所示多面体中，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，M是BD上一点，．

（1）求证：平面BEF；

（2）求此多面体的体积．

20．已知函数．

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值．

21．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M、N分别为PC、PB的中点．

（1）证明：；

（2）求BD与平面ADMN所成角的大小．

22．2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度，在A点测得B点的俯角．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．

（1）求该滑雪场的高度h；

（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少，且甲设备造雪所用的时间与乙设备造雪所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．

数学学科答案

1．【解】由题意可得：．故选：B．

2．对A项，设，则无解，

故与不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；

对B项，，所以与为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底；

对C项，设，则无解，故与不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；

对D项，设，则无解，故与不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底，故选：B．

3．【答案】D 因为，，所以，，

故同角三角函数的关系，得．因此．

4．【解析】选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误；

选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误；

选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；

选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．

5．【详解】，所以，，故选：A．

6．【答案】D 【解析】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面圆半径为r，如图．

由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则解得，，则圆锥的高．

7．【解析】由m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，

在A中，若，，则m与n相交、平行或异面，故A错误；

在B中，若，，则m与相交、平行或，故B错误；

在C中，若，，则由面面垂直的判定定理得，故C正确；

在D中，若，，则与相交或平行，故D错误．

【答案】C

8．【解析】由题意可知，

，

将函数的图象上所有点的橫坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得的图象，然后再向左平移个单位长度，可得的图象，

因为所得的图象关于y轴对称，为偶函数，所以，解得，

取，得．无论k取任何整数，无法得到A，B，C的值．

【答案】D

9．解析由题意，设，故，

故，，即复数，在复平面内对应的点位于第一或第三象限的角平分线上．

【答案】AC

10．【解析】如图1，可得a，b，c可能两两垂直；

如图2，可得a，b，c可能两两相交；

如图3，可得a，b，c可能两两异面．

【答案】BCD

11．【解析】各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．

因为，

．

据此设A，B，C三点共线，则，即．

所以只要，A，B，C三点就可构成三角形．

【答案】BCD

12．∴，，

∴四边形ABFE为平行四边形，∴，

又平面EFO，平面EFO，∴平面EFO，

又平面ABCD，平面平面，

∴，∴，故A正确；

因为正方形ABCD，AC与BD交于点O，所以，

又平面ABCD，平面ABCD，所以，，CD，平面，

∴平面，故B正确；，故C正确．

因为平面ABCD，与平面ABCD所成角为，

因为，∴，故D错误，因此故选：ABC．

13．【解析】由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得；再将所得图象向右平移个单位长度得，所以．

14．【详解】在直观图中，，，则，故为等腰直角三角形，所以，，

故原图形中，，，

故的周长为．故答案为：．

15．【解析】∵，，，∴，即，

∴，∴，．

16．【解析】如图，连接，因为是正方体，且P为的中点，所以，又，所以平面．又平面，所以．连接，则，所以为直线PB与所成的角．设正方体的棱长为2，则在中，，，，所以．

17．（1）∵，∴；

（2）∵，

∴．

18．【解】（1）因为，，

所以．

（2）由，得，∴，

，

．

19．【详解】（1）证明：过点M作，交BE于点N，则，，因为，所以，且，所以四边形AMNF为平行四边形，所以．又平面BEF，平面BEF，所以平面BEF．

（2）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，，AD，平面ADE，所以平面ADE．所以，

即，即此多面体的体积为．

20．【解】（1），

∴函数的最小正周期为，

令，，则，，

∴函数的单调递增区间为，．

（2）∵，∴，则，∴，

∴函数在区间上的最大值为，最小值为．

21．【详解】（1）证明：因为M，N分别为PC，PB的中点，所以，又，

所以，则M，N，A，D四点共面．

因为N是PB的中点，，所以．

因为平面ABCD，平面ABCD，所以．

在直角梯形中，．

而，PA，平面PAB，

因此平面PAB．因平面PAB，所以．

又因为，且，AN，平面ADMN，

所以平面ADMN．

因为平面ADMN，所以．

（2）连接DN，由（1）知平面ADMN，故是BD与平面ADMN所成角．

设，于是，

．另一方面，．

因此，在直角三角形BDN中，

，所以BD与平面ADMN所成角的为．

22．（1）【解】过B作，过A作，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，

如图：根据题知，．

∵BC的坡度，∴．

设，则，∵，∴，

解得（负值已舍去），∴，

所以，该滑雪场的高度h为235m．

（2）解：设甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是，

根据题意得：，解得，

经检验，是原分式方程的解，也符合题意，∴．

所以，甲种设备每小时的造雪量是，乙种设备每小时的造雪量是．