中考数学二轮复习专题讲与练专题10 锐角三角函数及其运用（含解析）

这是一份中考数学二轮复习专题讲与练专题10 锐角三角函数及其运用（含解析），共22页。
专题10 锐角三角函数及其运用复习考点攻略


考点一 锐角三角函数
1. 锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，

正弦：sinA=；
余弦：cosA=；
正切：tanA=．
【注意】根据定义求三角函数值时，一定要根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
【例1】如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sinA的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=3，BC=2，∴sinA==，故选A．
考点二 特殊角的三角函数值
α
sinα
tanα
30°


45°

1
60°


【例2】的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】把sin45°=代入原式得：原式=2×=．故选C．
考点三 解直角三角形
1．在直角三角形中，求直角三角形所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；
（4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.
【例3】如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号）

【答案】
【解析】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案为：．

【例4】如图，大海中有和两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线上点处测得，；在点处测得，，．
⑴ 判断、的数量关系，并说明理由
⑵ 求两个岛屿和之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，
，，，，）








【答案】（1）见解析；（2）3.6km
【解析】（1）相等，证明：∵，，∴，
．又∵，∴．
在与中，，，，
∴，∴．
（2）作，垂足为，
设，则，，．
中，，∴，即，
∴，即．
考点四 锐角三角函数的应用
1．仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．
坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．


4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

5．解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
6.解直角三角形应用题应注意的问题：
（1） 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．
【例5】如图，一名滑雪爱好者先从山脚下A处沿登山步道走到点B处，再沿索道乘坐缆车到达顶部C．已知在点A处观测点C，得仰角为35°，且A，B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：1，长度为2600米，求山的高度（即点C到AE的距离）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，结果保留整数）

【答案】1983米
【解析】：如图，作CD⊥AE于点D，BF⊥CD于点F．

又∵BE⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形．
在Rt△BCF中，∵BC的坡度i＝1：1，
∴∠CBF＝45°．
∵BC＝2600米，
∴米．
∴米．
∵A，B的水平距离AE＝1000米，
∴米．
∵∠CAD＝35°，
∴（米）．
答：山高CD约为1983米．
【例6】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．
（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

【答案】（1）71海里；（2）见解析
【解析】解：（1）过点P作PD⊥AB于点D．

依题意可知，PA＝100，∠APD＝60°，∠BPD＝45°．
∴∠A＝30°．
∴PD＝50．
在△PBD中，BD＝PD＝50，
∴PB＝50≈71．
答：B处距离灯塔P约71海里．

（2）依题意知：OP＝150，OB＝150﹣71＝79＞60．
∴海轮到达B处没有触礁的危险．
海伦从B处继续向正北方向航行，有触礁的危险．


第一部分 选择题
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．选项B、C、D都是错误的，故答案选A．
2. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）

A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【答案】B
【解析】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立故选：B．
3. 已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．不能确定
【答案】A
【解析】∵sinα=cos60°=，∴α=30°．故选A．
4. 若∠A是锐角，且sinA= ，则（       ）
A. 0°