黑龙江省大庆市第四中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题

这是一份黑龙江省大庆市第四中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题，共4页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：60分钟 分值：100分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（ ）
A．，且 B．，且 C．，且 D．，且
3．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了．20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.004
B．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75
C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150
5．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”．现有阳马 （如图），平面ABCD．，点E，F分别在AB，BC上，当空间四边形PEFD的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．全选对得5分，选对但不全得2分，选错得0分）
6．已知圆锥的底面半径为1，高为，S为顶点，A，B为底面圆周上两个动点，则（ ）
A．圆锥的体积为
B．从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为
C．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
D．圆锥截面SAB的面积的最大值为
7．已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得 B．当时，与垂直
C．对任意，都有 D．当时，在方向上的投影向量的模为
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若时，是唯一的，则
C．若，且的面积为，则的最小边长为2
D．若时，周长的范围为
第Ⅱ卷
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．）
9．已知向量的夹角为，则___________．
10．如图，三棱台的上、下底边长之比为1：2，记三棱锥体积为三棱台的体积为．则___________．
11．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为_____________．
四、解答题：（本大题共3小题，满分45分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．）
12．（本小题满分15分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若A的角平分线交BC于D，且，求面积的最小值．
13．（本小题满分15分）
大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小李每轮答对的概率为，在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求两人在两轮活动中都答对的概率；
（2）求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率；
（3）求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率．
14．（本小题满分15分）
如图，AB是的直径，C、D是圆周上异于小B且在直径AB同侧的点，，P是平面ABC外一点，且．
（1）设平面平面，求证：；
（2）求直线PC与平面POD所成角的正弦值．