四川省遂宁市2021-2022学年高二下期期末考试——数学（文）

2023届第四学期期末教学水平监测

数学（文科）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）

1．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 

C．第三象限 D．第四象限

2．命题“，使得”的否定是

A．，使得       B．，使得

C．，都有        D．，都有

3．下列求导运算正确的是

A．               B．

C．                  D．

4．用反证法证明命题“如果可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为

A．a，b都不能被5整除          B．a，b都能被5整除

C．a，b不都能被5整除          D．a不能被5整除

5．如图，在一组样本数据，，，，

的散点图中，若去掉后，则下列说法正确的为

A．样本相关系数r变小 

B．残差平方和变大

C．相关指数变小 

D．自变量x与因变量y的相关程度变强

6．已知函数，则的图象在点处的切线的斜率为

A．-3            B．3           C．-5            D．5

7．已知圆与抛物线的准线相切，则

A．            B．          C．4             D．8

8．设函数在定义域内可导，的图象如图

所示，则其导函数的图象可能是

A．       B．        的图象

C．     D．      

9．考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出，其内容是：任意正整数s，如果s是奇数就乘3加1，如果s是偶数就除以，如此循环，最终都能够得到1，下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入s的值为5，则输出i的值为

A．6 B．5

C．4 D．3

10．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为

A．3           B．5          C．        D．13

11．定义域为R的可导函数的导函数为，满足

且，则不等式的解集为

A.        B.      C．      D．

12．已知双曲线与直线交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为，曲线C的左、右焦点分别为．若,则下列说法正确的是

A．

B．双曲线C的渐近线方程为             

C．若，则的面积为          

D．曲线的离心率为

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）

注意事项：

1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．若为虚数单位，复数满足，则的虚部为   ▲   .

14．若过点的双曲线的渐近线为，则该双曲线的标准方

程是   ▲   .

15．甲､乙､丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我没去过A城市；

乙说：我去过的城市比甲多，但没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断甲去过的城市为   ▲  

16．已知，若在区间上存在，使得

成立，则实数a的取值范围是   ▲   ．

三、解答题（17题10分，18至22每小题12分，共计70分）

17. （10分）

在平面直角坐标系xOy中，过点P (0,2)的直线的参数方程为

（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立

极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线与直线交于两点，求的值．

18. （12分）

设，其中，．

（1）若，且为真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求a的取值范围．

19．（12分）

已知函数在和处取得极值．

（1）求a，b的值；

（2）若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围．

20.（12分）

某汽车总公司计划在S市的A区开设某种品牌的汽车专卖分店.为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.

（1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；

（2）如果总公司最终决定在A区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该种品牌的汽车，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买这种汽车.依据小概率值的独立性检验，试问两个店的顾客下单率有无差异？

参考公式：，

.

21. （12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．

（1）求C的方程；

（2）A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为 且，求证直线AB过定点．

22.（12分）

已知函数.

（1）若求的单调区间；

（2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围．

数学（文科）试题参考答案及评分意见

一、选择题(5×12=60分)

二、   填空题（每小题5分，共20分）

13．           14．           15．B         16．

三、解答题（共70分）

17．（10分）

（1）对于直线，消去 t 得 ；………………………………2分

由于 ，曲线C的方程为 ，

所以，即 ；………………………………………………4分

（2）联立方程，得 ，……………………………………………6分

设和对应的参数为和，由韦达定理 ，………………8分

以及t的几何意义得：

== =………………………………10分

18．（12分）

（1）当时，，……………………………………………………………2分

即p为真命题时，实数x的取值范围是

同理q为真命题时，实数x的取值范围是………………………………………4分

因为为真命题，所以实数x的取值范围为；………………6分

（2）………………………………………………………8分

因为p是q的充分不必要条件，所以包含于

所以，

所以a的取值范围是………………………………………………………………12分

19.（12分）

解：（1），…………………………………………………………… 1分

由题意，得则解得……………4分

经检验，此时满足在和处取得极值，符合题意.5分

（2）令,则原题意等价于图象与轴有三个交点．

∵…………………………………………………7分

∴由,解得或；由,解得．

∴在时取得极大值；在时取得极小值

……………………………………………………………………………………………10分

依题意得,解得．

故的取值范围为．……………………………………………………………12分

20.（12分）

（1）由上表数据可知，，

，……………………………………………………………2分

，

，

设关于的线性回归方程为，

则，，

∴y关于的线性回归方程为；………………………………………6分

（2）设零假设为：两个分店顾客下单率无差异，则由题意可知2×2列联表如图所示：

…………………………………11分

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，所以两个分店下单率没有差异. ………………………………………………………………………12分

21.（12分）

（1）解：设C上任意一点P的坐标为，则有：，…………1分

当时，有；

当时，有，

所以C的方程为或．………………………………………5分

（2）证明：据题意知A、B只能在抛物线上且直线AB的斜率存在，设AB的直线方程为，

联立方程，整理得，

所以，且，………………………………………………8分

又由，即，

由

解得，……………………………………………………………………………11分

故直线的方程为，所以直线恒过定点．………………………12分

22.（12分）

（1）的定义域为，

由求导得，………………………………………1分

令，得，解得，……………………3分

故在上单调递增.

在上单调递减…………………………………………………………5分

（2）的定义域为，求导得，

有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根

，，，……………………………………7分

此时不等式恒成立，等价于对恒

成立，可化为对恒成立，

令，则，令

得得或（舍去）…………………………………9分

，

故…………………10分

在恒成立，在上单调递减，

，.     

故实数的取值范围是.……………………………………………………12分