初中数学人教版八年级上册11.3.1 多边形达标测试

专题04 多边形截角多算少算角问题

类型一  多算角问题

1．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2019°，则n等于(     )

A．11 B．12 C．13 D．14

【答案】C

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和定理及多边形的能被180°整除解答即可.

【详解】

解：∵2019°÷180°=11…39°，

∴原多边形内角和是2019°-39°=1980°，

∴n=1980÷180+2=13.

故选C.

【点睛】

此题考查的是多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和=（n-2）•180°是解答本题的关键.

2．小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1380度，则这个多边形的边数n的值是_______．

【答案】9

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和公式（n-2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，即可求出多边形的边数．

【详解】

设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，则

（n-2）•180°=1380°-α，

∵1380°=7×180°+120°，内角和应是180°的倍数，

∴n-2=7，n=9；

故答案为：9.

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数是解题的关键．

3．小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结构是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________．

【答案】1980

【解析】

【详解】

解：设多边形的边数为n，多加的角度为α，则

（n-2）×180°=2005°-α，

当n=13时，α=25°，

此时（13-2）×180°=1980°，α=25°

故答案为1980．

4．一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2018°，求这个外角的度数和它的边数．

【答案】38° ； 边数13

【解析】

【详解】

试题分析：根据多边形的内角和公式（n-2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后列式求解即可．

试题解析：设多边形的边数是n，加的外角为α，则

（n-2）•180°+α=2018°，

α=2378°-180°n，又0＜α＜180°，

即0＜2378°-180°n＜180°，

解得：＜n＜，

又n为正整数，

可得n=13，

此时α=38°满足条件，

答：这个外角的度数是38°，它的13边形．

【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，利用好多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键．

5．一个多边形的各个内角与它的某个外角和是1456°，求它的边数和这个外角的度数．

【答案】答：多边形的边数是十，这个外角度数为16°．

【解析】

【分析】

设这个多边形的边数为n，一个外角为a(0°＜a＜180°)，根据多边形的内角和定理，求出整数n和角a的度数.

【详解】

设这个多边形的边数为n，一个外角为a(0°＜a＜180°),

根据题意得：(n－2)×180°＋a＝1456°，

∴n＝(1456°－a)÷180°＋2

   ＝10＋(16°－a)÷180°

∵n为整数 且 0°＜a＜180

∴a＝16°时n＝10.

∴多边形的边数是10，这个外角的度数是16°.

【点睛】

本题考查了多边形的内角和定理，多边形内角和定理：n边形的内角的和等于(n－2)×180°，则正多边形各内角度数为：(n－2)×180°÷n，说明：多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关；强调凸多边形的内角α的范围：0°＜α＜180°.

类型二  少算角问题

6．小明同学在计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为     2005°,则n等于_____.

【答案】14

【解析】

【详解】

n边形内角和为：（n-2）•180°，并且每个内角度数都小于180°，

∵少算一个角时度数为2005°，

根据公式，13边形内角和为1980°，14边形内角和为2160°，

∴n=14，

故选D．

【点睛】本题考查的是多边形的内角和定理，即多边形的内角和=（n-2）•180°，熟练掌握和灵活应用是关键.

7．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为，则内角和是______．

【答案】

【解析】

【分析】

设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，根据题意得

变形 为，由n是正整数，求出x的值即可得到答案．

【详解】

设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，由题意得

∴，

∵n是正整数，，

∴x=，

∴这个多边形的内角和为，

故答案为：．

【点睛】

此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．

8．一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为1680°那么除去的这个内角的度数为______．

【答案】120°

【解析】

【分析】

先用1680°÷180°，看余数是多少，再把余数补成180°．

【详解】

∵1680°÷180°＝9…60°，

又120°＋60°＝180°

∴这个内角度数为120°．

故填：120°.

【点睛】

本题考查多边形内角和公式的灵活运用；关键是找到相应度数的等量关系．

9．一个多边形除了一个内角外，其余内角和为，求这个内角的度数及多边形的边数．

【答案】30°，16

【解析】

【分析】

设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可．

【详解】

解：设这个内角度数为x°，边数为n，

则（n-2）×180-x=2490，

180•n=2850+x，

=

∵n为正整数，0°＜x＜180°，

∴n=16，

∴这个内角度数为180°×（16-2）-2490°=30°．

【点睛】

本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180°．

10．某同学在进行多边形内角和计算时，求得内角和为2750°，当发现了之后重新检查，发现少加了一个内角，问这个内角是多少度?并求这个多边形是几边形．

【答案】这个内角的度数是130°，这个多边形的边数为18．

【解析】

【分析】

n边形的内角和是（n−2）•180°，多边形的内角一定大于0度，小于180度，比这个数值大的且最接近的整数就是多边形的边数．

【详解】

解：设少加的内角为x度，边数为n．

则（n−2）×180＝2750＋x，

即（n−2）×180＝15×180＋50＋x，

因此x＝130，n＝18．

答：这个内角的度数是130°，这个多边形的边数为18．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键．

11．小军在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现是少加了一个内角，求以下两个问题：

（1）这个多边形是几边形？

（2）这个内角是多少度？

【答案】（1）九边形；（2）135º

【解析】

【分析】

（1）设多边形的边数为n（n为正整数），根据多边形内角和公式表示出多边形的内角和，再减去1125°即可表示出少加的那个内角度数，然后根据多边形内角的范围列出不等式即可求出n的值；

（2）根据n的值结合（1）中算式，计算即可.

【详解】

解：（1）设这个多边形为n边形．

则内角和为：(n-2)×180=180n-360，

∴这个内角度数为：180n-360-1125，

又∵一个内角大于0°小于180º，

∴0<180n-360-1125<180，

∴8.25＜n＜9.25，

∴ n=9，即这个多边形是九边形；

（2）当n=9时，180n-360-1125=135º，

即这个内角度数为135º．

【点睛】

本题主要考查多边形的内角和公式及不等式的解法，解题的关键是根据多边形内角的范围列出不等式．

类型三  截角问题

12．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（       ）

A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12

【答案】D

【解析】

【分析】

首先求出截角后的多边形边数，然后再根据切去的位置求原来的多边形边数．

【详解】

解：设截角后的多边形边数为n，

则有：（n-2）×180°=1620°，

解得：n=11，

如图1，从角两边的线段中间部分切去一个角后，在原边数基础上增加一条边，为12边形；

如图2，从角的一边中间部分，另一边与另一顶点连结点处截取一个角，边数不增也不减，是11边形；；

如图3，从另外两个顶点处切去一个角，边数减少1为10边形

∴可得原来多边形的边数为10或11或12：

故选D．

【点睛】

本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．

13．在矩形ABCD中，一条直线将矩形任意分为两部分，设这两部分图形的内角和分别为x、y，则x＋y的和是（       ）

A．360°、540°、720° B．360°、540° C．540°、720° D．360°、720°

【答案】A

【解析】

【分析】

分三种情况：①一条直线将矩形分为两个三角形，②一条直线将矩形分为一个三角形和一个四边形，③一条直线将矩形分为两个四边形，再根据三角形和四边形的内角和定理求解即可．

【详解】

解：分三种情况：

①一条直线将矩形分为两个三角形，如图1所示：

则x＋y＝180°＋180°＝360°；

②一条直线将矩形分为一个三角形和一个四边形，如图2所示：

则x＋y＝180°＋360°＝540°；

③一条直线将矩形分为两个四边形，如图3所示：

则x＋y＝360°＋360°＝720°；

④一条直线将矩形分为1个三角形和1个五边形，如图4所示：

则；

综上所述，x＋y的和是360°或540°或720°，

故选：A．

【点睛】

本题考查了三角形和四边形的内角和，分类讨论是解题的关键．

14．将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（       ）．

A．15或16 B．15或16或17 C．16或17或18 D．17或18或19

【答案】D

【解析】

【分析】

因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．

【详解】

解：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，

根据题意得（n-2）•180°=2880°，

解得：n=18，

则多边形的边数是17，18，19．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．

15．一个四边形截去一个角后，可以变成 （        ）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能

【答案】D

【解析】

【分析】

一个四边形截去一个角是指可以截去两条边，而新增一条边，得到三角形；也可以截去一条边，而新增一条边，得到四边形；也可以直接新增一条边，变为五边形．可动手画一画，具体操作一下．

【详解】

解：如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形．

故选D．

【点睛】

本题考查了多边形截角的问题，此类问题，动手画一画准确性高，注意不要漏掉情况．

16．一个五边形截去个角后剩下的多边形内角和是（       ）

A． B． C． D．或或

【答案】D

【解析】

【分析】

一个五边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变；然后分别求出每一种情况下的多边形的内角和．

【详解】

解：一个五边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变；

①四边形的内角和为：360°；

②六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°；

③五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°；

故选D．

【点睛】

此题主要考查了多边形内角和公式，解题的关键是：根据题意，讨论出剪去一个角后的各种情况．

17．将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形，则原多边形的边数为（       ）

A．9 B．10 C．11 D．以上均有可能

【答案】D

【解析】

【分析】

将一个多边形纸片剪去一个内角可以多三种情况比原多边形边数少1，不变，多1，利用内角和公式求出内角的和与外角关系即可求出．

【详解】

如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠BCF后，

多边形的边数和原多边形边数相同为n，

，

n=10，

如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠BCF后，

多边形的边数比原多边形边数少1为n-1，

，

n=11，

如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠GCF后，

多边形的边数比原多边形边数多1为n+1，

，

n=9，

原多边形的边数为9,10,11．

故选择：D．

【点睛】

本题考查多边形剪去一个角问题，掌握剪去一个角后对多边形的边数分类讨论是解题关键．

18．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：画出图形，把截去的部分打上阴影

新多边形内角和比原多边形的内角和增加了．

新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．

新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了．

将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，求原多边形的边数．

【答案】（1）作图见解析；（2）15，16或17．  

【解析】

【分析】

（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；

②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；

③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；

（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．

【详解】

如图所示：

设新多边形的边数为n，

则，

解得，

若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，

若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，

若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，

故原多边形的边数可以为15，16或17．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．

19．如图1，四边形为一张长方形纸片．

（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．

（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．

（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．

（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．

【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．

【解析】

【分析】

（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；

（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；

（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；

（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．

【详解】

（1）过E作EH∥AB（如图②）．

∵原四边形是长方形，

∴AB∥CD，

又∵EH∥AB，

∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．

∵EH∥AB，

∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∵CD∥EH，

∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，

又∵∠1+∠2=∠AEC，

∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；

（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；

（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；

（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．

故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．