高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动2 简谐运动的描述学案设计

这是一份高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动2 简谐运动的描述学案设计，共15页。

一、简谐运动的振幅、周期和频率
如图甲所示为一弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′及B、B′点关于O点对称。图乙为先后两次分别从A、B两点释放经过平衡位置开始计时所得的振动图像。
(1)图乙中的a、b振动图像分别是从哪个点开始释放的？两次振动图像中的物理量有什么共同点和不同点？
(2)从小球经过O点至下一次再经过O点的速度方向是否相同？这段时间是否为一个周期？
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1．振幅
(1)概念：振动物体离开平衡位置的____距离。
(2)意义：振幅是表示________________大小的物理量，常用字母________表示。振动物体运动的范围是振幅的________。
2．周期和频率
(1)全振动：一个________的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是________的。
(2)周期：做简谐运动的物体完成一次____________所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是________(s)。
(3)频率：物体完成全振动的__________与________________之比，数值等于_______________的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是________，简称________，符号是________。
(4)周期和频率的关系：f＝________。周期和频率都是表示物体________________的物理量，周期越小，频率越________，表示振动越________。
(5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成________、与频率成________，它们间的关系式为ω＝________，ω＝________。
1．对全振动的理解
(1)振动过程：如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A。
(2)完成一次全振动，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)完成一次全振动历时一个周期，通过的路程是振幅的4倍。
2．简谐运动中位移、路程、周期与振幅的关系
(1)位移和振幅
①最大位移的数值等于振幅。
②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
③位移是矢量，振幅是标量。
(2)路程与振幅
①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅，即4A。
②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅，即2A。
(3)周期与振幅
一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。
(1)在简谐运动的过程中，振幅是不断变化的。( )
(2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，它是标量。( )
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。( )
(4)振幅越大，简谐运动的周期就越大。( )
(5)振动物体eq \f(T,4)内的距程一定等于振幅A。( )
例1 (2022·江苏省如皋中学高二阶段练习)如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，小球经过A点时开始计时，经过2 s首次到达B点，则( )
A．从O→B→O小球做了一次全振动
B．振动周期为2 s，振幅是10 cm
C．从B开始经过6 s，小球通过的路程是60 cm
D．从O开始经过3 s，小球处在平衡位置
例2 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知( )
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
eq \f(1,4)个周期内路程与振幅的关系
1．振动物体在eq \f(1,4)个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，eq \f(1,4)个周期内的路程才等于一个振幅。
2．当振动物体初始时刻不在平衡位置或最大位移处时，若振动物体开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在eq \f(1,4)个周期内的路程大于A，若振动物体开始时运动的方向远离平衡位置，则振动物体在eq \f(1,4)个周期内的路程小于A。
二、简谐运动的相位、表达式
如图所示，两个由完全相同的弹簧和小球组成的振子悬挂在一起，试分析以下问题：
(1)将两个小球向下拉相同的距离后同时放开，可以看到什么现象？
(2)若当第一个小球到达平衡位置时再释放第二个，可以看到什么现象？
(3)在问题(2)中，两个小球振动的位移随时间变化的表达式x＝Asin(ωt＋φ)中哪个量不同？相差多少？
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1．相位
(1)概念：物理学中把(________)叫作相位，其中φ是t＝________时的相位，叫初相位，或初相。
(2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的________。
(3)相位差：两个具有相同______的简谐运动的相位的差值，Δφ＝________(φ1>φ2)。
2．简谐运动的表达式
x＝Asin(ωt＋φ0)＝Asin(eq \f(2π,T)t＋φ0)，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的________，A为________，ω为圆频率，T为简谐运动的________，φ0为__________________。
1．相位
相位ωt＋φ代表了做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的状态。它是一个随时间变化的量，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。
2．相位差
频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；
若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。
3．简谐运动的表达式x＝Asin(eq \f(2π,T)t＋φ)
(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性。当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝eq \f(2nπ,ω)＝nT，振子位移相同，每经过一个周期T完成一次全振动。
例3 (2023·江苏省常熟中学高二期中)如图所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐振动，振幅为A＝10 cm，振动周期为0.2 s，t＝0时振子从平衡位置O开始向a运动，选向左为正方向。
(1)写出振子振动方程；
(2)求经过2.1 s振子通过的路程。
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例4 有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10－3sin(4πt＋eq \f(π,2)) mB．x＝8×10－3sin(4πt－eq \f(π,2)) m
C．x＝8×10－3sin(πt＋eq \f(3π,2)) mD．x＝8×10－3sin(eq \f(π,4)t＋eq \f(π,2)) m
三、简谐运动的周期性与对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。
例5 弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是( )
A.eq \f(1,3) s B.eq \f(8,15) s
C．1.5 s D．1.6 s
1．周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。
2．对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，也会形成多解问题。
2 简谐运动的描述
[学习目标] 1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义。2.了解初相和相位差的概念以及相位的物理意义(难点)。3.知道简谐运动的表达式及各物理量的物理意义(重点)。4.能依据简谐运动的表达式描绘振动图像，会根据简谐运动图像写出其表达式(重难点)。
一、简谐运动的振幅、周期和频率
如图甲所示为一弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′及B、B′点关于O点对称。图乙为先后两次分别从A、B两点释放经过平衡位置开始计时所得的振动图像。
(1)图乙中的a、b振动图像分别是从哪个点开始释放的？两次振动图像中的物理量有什么共同点和不同点？
(2)从小球经过O点至下一次再经过O点的速度方向是否相同？这段时间是否为一个周期？
答案 (1)a图像是从A点开始释放的，b图像是从B点开始释放的；弹簧振子两次形成的简谐运动具有相同的周期，从B点释放时离平衡位置的最大距离比从A点释放时的最大距离更大。
(2)不相同，两次速度方向相反。这段时间仅为半个周期。若经过一个周期，小球一定从同一方向再次经过O点。
1．振幅
(1)概念：振动物体离开平衡位置的最大距离。
(2)意义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示。振动物体运动的范围是振幅的两倍。
2．周期和频率
(1)全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。
(3)频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。
(4)周期和频率的关系：f＝eq \f(1,T)。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。
(5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成反比、与频率成正比，它们间的关系式为ω＝eq \f(2π,T)，ω＝2πf。
1．对全振动的理解
(1)振动过程：如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A。
(2)完成一次全振动，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)完成一次全振动历时一个周期，通过的路程是振幅的4倍。
2．简谐运动中位移、路程、周期与振幅的关系
(1)位移和振幅
①最大位移的数值等于振幅。
②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
③位移是矢量，振幅是标量。
(2)路程与振幅
①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅，即4A。
②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅，即2A。
(3)周期与振幅
一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。
(1)在简谐运动的过程中，振幅是不断变化的。( × )
(2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，它是标量。( √ )
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。( × )
(4)振幅越大，简谐运动的周期就越大。( × )
(5)振动物体eq \f(T,4)内的距程一定等于振幅A。( × )
例1 (2022·江苏省如皋中学高二阶段练习)如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，小球经过A点时开始计时，经过2 s首次到达B点，则( )
A．从O→B→O小球做了一次全振动
B．振动周期为2 s，振幅是10 cm
C．从B开始经过6 s，小球通过的路程是60 cm
D．从O开始经过3 s，小球处在平衡位置
答案 C
解析 小球从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B是半个全振动，用时2 s，所以振动周期是4 s，振幅A＝eq \f(1,2)eq \x\t(AB)＝10 cm，B错误；因为t＝6 s＝1eq \f(1,2)T，所以小球经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，小球处在最大位移处(A或B)，D错误。
例2 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知( )
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
答案 C
解析 由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；质点在1 s即eq \f(1,4)个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t＝0时质点在正向最大位移处，0～3 s为eq \f(3,4)T，则质点通过的路程为3A＝6 cm，故C正确；振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误。
eq \f(1,4)个周期内路程与振幅的关系
1．振动物体在eq \f(1,4)个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，eq \f(1,4)个周期内的路程才等于一个振幅。
2．当振动物体初始时刻不在平衡位置或最大位移处时，若振动物体开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在eq \f(1,4)个周期内的路程大于A，若振动物体开始时运动的方向远离平衡位置，则振动物体在eq \f(1,4)个周期内的路程小于A。
二、简谐运动的相位、表达式
如图所示，两个由完全相同的弹簧和小球组成的振子悬挂在一起，试分析以下问题：
(1)将两个小球向下拉相同的距离后同时放开，可以看到什么现象？
(2)若当第一个小球到达平衡位置时再释放第二个，可以看到什么现象？
(3)在问题(2)中，两个小球振动的位移随时间变化的表达式x＝Asin(ωt＋φ)中哪个量不同？相差多少？
答案 (1)两个小球在相同位置同时释放，除振幅和周期都相同外，还总是向同一方向运动，同时经过平衡位置，并同时到达同一侧的最大位移处。两个小球的振动步调完全一致。
(2)当第一个小球到达最高点时，第二个刚刚到达平衡位置，而当第二个小球到达最高点时，第一个已经返回平衡位置了。与第一个小球相比，第二个小球总是滞后eq \f(1,4)个周期，或者说总是滞后eq \f(1,4)个全振动。
(3)两振子A、ω相同，但φ不同，且(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝eq \f(1,4)×2π，即φ1－φ2＝eq \f(π,2)。
1．相位
(1)概念：物理学中把(ωt＋φ)叫作相位，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。
(2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。
(3)相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
2．简谐运动的表达式
x＝Asin(ωt＋φ0)＝Asin(eq \f(2π,T)t＋φ0)，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。
1．相位
相位ωt＋φ代表了做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的状态。它是一个随时间变化的量，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。
2．相位差
频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；
若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。
3．简谐运动的表达式x＝Asin(eq \f(2π,T)t＋φ)
(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性。当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝eq \f(2nπ,ω)＝nT，振子位移相同，每经过一个周期T完成一次全振动。
例3 (2023·江苏省常熟中学高二期中)如图所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐振动，振幅为A＝10 cm，振动周期为0.2 s，t＝0时振子从平衡位置O开始向a运动，选向左为正方向。
(1)写出振子振动方程；
(2)求经过2.1 s振子通过的路程。
答案 (1)x＝10sin 10πt(cm) (2)420 cm
解析 (1)设振子振动方程为x＝Asin eq \f(2π,T)t(cm)
代入数据得x＝10sin 10πt(cm)
(2)时间t＝2.1 s＝10T＋eq \f(1,2)T
经过2.1 s振子通过的路程s＝(4×10＋2)A＝420 cm。
例4 有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10－3sin(4πt＋eq \f(π,2)) m
B．x＝8×10－3sin(4πt－eq \f(π,2)) m
C．x＝8×10－3sin(πt＋eq \f(3π,2)) m
D．x＝8×10－3sin(eq \f(π,4)t＋eq \f(π,2)) m
答案 A
解析 由题可知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，可得ω＝eq \f(2π,T)＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初始时位于正向最大位移处，初相位φ0＝eq \f(π,2)，得弹簧振子的振动方程为x＝8×10－3sin(4πt＋eq \f(π,2)) m，A正确。
三、简谐运动的周期性与对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。
例5 弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是( )
A．eq \f(1,3) s B．eq \f(8,15) s
C．1.5 s D．1.6 s
答案 A
解析 假设弹簧振子在B、C之间振动，M点在O点的右侧，如图甲，若小球开始先向左振动，小球的振动周期为T＝eq \f(0.3＋\f(0.2,2),3)×4 s＝eq \f(1.6,3) s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t＝eq \f(1.6,3) s－0.2 s＝eq \f(1,3) s。如图乙，若小球开始先向右振动，小球的振动周期为T＝4×(0.3＋eq \f(0.2,2)) s＝1.6 s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A正确。
1．周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。
2．对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，也会形成多解问题。