四川省遂宁市2021-2022学年高二下期期末考试——数学（理）

2023届第四学期期末教学水平监测

数学（理科）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）

1．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 

C．第三象限 D．第四象限

2．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是

A．                    B．

C．                   D．

3．下列求导运算正确的是

A．               B．

C．                  D．

4．已知圆与抛物线的准线相切，则

A．           B．          C．4          D．8

5．下列命题中为真命题的是

A．若为假命题，则均为假命题；

B．由锐角满足及，推出是合情推理

C．命题“存在，使得”的否定是“对任意，均有”；

D．命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”.

6．已知函数，则的图象在点处的切线的斜率为

A．-3            B．3           C．-5            D．5

7．设函数在定义域内可导，的图象如图所

示，则其导函数的图象可能是

A．       B．          的图象

C．     D．         

8．已知的展开式中二项式系数之和为256，则该展开式中含x项的系数为

A．896           B．1024         C．1792         D．2048

9．从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件A为“抓取的球中至少有两个球同色”，事件B为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率

A． B．         C．           D．

10．已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为

A．3            B．5           C．         D．13

11．已知定义在R上的函数满足：函数为奇函数，且当时，成立（为的导函数），若，，，则a、b、c的大小关系是

A.        B.      C．      D．

12．已知双曲线与直线交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为，曲线C的左、右焦点分别为．若,则下列说法正确的是

A．

B．双曲线的渐近线方程为             

C．若，则的面积为          

D．曲线的离心率为

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）

注意事项：

1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．若随机变量，已知，则

   ▲   .

14．若过点的双曲线的渐近线为，则该双曲线的标准方

程是   ▲   .

15．已知，若在区间上存在，使得成立，则实数a的取值范围是   ▲  

16．已如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调

和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，

第n行有n个数且两端的数均为，

每个数是它下一行左右相邻两数的和，如

，，，，

则第7行第5个数(从左往右数)为   ▲   ．

三、解答题（17题10分，18至22每小题12分，共计70分）

17. （10分）

设数列满足，.

（1）求，，，并猜想数列的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

18. （12分）

如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上的一点，且．

（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C方程；

（2）求点M到直线距离的最大值.

19．（12分）

已知函数在和处取得极值．

（1）求a，b的值；

（2）若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围．

20.（12分）

社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书.现在某书店随机抽取40名顾客进行调查，得到了如下列联表：

（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；

（2）若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取4人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望.

附：，其中.

21. （12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到直线的距离小1，记P的轨迹为C．

（1）求曲线C的方程；

（2）在直线上任取一点M，过M作曲线C的切线，切点分别为A、B，求证直线AB过定点．

22.（12分）

已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数a的取值范围．

数学（理科）试题参考答案及评分意见

一、选择题（5×12=60分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．         14．           15．         16．

三、解答题（共70分）

17.

（1）由，，可得：

，，………………3分

由，，，可猜想：………………………………………5分

（2）证明：①当时，成立；………………………………………… 6分

②假设当时，猜想成立，即. ……………………………7分

则当时，

即当时，猜想成立.

由①②可知，对于任意的，都有成立.

综上所述，猜想得证……………………………………………………………………10分

18.（1）设点,

由得即……………………………………………2分

又∵点P在圆上得

椭圆……………………………………………………………………5分

（2）令平行于直线l且与C相切的直线

……………………………………………8分

当与C相切时.…………………………10分

及的方程为…………………12分

19．

解：（1），

由题意，得则       解得

经检验，此时满足在和处取得极值，符合题意.5分

（2）令,则原题意等价于图象与轴

有三个交点．

∵…………………………………………………7分

∴由,解得或；由,解得．

∴在时取得极大值；

在时取得极小值．…………………………………………………………………………10分

依题意得,解得．

故的取值范围为．……………………………………………………………12分

20.

（1）解：根据题意，可得如下的的列联表：

……………………………………………………………………………………………2分

则

所以没有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关………………………………5分

（2）解：按照分层抽样的方法在年轻人中抽取7名，

则抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名…6分

所以随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，

可得；；

；，……………………………………10分

所以的分布列为

则期望为…………………………………12分

21．

（1）解：设曲线C上任意一点P的坐标为，由题意知且有

，……………………………………………………………2分

解得；

所以曲线C的方程为……………………………………………………………5分

（2）证明：设，

由题意知直线AB的斜率存在，设直线的方程为，

联立方程，整理得，

所以，且，…………………………………7分

又由，即，可得，

所以抛物线在点处的切线的方程为，即，同理直线的方程为，

联立方程，解得，……………………………………………9分

又因为直线与的交点恰好在直线上，

所以，即，所以，解得…………………11分

故直线的方程为，所以直线恒过定点．…………………………12分

22． 

（1）的定义域为，求导得，……………1分

令，得，其．

当时，又   ，故在上单调递增.

当时， ，故在上单调递增. ……3分

当时， ，由得

故在上单调递增.在上单调递增.

综上，当时，在上单调递增.

当时，在上单调递增，

在上单调递减. ……………………………………………5分

（2）的定义域为，求导得，

有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根

，，……………………………………7分

此时不等式恒成立，等价于对恒成立，可化为对恒成立，

令，则，令

得得或（舍去）…………………………………9分

，

故………………………………10分

在恒成立，在上单调递减，

，.     

故实数的取值范围是……………………………………………………12分