中考数学二轮精品专题复习 专题18 单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转(原卷版)

专题18　单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转

一、凹函数、凸函数的几何特征

二、凹凸反转

很多时候，我们需要证明f(x)＞0，但不代表就要证明f(x) min＞0，因为大多数情况下，f′(x)的零点是解不出来的．当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转．如要证明f(x)＞0，可把f(x)拆分成两个函数g(x)，h(x)，放在不等式的两边，即要证g(x)＞h(x)，只要证明了g(x) min＞h(x) max即可，如上右图，这个命题显然更强，注意反过来不一定成立．很明显，g(x)是凹函数，h(x)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转．凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求问题的，两种方法互为补充．

凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离(对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手)，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较．当然我们要非常熟练掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值．

三、六大经典超越函数的图象和性质

1．x与ex的组合函数的图象与性质

2．x与ln x的组合函数的图象与性质

【例题选讲】

[例1] (2014·全国Ⅰ)设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝e(x－1)＋2．

(1)求a，b；

(2)证明：f(x)＞1．

[例2]已知函数f(x)＝(m∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当m＝0时，证明：∀x＞0，ex2(1＋ln x)＋＞f(x)－xf(1)．

[例3]已知f(x)＝lnx＋．

(1)若函数g(x)＝xf(x)，讨论g(x)的单调性与极值；

(2)证明：f(x)>．

[例4]已知．

(1)当时，求在的最值；

(2)求证：，．

【对点精练】

1．已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0．

2．已知，其中常数．

(1)当时，求函数的极值；

(2)求证：．

3．设函数．

(1)当时，求的极值；

(2)当时，证明：在上恒成立．

4．已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3．

(1)若对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，ln x＞－恒成立．

5．已知函数f(x)＝ln x＋，g(x)＝e－x＋bx，a，b∈R，e为自然对数的底数．

(1)若函数y＝g(x)在R上存在零点，求实数b的取值范围；

(2)若函数y＝f(x)在x＝处的切线方程为ex＋y－2＋b＝0．求证：对任意的x∈(0，＋∞)，总有f(x)>g(x)．

6．已知f(x)＝xlnx．

(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；

(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞－成立．