2021-2022学年四川省遂宁市高二上学期期末数学（文）试题含解析

2021-2022学年四川省遂宁市高二上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．经过两点的直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角.

【详解】因为,所以过两点的直线斜率为,

所以倾斜角为.

故选：A.

2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（       ）

A．至少有一个黑球与都是红球

B．至少有一个红球与都是红球

C．至少有一个红球与至少有1个黑球

D．恰有1个红球与恰有2个红球

【答案】D

【分析】A. 至少有一个黑球与都是红球,是对立关系，因此能判断A不符合要求；B. 至少有一个红球包括两球都是红球，二者不互斥，不符合要求；C. 至少有一个红球与至少有1个黑球，含有同时发生的情况，不符合要求；D. 恰有1个红球与恰有2个红球，二者符合题目要求.

【详解】A. 至少有一个黑球与都是红球,二者不会同时发生，是互斥关系，任取2个球时，这两个事件又一定会有一个发生，因此二者又是对立事件，不符合题目要求；

B. 至少有一个红球包括两球都是红球，因此二者会同时发生，不是互斥关系，不符合要求；

C. 至少有一个红球与至少有1个黑球，二者都含有恰有一个红球和一个黑球的情况，会有同时发生的可能，不是互斥关系，不符合要求；

D. 恰有1个红球与恰有2个红球，二者不会同时发生，是互斥事件，但二者有可能都不会发生，比如取到的两球都是黑球，故二者不是对立事件，符合题目要求.

故选：D

3．已知直线和直线互相平行，则等于（       ）

A． B． C．1 D．0

【答案】A

【分析】由两直线的一般方程平行得，在进行检验,即可得到答案.

【详解】直线和直线互相平行，，经检验两种情况都满足条件.

故选：A.

4．设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，且，，下列命题正确的是（       ）

A．如果，那么 B．如果，那么

C．如果，那么 D．如果，那么

【答案】C

【分析】根据已知条件判断线线、线面以及面面位置关系，可判断ABD选项的正误，利用面面垂直的判定定理可判断C选项的正误.

【详解】对于A选项，因为，，，则、平行或相交，A错；

对于B选项，因为，，，则、平行或异面，B错；

对于C选项，因为，，，由面面垂直的判定定理可知，C对；

对于D选项，因为，，，则或或与相交，D错.

故选：C.

5．过点可以向圆引两条切线，则的范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】过点可以向圆引两条切线，即点在圆外，即到圆心的距离大于圆的半径，则把圆的方程化为标准方程后，找出圆的圆心和半径，利用两点间的距离公式求出点到圆心的距离，由且，即可求解.

【详解】把圆的方程化为标准方程得，即圆心坐标为，半径为

，

点到圆心的距离为，

∵在圆外时，过点可以向圆引两条切线，

∴，即,且，

解得，

故选：.

6．若变量x，y满足约束条件，则的最小值为（       ）

A．-1 B．-2 C．-3 D．-4

【答案】A

【分析】作出可行域，利用数形结合分析得解.

【详解】由约束条件，作可行域如图中阴影部分，

当直线经过点时，此时最小，

目标函数的最优解为点，联立，解得，

所以的最小值为．

故选：A.

7．在直三棱柱中，已知，AB= BC=2， ，则异面直线所成的角为（     ）

A．30° B．60° C．75° D．90°

【答案】B

【分析】作出异面直线所成的角，结合三角形的知识求得角的大小.

【详解】画出图象如下图所示，由于，

所以是异面直线所成的角，

，，

所以三角形是直角三角形，，

，

在直角三角形中.

故选：B

8．甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（       ）

A．从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定

B．从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力

C．从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好

D．从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好

【答案】D

【分析】由图找出甲乙打靶的成绩，分别计算出甲乙的平均数、方差、中位数，结合折线图逐项分析可得答案.

【详解】由图可知，

甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，

甲的平均数为，

甲的方差为

乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，

乙的平均数为，

乙的方差为，

所以，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A正确；

从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B正确；

甲打靶的成绩为2，4，6， 7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5，

乙打靶的成绩为5，6，6，7， 7，7，7，8，8， 9，中位数为7，

甲9环及9环以上的次数3次，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C正确；

甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7，

从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D错误.

故选：D.

9．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】由题意分析得知直线经过圆心求出b；由直线与直线垂直求出k即可.

【详解】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，

所以直线经过圆心，

且直线与直线垂直，

所以解得：，

故选：A.

10．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先确定这是几何概型问题，可设甲乙分别先到的时间，建立他们之间不需要等待的关系式，作出符合条件的可行域，并求其面积，根据几何概型的概率公式计算可得答案.

【详解】设甲、乙到达停泊点的时间分别是x、y点，

则甲先到乙不需要等待须满足 ，乙先到甲不需要等待须满足，

作出不等式组 表示的可行域如图（阴影部分）：

正方形的面积为 ，阴影部分面积为 ，

故这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率 ，

故选：B

11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若四棱锥为阳马，已知面，，四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，将四棱锥补形为正方体，则四棱锥外接球的直径即为正方体的体对角线长，最后根据球的面积公式即可得答案.

【详解】解：由题意，因为面，所以，，又，，所以将四棱锥放置在如图所示的正方体中，

则正方体的外接球即为四棱锥的外接球，

所以四棱锥的外接球直径为，

所以球的表面积为，

故选：C.

12．已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若方程有两个不相等实根，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意得函数为奇函数，进而将问题转化为有两个不相等实根，再根据几何意义，数形结合得圆心到直线的距离满足，且，进而得答案.

【详解】解：因为函数的图象关于点对称，

所以函数的图象关于点对称，即函数为奇函数，

因为方程有两个不相等实根，

所以方程有两个不相等实根，

因为是定义在上的增函数，

所以有两个不相等实根，即与有两个不同交点，

由于表示圆心为，半径为的轴即上方的半圆，

所以数形结合，得圆心到直线的距离满足，且

即，解得.

所以实数的取值范围为.

故选：B

二、填空题

13．直线：恒过定点___.

【答案】

【分析】将直线方程转化为点斜式方程即可得答案.

【详解】解：将直线方程化为点斜式方程得，

所以直线过定点

故答案为：

14．某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为01，02，…，80的80个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为03，13，…则样本中的最后一个个体编号是_______.

【答案】73

【分析】以系统抽样抽取样本规则解之即可.

【详解】由抽取样本中的个体编号依次为03，13，…，可知抽取的两个相邻号码之差为10.说明样本以10个为一组，被分成了8组.抽出的编号依次为：3，13，23，33，43，53，63，73.

则样本中的最后一个个体编号是73.

故答案为：73

15．已知直线：，点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】问题转化为求直线与以为直径的圆有公共点时求的取值范围即可.

【详解】问题转化为求直线与以为直径的圆有公共点时，求的取值范围，

所以圆心到直线的距离为，

解得.

故答案为：.

16．如图，在平面四边形ABCD中，设AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体.使⊥平面BCD，则在四面体中下列结论正确的是____. ①；②；③与平面所成的角为45°；④四面体的体积为.

【答案】②③

【分析】由已知根据线线垂直的判定方法，可证明①的正误，利用线面垂直的性质，可以判断②的对错，由与平面所成的角为知③的真假；求出四面体的体积即可判断④的真假．

【详解】假设， ，，平面，

∴   平面，平面，∴,与已知矛盾，∴不垂直，故①错误；由平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又平面，又由，，可得，因为，则平面，又平面，所以，，故②正确；

由平面，则为直线与平面所成的角的平面角，

∵，，△为等腰直角三角形，，则与平面所成的角为，知③正确；

四面体的体积，则④错误.

故答案为：②③.

三、解答题

17．已知ABC的顶点．

(1)求高所在直线的方程；

(2)求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）先求出直线的斜率，再根据垂直关系求出高所在直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；（2）先用两点间距离公式求出的长，再利用点到直线距离公式求出高的长度，进而求出面积.

(1)

依题意可得直线的斜率

由得：，，

故直线的方程为：，即：．

(2)

依题意直线的方程为，，

点到直线的距离

所以

18．某小型企业甲产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率）？

相关公式：，.

【答案】（1）；（2）12万元的毛利率更大

【分析】（1）根据题意代入数值分别算出与即可得解；

（2）分别把与代入线性回归方程算出再算出毛利率即可得解.

【详解】（1）由题意，.

，

，

，

故y关于x的线性回归方程为.

（2）当时，，对应的毛利率为，

当时，，对应的毛利率为，

故投入成本12万元的毛利率更大.

【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.

19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，点在线段上且.

(1)证明直线平面;

(2)证明直线平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）作辅助线，即连接交于点，连接,利用△∽△及，证明，利用线面平行的判定定理证明即可；

（2）通过计算证明，由平面得到，利用线面垂直的判定定理证明即可.

(1)

证明：连接交于点，连接,

∵，,

∴△∽△ ,即，

又∵，

∴

∴

又∵、

∴   

(2)

∵平面，平面，

∴，

又∵，且是直角梯形，

∴，即，

∴，

又∵，且平面，

∴平面.

20．某中学举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：

(1)求样本容量n、抽取样本成绩的中位数及分数在内的人数；

(2)若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，求至少有一人分数在内的概率．

【答案】(1)，中位数为73，4人

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图可知组的频率等于该组的频数除以总的样本量，各个组的频率之和为，根据茎叶图的特点直接可获得中位数所在位置；

（2）总的事件总数是从分数在和内的学生中任选两人，待求的是至少有一人分数在内，则分别计算出总的基本事件个数和至少有一人分数在内的基本事件个数即可，然后根据概率的定义求出即可.

(1)

分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在内同样有2人.

由

解得：

根据茎叶图可知：抽测成绩的中位数为

分数在之间的人数为：

综上可得：样本容量，中位数为73，分数在内的人数为人

(2)

设“若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，至少有一人分数在内”为事件.

将内的人编号为；内的2人编号为

则在和内的任取两人的基本事件为：，共15个

其中，至少有一人分数在内的基本事件：，共9个.

故所求的概率得：

21．如图，三棱柱中，底面为正三角形，平面，且，是的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是，若存在，求长；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）由线面垂直的判定定理得到平面再由面面垂直的判定定理可得答案；

（2）利用等体积转换可得答案.

(1)

三棱柱中，平面，则，

底面为正三角形，且是的中点，则，

，则平面，

平面，平面平面.

(2)

，

底面为边长为2的正三角形，是的中点，，

, ，解得，

即，

在侧棱上是存在一点，且，使得三棱锥的体积是.

22．①圆心C在直线上，圆C过点B (1，5)；②圆C过直线和圆的交点；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆C经过点A(6，0)，且    .

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点P (0，1)的直线与圆C交于M，N两点

①求弦M N中点Q的轨迹方程；

②求证为定值.

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)①；②证明见解析

【分析】（1）选①，待定系数法可解；选②，利用过直线和圆交点的直线系方程可得；

（2）①利用，数量积为0直接求轨迹方程；②利用韦达定理代换后化简可证，注意讨论斜率不存在的情况.

(1)

选①条件：设所求圆的方程为，

由题意得解得，，，

所以所求圆的方程是

选②条件：因为圆C过直线和圆的交点，所以设圆C的方程为，

因为圆C过点A（6，0），将点A的坐标代入方程，解得，

所以圆C的方程是，即

(2)

①设，圆心C（3，2）

       由题意可知：得

②当直线的斜率不存在时，直线：交圆C得，

当直线的斜率存在时，设直线：，设

则

消元得，其中

则，，

，

综上所述：＝－3∴为定值.