中考数学二轮精品专题复习 专题05 含参函数的单调性讨论(解析版)

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专题05　含参函数的单调性讨论
【方法总结】
分类讨论思想研究函数的单调性
讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：
(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；
(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；
(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；
(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．
牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．
考点一　导主一次型
【例题选讲】
[例1]　已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，令f′(x)＝0，得x＝a，
①当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)0，
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
【对点训练】
1．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．
1．解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，
当a>0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当a0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝＝0，可得x＝，
当0时，f′(x)＝0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
考点二　导主二次型
【方法总结】
此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：
(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；
(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；
【例题选讲】
命题点1　是不是＋有没有＋在不在
[例2]　(2021·全国乙节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．
解析　由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．
①当a≥时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；
②当a0，则x1或0