![2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学高二下学期第三次月考数学(理)试题含解析01](http://m.enxinlong.com/img-preview/3/3/13385812/0/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学高二下学期第三次月考数学(理)试题含解析02](http://m.enxinlong.com/img-preview/3/3/13385812/0/1.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学高二下学期第三次月考数学(理)试题含解析03](http://m.enxinlong.com/img-preview/3/3/13385812/0/2.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学高二下学期第三次月考数学(理)试题含解析
展开2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学高二下学期第三次月考数学(理)试题
一、单选题
1.“”是“复数为纯虚数”的( )
A.必要非充分条件 B.充分非必要条件
C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件
【答案】A
【分析】复数为纯虚数,则,再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】数为纯虚数应满足:.
所以“”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件.
故选:A.
2.已知复数(,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限,且,则复数z等于( )
A. B. C.或 D.
【答案】A
【解析】根据复数的模以及复数对应点所在象限求得的值,由此得出正确选项.
【详解】由,得,解得.因为z在复平面内对应的点位于第二象限,所以.
所以,所以.
故选:A
【点睛】本小题主要考查复数模的运算,考查复数对应的点所在象限.
3.下列命题正确的是( )
A.命题“若,则”的否命题为“若,则”
B.若给定命题,,则,
C.已知,,则是的充分必要条件
D.若为假命题,则,都为假命题
【答案】D
【分析】根据否命题,命题的否定,充分必要条件的定义,复合命题真假判断各选项.
【详解】命题“若,则”的否命题为“若,则”,A错;
命题,的否定是,,B错;
易知函数在定义域内是增函数,,,
所以时,满足,
但时,不满足,因此题中应不充分不必要条件,C错;
为假命题,则,都为假命题,若中有一个为真,则为真命题,D正确.
故选:D.
4.在平面直角坐标系中,曲线,与x轴所围成的封闭区域的面积为( )
A.2 B.3 C. D.
【答案】C
【分析】先作图,然后由微积分基本定理可得.
【详解】,的函数图象如图
记,因为
所以.
所以所求面积为
故选:C
5.对某些,,用数学归纳法可以证明不等式:成立,第一步验证不等式成立,正确的是( )
A.时, B.时,
C.时, D.时,
【答案】D
【分析】根据确定第一步对应的即可
【详解】由题,,时对应,分母每次增加1,
故时,为第一步.
故选:D
6.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )
A.120种 B.90种
C.60种 D.30种
【答案】C
【分析】分别安排各场馆的志愿者,利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从名同学中选名去甲场馆,方法数有;
然后从其余名同学中选名去乙场馆,方法数有;
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选:C
【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算,属于基础题.
7. 的展开式中的系数为( )
A.-270 B.-90 C.90 D.270
【答案】A
【详解】:选:A
【考点定位】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题
8.设是一个离散型随机变量,其分布列如图,则q等于( )
-1 | 0 | 1 | |
P | 0.5 |
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据分布列的性质直接求解即可.
【详解】由题知,解得.
故选:C
9.函数,若其导数的图象如图所示,则函数的极小值是( )
A.a+b+c B.8a+4b+c C.3a+2b D.c
【答案】D
【分析】根据导函数的图象,确定函数的单调性,从而可得函数f(x)的极小值.
【详解】f′(x)=3ax2+2bx,根据导函数的图象,
可知0,2是方程3ax2+2bx=0的根,
当x<0或x>2时,f′(x)<0,函数为减函数,
当0<x<2时,f′(x)>0,函数为增函数,
∴x=0时,函数f(x)取得极小值,极小值为f(0)=c,
故选D.
【点睛】本题考查导函数的图象,考查极值的计算,属于基础题.
10.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为,则|AB|=( )
A.6 B.8 C.12 D.16
【答案】A
【分析】设出直线方程,求出A,B两点的纵坐标的差,利用三角形的面积,求出直线的斜率,然后求解.
【详解】抛物线焦点为,设过焦点F的直线为,
由可得,
,,
△AOB的面积为,可得,
即,解得,
,
故选A.
【点睛】该题所考查的是有关直线被曲线截得的弦长求解问题,在解题的过程中,涉及到的考点有直线与抛物线相交的解题思路,三角形的面积公式以及弦长公式,从而求得结果.
11.已知是定义在上的函数,且满足①;②曲线关于点对称;③当时,若在上有5个零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】 因为曲线关于点对称,
所以曲线关于点对称,所以在R上是奇函数,
所以,又因为,所以,
而在上恰有个零点,
故时, 有一个零点,
所以时,,
所以在上有一个不同的解.
令 ,则,
所以在上减函数,在上是增函数;
而,
而,所以,
故或,故选B.
12.点,是曲线C:的左右焦点,过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A,B和C,D;线段AB,CD的中点分别为M,N,直线与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点,则圆面积的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】讨论斜率,斜率存在时设、联立曲线C,应用韦达定理求线段AB,CD的中点坐标,进而确定的方程,可得过定点,若以G为圆心的圆半径为,只需保证可满足圆与直线恒有公共点,即得面积最小值.
【详解】当直线斜率均存在时,令且,则,
联立与曲线C并整理得:,
且,则,
所以,故,
联立与曲线C并整理得:,
同理,,,可得,
直线,故过定点,
当直线中一条的斜率不存在时,令,则,
所以,,故过,
而,要使以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点,且圆面积最小,
若圆的半径为,只需恒成立,故圆最小面积为.
故选:B
【点睛】关键点点睛:讨论直线斜率,设直线方程联立曲线方程,结合韦达定理求线段中点坐标,进而确定的方程,得到过定点,根据恒有公共点有圆半径为,只需保证恒成立即可.
二、填空题
13.的展开式中,奇数项的系数和为______.
【答案】121
【分析】先将式子展开,使用赋值法分别令,然后两式相加再除以2可得.
【详解】记
分别取,得:
…①
…②
①+②得:
所以
所以奇数项的系数和为121.
故答案为:121
14.过点的抛物线的标准方程是__________.
【答案】或
【分析】按焦点位置的不同设出抛物线方程,利用待定系数法求解作答.
【详解】当抛物线焦点在x轴上时,设方程为,则有,解得,即有,
当抛物线焦点在y轴上时,设方程为,则有,解得,即有,
所以过点的抛物线的标准方程是或.
故答案为:或
15.射洪中学高2020级准备举行题为“挺进高三”主题活动,计划安排文理科学生各一人作为学生代表发言,两名科任教师作鼓励性动员以及年级主任讲话,要求学生不能相邻,科任教师不能相邻,则不同的安排顺序种数为______.
【答案】48
【分析】使用插空法先算学生不相邻的排法,然后减去学生不相邻而两名教师相邻的排法即可.
【详解】1、计算两名学生不相邻的排法:
第一步,将两名科任教师和年级主任排成一列有种;
第二步,将两名学生插入到4个空位中有
所以总排法有种.
2、计算两名学生不相邻且两名科任教师相邻的排法:
第一步,两名教师站成一排有种;
第二步,将两名教师看成一个元素与年级主任进行排列有种;
第三步,将两名学生插入到3个空位中有种。
所以总排法有.
所以学生不相邻且教师不相邻的排法种数有种.
故答案为:48
16.若当时恒成立.则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】将问题转化为恒成立问题,转化为,的图象位置关系问题,通过图象结合导数可得.
【详解】当时,恒成立恒成立
记,
由图可知,因为为过定点的直线,所以要使时恒成立,只需满足a小于等于过点P与相切的直线斜率.
因为,得,所以.
综上,实数a的取值范围是.
故答案为:
三、解答题
17.已知的二项展开式的二项式系数和为16,直线与曲线有两个不相同的交点,求k的取值范围.
【答案】
【分析】根据二项式系数的性质求n,然后将直线方程代入椭圆方程利用判别式可得.
【详解】因为的二项展开式的二项式系数和为16,
所以,解得,所以得
将代入整理得:
由题知,即
解得或,
所以k的取值范围为
18.已知函数.
(1)设,求的极值点的个数;
(2)设在区间中至少有一个极值点,求a的取值范围.
【答案】(1)0;
(2).
【分析】(1)把代入,求出函数的导数,再借助函数单调性判断作答.
(2)求出函数的导数,把问题转化为在上至少有一个变号零点,再求解作答.
【详解】(1)当时,,求导得,当且仅当时取“=”,
则函数在R上单调递增,即函数无极值,
所以函数的极值点的个数为0.
(2)对函数求导得:,
因在区间中至少有一个极值点,则函数在上至少有一个变号零点,
若函数在上只有一个变号零点,有,解得,
经验证,是的一个极值点,则,
当,即时,,在上没有零点,
当,即时,,在上没有零点,
若函数在上有2个变号零点,则有,解此不等式得,无解,
所以a的取值范围是.
19.某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%.生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元.设生产各种产品相互独立
(1)记(单位:万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求的分布列;
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率
【答案】(1)分布列见详解;(2)
【分析】(1):判断X的可能取值,求解对应的概率即可;
(2):至少需要生产3件一等品所获得的利润不少于10万元,分类求解可得结果.
【详解】(1)X的可能取值为:
则;
;,分布列如下:
| 10
| 5
| 2
| -3
|
P
| 0.72
| 0.18
| 0.08
| 0.02
|
(2)依题意,至少需要生产3件一等品所获得的利润不少于10万元,则
20.已知椭圆C:()上的动点P到右焦点距离的最小值为.
(1)设点,为椭圆C的左右焦点,求三角形面积的最大值;
(2)已知点M为C的下顶点,A为椭圆的右顶点,在(1)的结论下,过M的直线与直线AP垂直且与C的另一个交点为N,求三角形AMN的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先根据已知列方程组求椭圆方程,然后结合图形直接计算可得;
(2)根据已知直接求直线MN的方程,然后由弦长公式和点到直线的距离公式可得.
【详解】(1)由题知,解得
椭圆C的方程为:
易知当点P为上顶点时,的面积最大,最大值
(2)由(1)知,
因为直线的斜率为,,
所以直线的斜率为3,
所以直线的方程为,代入整理得:
,解得
所以
又点A到直线MN:的距离
所以
21.已知F为抛物线的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧.
(1)若(其中O为坐标原点),求△ABO与△AFO面积之和的最小值;
(2)若A,B,F三点共线,A,B处的切线交点为P,求P到F的最小距离.
【答案】(1)3
(2)
【分析】(1)可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及,可得直线过定点,不妨设A在轴的上方,则,进而将面积之和表示出来,结合基本不等式求得答案;
(2)设AB方程联立抛物线方程消元,由韦达定理可得,利用导数求得PA、PB方程,联立求解可得P的横坐标,然后可得.
【详解】(1)设直线的方程为:,点,,,,
由,可得…①,
点,,,在抛物线上,可得,…②
由①②可得或1(舍去),
由可得,
根据韦达定理有,所以
直线过定点,
点A,位于轴的两侧,不妨设A在轴的上方,则,
又焦点,,
,
当且仅当,取“”号,
与面积之和的最小值是3,
(2)不妨记点A在x轴上方,设,,,,
当时,,则,过点A与抛物线相切的直线方程为,整理得…①
同理可得过点B与抛物线相切的直线方程为…②
因为,所以由①②解得,
设AB直线方程为,代入整理得
所以,所以得点P坐标为,
所以点P在直线
易知当点P在x轴上时,P到F的距离最小,最小值为.
22.已知函数
(1)若f(x)在[0,2]上是单调函数,求a的值;
(2)已知对∈[1,2],f(x)≤1均成立,求a的取值范围.
【答案】(1);(2)
【分析】(1)根据求导,令解得,,然后分讨论求解.
(2)解法一:根据“对,均成立”,则成立,得到,则结合(1),时,,在上增,将“对,均成立”转化为求解即可.
【详解】(1)因为
所以,
令解得,.
若即,
则对成立,函数在上单调,符合题目要求;
若即,
当时,,当时,,
函数在上不单调,不符合题目要求;
若即,
当时,,当时,,
函数在上不单调,不符合题目要求.
综上,若在上是单调函数,则取唯一值:.
(2)解法一:已知“对,均成立”,
取得,
则,,则时,,在上增,
“对,均成立”等价于,
,
与取交集,得,
所以的取值范围是
解法二:根据(1),若,则在上单减,
“在区间上,恒成立”等价于,不成立;
若即,则时,,函数在上单减,
在区间上,,“在区间上,恒成立”不成立;
若即,则时,,函数在上单增,
在区间上,,
“在区间上,恒成立” ,
解得,与相交取交集,得;
若即,则时,,时,,
函数在上递增,在上递减,
在区间上,,
“在区间上,恒成立”.
设,
则,在上递增,,
则函数在上递增,,
因此时,均不成立.
综上,所求的取值范围是
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及导数与不等式恒成立问题,还考查了分类讨论思想和运算求解的能力,属于难题.
四川省遂宁市射洪中学校2023-2024学年高二上学期第三次学月考试数学试题(Word版附解析): 这是一份四川省遂宁市射洪中学校2023-2024学年高二上学期第三次学月考试数学试题(Word版附解析),共19页。试卷主要包含了考试结束后,将答题卡交回, 已知等差数列,其前项和为,则, 已知,,,则等内容,欢迎下载使用。
2023届四川省遂宁市射洪市高三5月模拟数学(理)试题含解析: 这是一份2023届四川省遂宁市射洪市高三5月模拟数学(理)试题含解析,共21页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022届四川省遂宁市射洪中学校高三下学期高考适应性考试数学(理)试题含解析: 这是一份2022届四川省遂宁市射洪中学校高三下学期高考适应性考试数学(理)试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。