2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题16 等比数列【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版

这是一份2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题16 等比数列【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版，共34页。试卷主要包含了考向解读，知识点汇总，题型专项训练，高考真题及模拟题精选，题型精练，巩固基础等内容，欢迎下载使用。

一、考向解读
考向：高考侧重于等比数列的基本量运算、数列的概念及表示法的理解等，主要考查考生对基本方法与基本技能的掌握。
考点：等比数列及其性质，等差数列的前n项和。
导师建议：抓住a1和q是解决问题的关键，化简也是朝着这个方向勇敢的去做！等比数列的运算比等差要大的多，而且要灵活处理。要善于提取公因式和换元！
二、知识点汇总
1.数列的第n项与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
2.等比数列的通项公式
；
3.等比中项：若成等比数列，则A叫做与的等差中项，且A2=ab。
4.等比数列前n项的和公式为
或.
【常用结论】
1.().
2.若,则()
3.公比时,,,,成等比数列().
三、题型专项训练
①等比数列基本量的计算
一、单选题
1．已知在等比数列中,,,则（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】D
【分析】根据已知条件求解出公比,再利用等比数列的通项公式求解即可.
【详解】设等比数列的公比为,
则,所以.
故选：D.
2．已知数列为等比数列，，且，则的值为（ ）
A．1或B．1C．2或D．2
【答案】C
【解析】根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，且，所以，解得，所以.
故选：C.
3．已知数列为等比数列，若，则数列的公比为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项列式计算作答.
【详解】设等比数列的公比为，由，得，而，解得，
所以数列的公比为.
故选：B
4．等比数列中，若，则公比为（ ）
A．1B．－2C．2D．2或－2
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，所以，
即，解得：，
故选：.
5．已知数列是等比数列，且，，则公比（ ）
A．B．2或－2
C．－2D．或
【答案】D
【分析】利用等比数列的通项公式求解.
【详解】解：因为数列是等比数列，且，，
所以，解得，则，
故选：D
6．在各项均为正数且递增的等比数列中，，则（ ）
A．96B．192C．384D．768
【答案】D
【分析】根据题意结合等比数列的通项公式和等比中项列式求解，进而可求得结果.
【详解】设等比数列公比为，
∵数列为正数且递增的等比数列，则，
由，则，可得，
则，解得或（舍去），故.
故选：D.
②等比数列的前n项和Sn
7．已知等比数列的前项和是，且，则（ ）
A．24B．28C．30D．32
【答案】C
【分析】由条件求出,代入等比数列求和公式即可.
【详解】因为，代入得：，
即，解得，故，
故选：C.
8．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30B．10C．9D．6
【答案】B
【分析】根据等比中项可得，对根据等比数列的定义和通项公式可得，运算求解即可得答案.
【详解】为正数的等比数列，则，可得，
∵， ∴，
又∵，则，可得，
∴，解得，故.
故选：B.
9．设等比数列的前n项和为Sn，若，，成等差数列，且，则（ ）
A．-1B．-3C．-5D．-7
【答案】B
【分析】根据等差数列列式，代入等比数列前项和公式，计算得，从而求解.
【详解】∵，，成等差数列，∴，由题意，
∴，可得，所以∴.
故选: B.
10．中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第七天走的里数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，每天行走的里程数成等比数列，利用等比数列的前项和公式即可求得结果.
【详解】由题意得，马每天行走的里程数成等比数列，
设第天行走的里数为，则数列是公比为的等比数列；
由七天一共行走了700里可得，
解得，所以，即该马第七天走的里数为.
故选：B
11．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Kch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的，按照等比数列即可求得结果.
【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，
所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，
由此可得，第次操作之后所得图形的面积是，
即经过4次操作之后所得图形的面积是.
故选：A
12．记为等比数列的前n项和，，，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】根据等比数列的通项公式列式求解即可.
【详解】设比数列的公比为，
由题意可得：，解得或.
故选：D.
13．已知等比数列的前项和为，，且，则（ ）
A．40B．120C．121D．363
【答案】C
【分析】由题目条件求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】设公比为，由，可得，
所以，所以，
由，可得，即，所以，所以.
故选：C.
14．记为等比数列的前n项和．若，，则（ ）
A．32B．31C．63D．64
【答案】B
【分析】由已知等式解出数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式计算即可．
【详解】设等比数列的公比为，则，，解得
又，解得，则
故选：B
③等比数列的性质
15．已知是等比数列，若，则（ ）
A．6B．8C．D．
【答案】B
【分析】利用等比数列性质即可求得结果.
【详解】由等比数列的性质若，则，可得，代入计算得.
故选：B.
16．在正项等比数列中，若，则（ ）
A．6B．12C．56D．78
【答案】D
【分析】直接利用等比中项即可求出和的值，代入计算即可.
【详解】由等比数列的性质可知，
又因为为正项等比数列，所以，所以．
故选：D.
17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（ ）
A．8B．7C．6D．4
【答案】A
【分析】结合等比数列性质化简已知条件，由此可求.
【详解】已知为等比数列，，且，
所以，则S3＝8．
故选：A．
18．已知等比数列的各项都是正数，其公比为4，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】解：根据等比数列性质，有，
因为，所以，解得，
因为等比数列的公比为，所以，.
故选：C
19．在等比数列中，，则与的等比中项是（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】D
【分析】通过等比数列的通项公式计算，进而可得答案.
【详解】因为，所以与的等比中项是，
故选：D.
20．等比数列4+x，10+x，20+x的公比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等比中项的性质求出，再求解公比.
【详解】因为4+x，10+x，20+x为等比数列，
故，化简得20=4x，解得，公比，
故选：D.
21．已知等差数列的公差不为0，若成等比数列，则这个等比数列的公比是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据题意，由等比中项列出方程即可得到与的关系，从而得到结果.
【详解】由题意可得，所以，且
则，所以所以等比数列的公比为
故选:B
④等比数列的前n项和Sn性质
22．等比数列的前项和为，，，则为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】根据等比数列片段和性质可构造方程求得，再由可得最终结果.
【详解】由题意知：，，成等比数列，
，解得：或；
，.
故选：A.
23．已知等比数列的前n项和满足，，则（ ）
A．130B．160C．390D．400
【答案】D
【分析】根据等比数列片段和性质计算即可求解.
【详解】因为等比数列的前n项和满足，，
所以依然成等比数列，
则，即，解得：，
则，即，解得：，
故选：.
24．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（ ）
A．B．43C．D．41
【答案】A
【分析】利用等比数列性质成等比数列即可求解.
【详解】设，则，
因为为等比数列，所以，，仍成等比数列．
因为，所以，所以，故．
故选：A.
25．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据前n项和的关系代入即可求解.
【详解】若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，
而a1≠0，即得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，故q≠1.又S3＋S6＝2S9，①
根据数列性质S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，②
由①②可得S3＝2S6，
∴q3＝＝，∴q＝.
故选：C.
26．设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质、等比中项的性质进行求解.
【详解】因为，且也成等比数列，
因为，，所以，所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，
即，所以.故B，C，D错误.
故选：A.
⑤等比数列的an和Sn的关系
27．已知数列 的前 项和 满足，则 （ ）
A．511B．512C．1023D．1024
【答案】B
【分析】根据与的关系可得出数列为等比数列，根据通项公式求解即可.
【详解】由题可知: ，
①当 时，，解得:
②当 时，，则
，
当时，，解得，
所以，即对成立，所以数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
故 ，当 时， .
故选：B.
28．已知数列的前项合为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，由可求出的值，再令，由得出，两式相减可得出数列为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的求和公式可求出的值.
【详解】因为，
当时，，所以，
当时，，所以，
即.则是首项为，公比为的等比数列，
故.
故选：C
29．设数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用求通项公式，判断出为等比数列，直接求和.
【详解】在中，令，得，所以．
由得，两式相减得，即，又，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故选：A．
【点睛】(1)数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由Sn求an；④累加（乘）法；⑤由递推公式求通项公式；
(2)数列求和常用方法：
①等差（比）公式法；②倒序相加法；③分组求和法；④裂项相消法；⑤错位相减法．
30．已知数列的前项和为．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据之间的关系式得到，得到数列是从第二项开始的等比数列，从而求出通项公式，求出答案.
【详解】当时，由①，可得：②，两式相减得：，
所以，，当时，，
故数列是从第二项开始的，公比是2的等比数列，
所以，所以
故选：C
31．已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】由和等比数列的前n项和可得答案.
【详解】当时，，又，
即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
故选：C．
⑥多选题和填空题
二、多选题
32．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则
B．数列是等比数列
C．若数列的前n项和，则
D．若首项，公比，则数列是递减数列
【答案】BC
【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设等比数列的首项为，公比为，，
A选项，由于，所以与的符号相同，所以A选项错误.
B选项，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，B选项正确.
C选项，，
当时，，则，
由于是等比数列，所以，C选项正确.
D选项，若首项，公比，则，所以D选项错误.
故选：BC
33．在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由等比数列的定义求得公比，从而求得，得通项公式，前项和，判断各选项．
【详解】设等比数列的公比为，
，，，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC．
34．在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”，则（ ）
A．此人第二天走的路程占全程的
B．此人第三天走走了48里路
C．此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里
D．此人第五天和第六天共走了18里路
【答案】BD
【分析】由题意，此人每天走的路程构成等比数列，由已知条件求出首项和公比，就可以解决数列问题了.
【详解】设此人第n天走了里路，则数列是首项为，公比q为的等比数列，因为，解得，
，所以此人第二天走了96里路，，A选项错误；
，所以此人第三天走了48里路，B选项正确；
，，此人第一天走的路程比第四天走的路程多168里，C选项错误；
，此人第五天和第六天共走了18里路，所以D选项正确.
故选：BD.
35．已知数列满足，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．数列为等比数列
C．若，则数列的前n项和为D．若，则数列单调递减
【答案】ACD
【分析】由题知时，数列为等比数列，再根据等比数列的知识依次讨论各选项即可.
【详解】解：对于A选项，当时，由得，所以数列为等比数列，，故A选项正确；
对于B选项，当时，，此时数列不是等比数列，故B选项错误；
对于C选项，当时，由得，所以数列为等比数列，
所以，数列的前n项和为，故C选项正确；
对于D选项，当时，由得，所以数列为等比数列，
所以，，所以数列单调递减，故D选项正确．
故选：ACD
36．设数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．数列是等比数列
【答案】ABD
【分析】先根据条件求出递推关系，结合选项逐个验证可得答案.
【详解】对于A，，所以，A正确；
对于B，因为，所以，
所以，所以，
于是，B正确；
对于C，，但不满足，故不是等比数列，C错误；
对于D，因为，所以，即是首项为1，公比为4的等比数列，D正确．
故选：ABD.
37．设数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．是等比数列D．是单调递增数列
【答案】ABD
【分析】A选项，根据，，赋值法求出，A正确；C选项，利用构造法得到，又，从而C错误；B选项，求出，进而得到，当时，，分两种情况判断得到，B正确；D选项，比较出，结合作差法得到当时，，从而证明出结论.
【详解】A选项，中，令得：，即，
因为，所以，A正确；
C选项，，①
当时，，②
两式相减得：，即，
设，则，所以，故，
又，，，故当时，为等比数列，公比为2，C错误；
B选项，当时，，故，
所以，
当时，，
当时，
，
当时，，
当时，由于，故，
综上：，，B正确；
D选项，当时，，
当时，，
当时，，
又当时，，
故当时，，
综上：是单调递增数列，D正确.
故选：ABD
三、填空题
38．在等比数列中，，则数列的前5项和是__________.（用具体数字作答）
【答案】3968
【分析】利用求出通项公式，结合等比数列求和公式可得答案.
【详解】设公比为，因为，所以，解得；
所以数列的前5项和为.
故答案为：3968.
39．已知等比数列中，，，则___________.
【答案】32
【分析】利用等比数列的通项公式及性质求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
则，即，所以.
故答案为：32.
40．已知是等比数列的前项和，，，则______．
【答案】##7.75
【分析】由条件结合等比数列通项公式求首项和公比，再利用求和公式求.
【详解】设等比数列的公比为，
由，，可得，，
解方程得，或，当时，，
当时，，所以.
故答案为：.
41．已知为等比数列，是其前n项和，若，，则______________．
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求得以及，从而求得.
【详解】设等比数列的公比为，，
由得，由于，所以，则，
所以.
故答案为：
42．已知为等比数列的前项和，且，，则___________.
【答案】
【分析】利用等比数列片段和性质可构造方程求得，则所求式子为.
【详解】由等比数列性质结合题中数据知：，，成等比数列，
，即，解得：，
.
故答案为：.
43．已知数列是等比数列，是其前项和，且，，则______.
【答案】600
【分析】根据等比数列片段和性质得到，求出，然后用等比数列片段和性质得到即可求解
【详解】设等比数列的公比为
因为等比数列的前n项和为，所以，，，成等比数列，
因为，，所以，
解得或，因为，所以，则，
由，，成等比数列，
可得即，解得，
故答案为：600
44．记数列的前项和为且，则__________．
【答案】
【分析】由，利用与的关系即可解出.
【详解】解：当时，，当时，由，
得，
两式相减得，
又，所以是以1为首项，以2为公比的等比数列，
所以.
故答案为：
45．已知数列的前项和，求的通项公式__________.
【答案】
【分析】求出首项，当时，根据求得，验证首项后，即可确定答案.
【详解】当时，，
当时，，
而不适合上式，故的通项公式为.
故答案为：.
四、高考真题及模拟题精选
一、单选题
1．（2020·山东·统考高考真题）在等比数列中，，，则等于（ ）
A．256B．-256C．512D．-512
【答案】A
【分析】求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，所以，所以，
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列
∴，∴，∴.
故选：A.
3．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，则，解得，所以.
故选：D.
4．（2020·全国·统考高考真题）设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
【答案】D
【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
5．（2020·全国·统考高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，因此.
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.
6．（2020·全国·统考高考真题）数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.
【详解】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.
7．（2021·浙江·统考高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
【答案】C
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，其中为双曲线，为直线.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
二、多选题
8．（2022·海南·统考模拟预测）在数列中，，数列是公比为2的等比数列，设为的前n项和，则（ ）
A．B．
C．数列为递减数列D．
【答案】ACD
【分析】由已知结合等比数列通项公式可求，进而可求，然后结合单调性定义及数列的求和分别检验各选项即可判断和选择.
【详解】因为，数列是公比为2的等比数列，所以
所以，故正确，错误；
因为是单调增函数，故是单调减函数，
故数列是减数列，故正确；，故正确.
故选：.
9．（2021·全国·统考高考真题）设正整数，其中，记．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】对于A选项，，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题
10．（2021·江西宜春·上高二中校考模拟预测）设等比数列的公比，前项和为，则______.
【答案】
【分析】利用等比数列的求和公式以及通项公式可求得的值.
【详解】由等比数列求和公式以及通项公式可得.
故答案为：.
11．（2022·云南西双版纳·统考二模）已知数列的前n项和为，满足，，则______．
【答案】160
【分析】先通过递推式证明是等比数列，再按照等比数列的求和公式求解即可.
【详解】因为，
当时，，，解得．当时，两式相减得，
化简得：，又，故是以4为首项，3为公比的等比数列，
则．
故答案为：160.
五、题型精练，巩固基础
一、单选题
1．（2021·西藏拉萨·统考一模）在等比数列中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等比数列的通项公式列出方程组求出，即可得解.
【详解】等比数列中，由题意可得，
，.
故选：D
2．（2022·河南·河南省淮阳中学校联考模拟预测）已知是等比数列，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由等比数列性质可构造方程求得，根据等比数列通项公式可求得公比，由求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，
，，，解得：，.
故选：B.
3．（2023·河南郑州·统考一模）记为等比数列的前n项和．若，，则（ ）
A．32B．31C．63D．64
【答案】B
【分析】由已知等式解出数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式计算即可．
【详解】设等比数列的公比为，则，，解得
又，解得，则
故选：B
4．（2022·全国·武功县普集高级中学校联考模拟预测）记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据题意求出数列的首项和公比，即可根据通项公式求得答案.
【详解】由为各项均为正数的等比数列，且，,
设数列公比为 ,可得 ，且，则，解得 ，
故 ,
故选：D.
5．（2023·陕西西安·统考一模）已知数列是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则（ ）
A．128B．127C．126D．125
【答案】C
【分析】根据等比数列的知识求得数列的首项和公比，从而求得.
【详解】设等比数列的公比为，且，，
，，
所以，即
故选：C
6．（2023·广东佛山·统考一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30B．10C．9D．6
【答案】B
【分析】根据等比中项可得，对根据等比数列的定义和通项公式可得，运算求解即可得答案.
【详解】为正数的等比数列，则，可得，
∵， ∴，
又∵，则，可得，
∴，解得，故.
故选：B.
7．（2023·陕西咸阳·校考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后面追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.1米B．10.1米C．11.11米D．11米
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.
【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列，，公比，，
所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离.
故选：C
8．（2023·山东威海·统考一模）已知等比数列的前三项和为84，，则的公比为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】根据已知结合等比数列的通项与前项和列式联立得出答案.
【详解】由可设的公比为，
等比数列的前三项和为84，，，解得，
故选：B.
9．（2021·黑龙江大庆·二模）已知数列的前n项和，满足，则＝（ ）
A．72B．96C．108D．126
【答案】B
【分析】根据得到数列是以3为首项，2为公比的等比数列，从而求出通项公式，得到的值.
【详解】当时，，解得：，
由题意可得，①，当时，，②
①﹣②得，，即，
故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以，故.
故选：B.
10．（2022·四川达州·统考一模）《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山.问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析数列特征，求前5项的和.
【详解】由题意可知，数列前2项都是1，从第二项开始，构成公比为的等比数列，所以前5项和为：.
故选：C
11．（2022·广西·校联考模拟预测）等比数列{}的前n项和为，若，则=（ ）
A．488 B．508 C．511 D．567
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质知，，也是等比数列，计算出新数列的公比即可求解.
【详解】根据等比数列的性质知，，成等比，因为，所以，则.
故选：C
12．（2023·陕西铜川·校考一模）设正项等比数列的前n项和为，若，，则通项（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设公比为q，解得出的值.
【详解】设等比数列的公比为q，则，且不为1
又由已知可得，解得，所以．
故选：D.
二、多选题
13．（2022·重庆沙坪坝·重庆市天星桥中学校考一模）已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是递减数列
C．数列是等差数列D．数列是等比数列
【答案】ACD
【分析】根据给定条件求出的通项，再逐一分析各个选项判断作答.
【详解】在等比数列中，，公比，则有，
对于A，，，则数列是等比数列，A正确；
对于B，，显然对成立，即数列是递增数列，B不正确；
对于C，，则数列是等差数列，C正确；
对于D，，则数列数列是等比数列，D正确.
故选：ACD
14．（2022·海南·统考模拟预测）已知等比数列是递增数列，是其公比，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据等比数列的性质可知，递增的等比数列包括两种情况：时或时.
【详解】由题意知，
递增的等比数列包括两种情况：时或时.故，，故选：BD
15．（2022·全国·模拟预测）在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．数列是公差为2的等差数列
【答案】AC
【分析】先求出以及可判断A；然后通过等比数列求和公式即可判断B；求出利用等比数列定义判断C；求出用等差数列的定义判断D；
【详解】∵，，且公比q为整数，
∴，，∴，或（舍去），故A正确；
，∴，故B错误；
，，，
故数列是等比数列，故C正确；
∵，∴，，
故数列是公差为的等差数列，故D错误.
故选：AC.
16．（2022·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列：（1），（3，5），（7，9，11，13）．（15，17，19，21，23，25，27，29），…，则以下结论中正确的是（ ）
A．第10个括号内的第一个数为1023B．2021在第11个括号内
C．前10个括号内一共有1023个数D．第10个括号内的数字之和
【答案】ACD
【分析】由第10个括号内的第一个数为数列的第512项，最后一个数为数列的第1023项即可求解.
【详解】解：由题意，第n个括号有个数，
对A：前9个括号内一共有个数，所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，所以第10个括号内的第一个数为，故选项A正确；
对C：前10个括号内一共有个数，故选项C正确；
对B：令，得，所以2021为数列的第1011项，由上面选项A、C分析可得，2021在第10个括号内，故选项B错误；
对D：因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为，所以第10个括号内的数字之和，故选项D正确；
故选：ACD.
三、填空题
17．（2022·河南开封·河南省杞县高中校考模拟预测）在等比数列中，，则的公比______．
【答案】
【分析】利用等比数列的通项公式和已知条件可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，因为，所以或．
故答案为：或．
18．（2022·山东青岛·统考二模）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n行共有个数，若，且该数阵中第5行第6列的数为42，则___________.
【答案】
【分析】利用等比数列前项和公式确定42为数列中的第几项，可以求出公差，从而确定等差数列的通项公式.
【详解】解：设公差为，因为该数阵第n行共有个数，则前4行共有个数，
所以第5行第6列数为，则，所以．
故答案为：．
19．（2022·湖北武汉·武汉二中校考模拟预测）设等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则________．
【答案】1或
【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组即可解出答案.
【详解】∵∴或.
故答案为：1或.
20．（2022·河南开封·校联考模拟预测）在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．
【答案】１或.
【分析】分和两种情况讨论.
【详解】解：当时，满足，，此时；
当时，由，，
可得：，解得 ，此时. 综上所述：公比的值为：１或.
故答案为：１或.
21．（2022·全国·校联考模拟预测）若数列前n项和为，则数列的通项公式是______．
【答案】
【分析】利用来求解通项公式.
【详解】①，
当时，，解得：，
当时，②，①-②得：，
解得：，
所以是首项为3，公比是的等比数列，
所以，经检验，符合要求
故答案为：
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
……