专题25 定弦定角构造辅助圆-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）

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A．B．C．6D．
【解答】解：，，
点在以为直径的圆弧上，
如图，取的中点，连接，当、、三点共线时，有最小值，
连接，过点作于点，
点为的中点，
，
正六边形的每个内角为，
，
，，
，
在中，，，
，
在中，，
的最小值为．
故选：．
2．如图，在平面直角坐标系中，线段在轴上移动，在运动过程中，直线上的点如果满足，则点为好点，当在轴上运动到某一位置时，好点的个数最多有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：如图，当在轴的正半轴时，构建等边三角形，以为圆心，以为半径作辅助圆，
直线与的交点就是点，
此时，
好点最多有两个，
同理在轴的负半轴时，也存在两个好点，
故选：．
3．如图，是的直径，，、是半圆上不与、重合的两点，且，的内心为点，当点在上从点运动到点时，点运动的路径长是
A．B．C．D．
【解答】解：如图，连接、，
，是内心，
，
点在以为圆心的为半径的圆上运动（轨迹是，在上取一点，连接、，则，，
是等腰直角三角形，
，
，
，同理，
，
，
点运动的路径长是，
故选：．
4．如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴正半轴上，点，，点、分别从、以相同的速度向、运动，连接、，交点为，是轴上一点，则的最小值是
A．3B．C．D．
【解答】解：如图，是等边三角形，
，，
点、分别从、以相同的速度向、运动，
，在和中，，
，
，
，
点是经过点，，的圆上的点，记圆心为，在上取一点，使点和点在弦的两侧，连接，，
，
连接，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，，
过点作，
，
在△中，，，
，
，，
设，
，
只有时，最小为0，即最小为6．
当时，即：时，最小，
．
故选：．
5．如图，正方形中，，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，则线段的最小值为 ．
【解答】解：如图：
，
动点，的速度相同，
，
又正方形中，，
，
在和中，
，
，
．
，
，
，
点在运动中保持，
点的路径是一段以为直径的弧，
设的中点为，连接交弧于点，此时的长度最小，
．
在中，，
，
即线段的最小值为，
故答案为：．
6．如图，正方形，以为圆心，长为半径画弧，点在圆弧上，于点，是的内心，，则的最小值为 ．
【解答】解：连接、、．
是的内心，，
，
，，，
，
（定角），
点的运动轨迹是圆弧，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，连接、．
则以点为圆心，为半径的是点的轨迹，
，
当、、共线时，的值最小，
作于．易知，，，
的最小值为，
故答案为．
7．如图，在矩形中，，，点是上的一个动点，连接，把沿着翻折到△（点在矩形的内部），连接，．点在整个运动过程中，若存在唯一的位置使得△为直角三角形，则，之间的数量关系是 ．
【解答】解：如图，以为直径作，当点到的最小距离等于时，使得△为直角三角形且唯一，
在中，，
，
整理得，
，，
．
8．如图，的直径为4，为上一个定点，，动点从点出发沿半圆弧向点运动（点与点在直径的异侧），当点到达点时运动停止，在运动过程中，过点作的垂线交的延长线于点．
（1）在点的运动过程中，线段长度的取值范围为 ．
（2）在点的运动过程中，线段长度的最大值为 ．
【解答】解：（1）如图1中，
是直径，，
，，，
，
，，
的最小值，的最大值为直径，
的最小值为，最大值为，
点与点在直径的异侧
．
故答案为．
（2）如图2中，
在中，，，
，
点在以为弦的（红弧线）上运动，
当、、共线时，的值最大．连接、．
，，
△是等边三角形，
，，
，
，
，
．
的最大值为．
故答案为．
9．如图，是的直径，为圆上一点，且，的半径为2，为圆上一动点，为的中点，则的长的最大值是 ．
【解答】解：如图，连接，作于．
，
，
，
点的运动轨迹为以为直径的，连接，
当点在的延长线上时，的值最大，
在中，
，，
，，
在中，，
的最大值为
10．如图，是矩形内一点，，，，则当线段最短时， ．
【解答】解：以为直径作半圆，连接，与半圆交于点，当点与重合时，最短，
，
，，
，，
，
过作于点，则
，
，
．
故答案为：．
11．在平面直角坐标系中，已知点、，点是轴正半轴上的一点，当时，点的坐标为 ．
【解答】解：如图，作的外接圆，过作，于，
，
点、，
，
，
，
，
，
，，
在中，，由勾股定理得：，
在中，，，由勾股定理得：
，
点坐标为，
故答案为．
12．如图，正方形中，，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，是线段上任意一点，则的最小值为 ．
【解答】解：如图作点关于的对称点，连接，
由轴对称的性质可知：，
过点作垂直，垂足为，
易证，故可知的轨迹为以为直径的四分之一圆弧上，当点与点重合，点与点重合时，和均最短，
此时，最短．
四边形为正方形，
，．
．
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
13．如图，边长为4的正方形外有一点，，为的中点，连接，则的最大值为 ．
【解答】解：解法一：如图，以为直径作圆，
，
点在这个上，
延长至，使，连接，，，过作于，
，，
，
中，是的中点，
，
中，由勾股定理得：，
，
当，，三点共线时，最大，最大，
的最大值是；
解法二：连接，取、的中点为、，连接、，
为的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
点在以为直径的半圆上运动，
取的中点，
则最大时，是经过圆心，
是的中位线，
，
，
过作于，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
14．如图，正方形中，，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，是线段上任意一点，则的最小值为 ．
【解答】解：如图作点关于的对称点，连接，
由轴对称的性质可知：，，
过点作垂直，垂足为，
易证，故可知的轨迹为以为直径的四分之一圆弧上，当点与点重合，点与点重合时，和均最短，
此时，最短．
四边形为正方形，
，．
．
在中，由勾股定理得：．
故答案为
三．解答题（共4小题）
15．在平行四边形中，，，，问边上是否存在一个点，使得？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：存在．理由如下，
如图，作于．
在中，，，
，
，
，
，
，
，，的是等腰直角三角形，
，
以为圆心画圆交于，此时，
，
，
16．已知线段，用尺规作，使，你能作出多少个满足条件的三角形？
【解答】解：如图，
当，时，点在优弧上，
，
，
满足条件的点有无数个．
17．如图，在四边形中，，，，，点、点是四边形内的动点，且，求的最小值．
【解答】解：过点作于点，
，
四边形是矩形，
，，
，
中，，
，，
延长至点，使得，
是等边三角形，
以点为圆心，为半径作圆，
优的度数为，
，
点在上，
绕着点顺时针旋转至△，
，，，
，
，
而是定值，
求最短，就是求最短，
当、、、四点共线时，最短，最短值就是的长，
过点作于点，
是等边三角形，
，，
，
最短值为，
最短值为，
最短值为．
18．如图1，已知四边形是平行四边形，且，以、所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，直线过点且与轴交于点．
（1）请直接写出点，的值及点的坐标；
（2）如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，且，若为等腰三角形，求线段的长；
（3）如图3，点为轴正半轴上的一点，当时，求线段的长．
【解答】解：（1）如图1，，
，
，
，
四边形是平行四边形，且，
，，
，
把代入中得：，
，
，
当时，，
，
；
（2）若为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当时，如图2，则，
，
与重合，与重合，
；
②当时，如图3，过作于，则，
，
，
，
在中，，
，
，
；
③当时，如图4，设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：的长为或6或；
（3）如图5，作的中垂线交于，交于，过作轴于，连接、，
，
，
，
，
，
点是的外接圆的圆心，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．