第9章多边形知识归纳（华东师大版七下）

第九章　多边形

一、基本概念

（一）三角形有关概念

1．三角形定义：三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边。

三角形专用符号：“△”                                     A（顶点）

2．三角形的顶点、边                                                                                                      B          C

组成三角形的线段如图中的AB、BC、AC是这个三角形的三边，       

两边的公共点叫三角形的顶点。(如点A等)三角形顶点只能用大写字

母表示，整个三角形表示为△ABC。                                   　　　　　

3．三角形的内角，外角的概念：

（1）内角：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠BAC等。每个三角形有三个内角，

（2）外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角     

叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ABC的一个外角，    A

它与内角∠ACB相邻。                                                外角

例如右图中∠ACD是∠ABC的一个外角，它与内角∠ACB相邻。        B　　 C   D

与△ABC的内角∠ACB相邻的外角有几个?它们之间有什么关系?

一个三角形共有几个外角？

4．三角形的分类

（1）三角形按角分类可分为：

各类三角形的定义

锐角三角形：所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形；

直角三角形：有一个内角是直角的三角形叫直角三角形；

钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形。

（2）三角形按边分类可分为：

各类三角形的定义

不等边三角形：三边互不相等的三角形叫做不等边三角形；

等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的腰。

等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形)。

5．三角形的中线、角平分线、高（记住这重要的三线）

三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线。

三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线。

三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高。

注意：

(1)一个三角形中三条中线(高、角平分线)之间的位置关系怎样?

[三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点]

(2)一个三角形的三条中线(角平分线)的交点与三角形有怎样的位置关系?

[三条中线(角平分线)相交于一点，这一点在三角形内部]

(3)直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系?钝角三角形呢?

[直角三角形有一条高在三角形内部，另外两条就是直角三角形的两条直角边，三条高的交点就是直角三角形的直角顶点，钝角三角形有一条高在形内，两条高在形外，三条高所在的直线的交点在形外。]                                                           

(4)以上三线都是线段。                                         

（二）三角形外角的性质以及其外角的和

1．三角形外角的性质：

(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；           　　

(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。               A

如图： D是△ABC边BC上一点，则有∠ADC＝∠DAB+∠ABD；

∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABD　                     B        D C

    问：∠ADB＝∠(　　　　)+∠(　　　)　　　

2．三角形外角的和。

三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?(互补)

（1）三角形外角和的定义：与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。

（2）三角形外角和定理：三角形的外角和是360°

（三）三角形的三边关系

1．三角形三边不等关系定理：三角形的任何两边的和大于第三边。

三角形的任何两边的差小于第三边。

即三角形第三边的取值范围是：

|任何两边的差|＜第三边＜任何两边的和

以上定理主要用语判断给出一定长度的线段能否构成三角形和求第三边的取值范围。

2．三角形具有稳定性

这就是说三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形就不具有这个性质。

（四）多边形的内角和与外角和

1．多边形及其相关概念

定义：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。

一个n边形有n个内角，有2n个外角。

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。

对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，这(n-3)条对角线把n边形分成（n-2）个三角形。

从n边形的所有顶点引对角线的总条数为：条。

2．多边形的内角和公式

n边形的内角和＝(n-2)·180°

3．多边形的外角和。

（1）多边形的外角和定义：从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和。

（2）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°。

多边形的外角和与多边形的边数无关。

（五）用正多边形拼地板

1．用相同的正多边形拼地板：能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加恰好等于360°。

在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中能够拼出完整地面是                

这就是说，当(360°÷ )为正整数时

即为正整数时，用这样的正n边形就可以铺满地面。

设正多边形的个数为n，每个内角为α，则要铺满地面，它们满足下列关系：αn=360°

2．用多种正多边形拼地板

铺垫满地面的标志：满足围绕一点的这几个正多边形的一个内角的和等于360°

设正多边形甲的个数为n，每个内角为α，正多边形乙的个数为m，每个内角为β，则它们满足下列关系：αn+βm=360°

二、练习

1．下列各组中的数分别表示三条线段的长度，试判断以这些线段为边是否能组成三角形。   

    (1)3，5，2       (2)a，b，a+b  (a>0，b>0)        (3)3，4，5

    (4)m+1，2m，m+l(m>0)           (5)a+1，2，a+5(a>0)

   2．如图(1)，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，AM⊥BC，AD⊥BE，那么∠2＝∠3＝∠4，你知道这是为什么?

3．如图(2)，DC平分△ABC的外角，与 BA的延长线于D，那么∠BAC＞∠B，为什么?

4．在下列四组线段中，可以组成三角形的是(    )

①1，2，3    ②4，5，6③1，,    ④15，72，90

    A．1组    B．2组    C 3组    D．4组

5．下列四种说法正确的个数是(    )

    ①一个三角形的三个内角中至多有一个钝角

    ②一个三角形的三个内角中至少有2个锐角

    ③一个三角形的三个内角中至少有一个直角

    ④一个三角形的三个外角中至少有两个钝角

    A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

6．△ABC中，三边长为6、7、x，则x的取值范围是(    )

    A．2<x<12 B．1<x<13 C．6<x<7  D．无法确定

7．等腰三角形两边长分别是5和7，则该三角形周长为(    )

    A．17    B．19    C17或19  D．无法确定

8．△ABC的三边a、b、c都是正整数，且满足0≤a≤b≤c，如果b＝4，问这样的三角形有多少个?

9．如图(1)依图填空：

（1）在△ABC中，BC边上的高是    (    )

（2）在△AEC中，AE边上的高是    (    )

（3）在△FEC中，EC边上的高是     (    )

（4）AB＝CD＝2cm，AE＝3cm ，则△AEC的面积S=(       )，CE＝(      )

     分析：在非标准位置的三角形中，运用定义识别直角三角形、钝角三角形的高，利用三角形面积公式S△AEC＝×AE×CD＝CE×AB可求得CE。

10．如图(2)，在△ABC中，D是BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的数。

分析：∠DAC是△DAC的内角，可先求出∠4或∠3，∠4既是△ADC的内角，又是△ABD的外角，所以可利用三角形内角和与外角性质，可建立∠4和∠2(或∠1)的关系式，进而可求出∠DAC。

11．如图(3)，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于0，那么∠BDC＝90°+ ∠A，你会说明这个结论正确?

分析：因为∠BDC是△BDC的内角，所以根据三角形内角和的定理，∠BDC=180°－∠l－∠2

12．已知多边形的一个内角的外角与其它各内角和为600°，求边数及相应的外角的度数。

分析：根据多边形的内角和公式，已知内角和可求边数,由于内角和中的一个内角换成了一个外角,所以设辅助未知数x,根据其外角小于 180°，列方程。