2020-2021学年黑龙江省大庆市东风中学高二上学期期中考试数学（理）试题（Word版）

黑龙江省大庆市东风中学2020-2021学年高二上学期期中考试

数学（理）试卷

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆的一个焦点是，那么实数（    ）

A． B． C．3 D．5

2. 若，则“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

4． 如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（　　　　）

A．30° B．60° 

C．90° D．120°

5．下列说法中，错误的是（    ）

A．若命题，，则命题，

B．“”是“”的必要不充分条件

C．“若，则、中至少有一个不小于”的逆否命题是真命题

D．，

6．已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的最大值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

7．已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（    ）

A． B．2 C．3 D．

8．已知是双曲线的右焦点，是双曲线的左顶点，过点且与轴垂直的直线交双曲线于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥面ABCD，NB⊥面ABCD．且MD＝NB＝1．则下列结论中：

①MC⊥AN   ②DB∥平面AMN

③平面CMN⊥平面AMN    ④平面DCM∥平面ABN

所有假命题的个数是（　　  ）

A．0 B．1 C．2 D．3

10．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、二象限分别交于A，B两点，则（   ）

A． B． C． D．

11. 直三棱柱中，，，已知P是的中点，Q是AC的中点，则异面直线与PC所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ）

A． B．3 C．6 D．

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4道小题，每小题5分，共20分。

13．若直线经过抛物线的焦点，则________.

14．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是________.

15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点为双曲线上一点，，则双曲线的渐近线方程为___________；若双曲线的实轴长为4，则的面积为___________.

16. 已知四棱锥S－ABCD的底面是边长为2的正方形,AC、BD相交于点O , ,， E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持， 则动点P的轨迹的周长为________. 

二、解答题：本题共6道小题，17题10分，其他每道题12分，共70分。

17．已知，命题，不等式成立，命题，．

（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若命题pq为假，pq为真，求实数m的取值范围．

18．已知命题直线与焦点在轴上的椭圆无公共点，命题方程表示双曲线．

（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，侧面PAD为正三角形，且平面平面ABCD．

（1）求证：．

（2）若E为BC中点，试在PC上找一点F，使

平面平面ABCD．

21．如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，平面ABC，且，点M为线段VB的中点.

（1）求证：平面VAC；

（2）若AB与平面VAC所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

22．已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且与圆没有公共点，设为椭圆上一点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.

理科参考答案

一、选择题

二、填空题

13.              14.          15.；     16.

一、解答题

17．（1）；（2）或

【解析】（1）∵，，∴在上恒成立，

∴，即p为真命题时，实数m的取值范围是．

（2）∵，，∴，即命题q为真命题时，

∵命题p与q一真一假，∴p真q假或p假q真．

当p真q假时，即；

当p假q真时，即．

综上所述，命题p与q一真一假时，实数m的取值范围为或．

18. （1）；（2）或

【解析】（1）∵椭圆的焦点在轴上，∴，

又∵直线与椭圆无公共点，

由得，

∴，结合，可得，

即命题是真命题，实数的取值范围为.

（2）方程表示双曲线，

∴解得或，

又∵命题是命题的充分不必要条件，

∴或，解得或，

即实数的取值范围或.

19．（1）；（2）.

【解析】（1）设直线方程为：，，

由抛物线焦半径公式可知：   

联立得：

则   

，解得：

直线的方程为：，即：

（2）设，则可设直线方程为：

联立得：

则   

，

        ，   

则

20．（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）证明：取的中点，连接

，．在底面菱形中，

，，则平面，

（2）为的中点，连接交于点．

，，为的中点，

则．平面平面，，平面，

则平面，

平面平面.

21．(1)证明：因为平面ABC，平面ABC，所以，

又因为点C为圆O上一点，且AB为直径，所以，

又因为VC，平面VAC，，所以平面VAC.

(2)由(1)知平面VAC，所以AB与平面VAC的所成角就是，

在，，，.

由(1)得，，，分别以AC，BC，VC，

所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz如图：

则，，，

设平面VAC的法向量，，，

设平面VAM的法向量，

由，令，得，.

设二面角M-VA-C的平面角为，

所以，所以所求二面角的余弦值为.

22．（1）（2）

【解析】（1）以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切

根据点到直线距离公式可得：

椭圆的离心率为

椭圆C的方程为：

（2）由题意直线斜率不为，

设直线：

得

由得，

设，

由韦达定理

点在椭圆上

得①

直线与圆没有公共点，则，.②

由①②可得：