2023年四川省自贡市中考数学试卷及答案解析

2023年四川省自贡市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，数轴上点表示的数是，，则点表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  自贡恐龙博物馆今年“五一”期间接待游客约人人数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图中六棱柱的左视图是(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  如图，某人沿路线行走，与方向相同，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列说法正确的是(    )

A. 甲、乙两人次测试成绩的方差分别是，，则乙的成绩更稳定
B. 某奖券的中奖率为，买张奖券，一定会中奖次
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D. 是不等式的解，这是一个必然事件

8.  如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  第届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家小亮离家距离与时间之间的关系如图所示下列结论错误的是(    )

 

A. 小亮从家到羽毛球馆用了分钟
B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米
C. 报亭到小亮家的距离是米
D. 小亮打羽毛球的时间是分钟

11.  经过，两点的抛物线为自变量与轴有交点，则线段长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  计算： ______ ．

14.  请写出一个比小的整数______ ．

15.  化简： ______ ．

16.  端午节早上，小颖为全家人蒸了个蛋黄粽，个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是______ ．

17.  如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是______ ．

18.  如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点是线段上一动点，点是直线上的一动点，动点，，连接，，当取最小值时，的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且求证：．

21.  本小题分
某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车辆，还剩人没有座位；租用辆，还空个座位求该客车的载客量．

22.  本小题分
某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的名学生课外读书数量单位：本数据如下：，，，，，，，，，，，．

补全学生课外读书数量条形统计图；
请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；
该校有名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于本的学生人数．

23.  本小题分
如图，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，，．

将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；
将绕顶点逆时针旋转如图，求的长．

24.  本小题分
如图，点在反比例函数图象上一次函数的图象经过点，分别交轴，轴于点，，且与的面积比为：．
求反比例函数和一次函数的解析式；
请直接写出时，的取值范围．

25.  本小题分
为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

测量坡角
如图，后山一侧有三段相对平直的山坡，，，山的高度即为三段坡面的铅直高度，，之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图，同学们将两根直杆，的一端放在坡面起始端处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端用细线系小重物，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡坡角的度数请直接写出，之间的数量关系．
测量山高
同学们测得山坡，，的坡长依次为米，米，米，坡角依次为，，；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的如图，量得，求山高，结果精确到米
测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图，，在学校操场上，将直杆置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点，，共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米已知杆高为米，求山高结果用不含，的字母表示
 

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线解析式及，两点坐标；
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，点表示的数是，
，
点在点左侧，
点表示的数为：，
故选：．
结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．
本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用科学记数法的法则解答即可．
本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，熟练掌握科学记数法的法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题可得，六棱柱的左视图是两个相邻的长相等的长方形，如图：
．
故选：．
根据从左往右看水平放置的六棱柱，所得的图形进行判断即可．
本题主要考查了简单几何体的三视图，解题时注意：从左往右看几何体所得的图形是左视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
．
故选：．
依据题意，与方向相同，可得，从而可得解．
本题主要考查了平行线的“两直线平行，内错角相等”性质，解题时需要熟练掌握，本题属于简单题．
 

5.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，
，
点在第一象限，
的坐标为．
故选：．
由正方形的性质可得，而点在第一象限，所以的坐标为．
本题考查正方形的性质和坐标与图形的性质，求出、的长即可解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：图形既是中心对称图形又是轴对称图形，
故选：．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，，甲的成绩更稳定，故本选项不符合题意；
B、某奖券的中奖率为，则买张奖券，不一定会中奖，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查，故本选项不符合题意；
D、不等式的解集是，是这个不等式的解，是必然事件，故本选项符合题意；
故选：．
根据必然事件，随机事件，方差的意义，调查方式，分别进行判断即可．
本题考查了必然事件，随机事件，方差，抽样调查，全面调查，掌握这些定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
故选：．
由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧所对的圆周角相等可得，进而可计算．
本题主要考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
设这个正多边形为正边形，则，
解得，
经检验是原方程的解，
即这个正多边形是正十二边形，
故选：．
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再根据正多边形内角的嗯就是方法列方程求解即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角的计算方法是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了分钟，故A选项不符合题意；
B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：千米分米分，故B选项不符合题意；
C、由图象知报亭到小亮家的距离是千米，即米，故C选项不符合题意；
D、由图象知小亮打羽毛球的时间是分钟，故D选项符合题意；
故选：．
根据图象逐个分析即可．
本题考查了函数图象，观察图象，从图象中获取信息是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：经过，两点的抛物线为自变量与轴有交点，
，，
，，
，
，
，
解得，
，





，
故选：．
根据二次函数的性质可知，再根据经过，两点的抛物线为自变量与轴有交点，可知，然后可以得到和的关系，求出和的值，再根据点和点的坐标，即可计算出线段长．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出和的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：作的外接圆，连接，，，取的中点，连接．

，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当与相切时，的值最大，此时的值最大，
是等边三角形，，
，
，
是切线，是半径，
，
，
过点作于点，于点，于点．
，
，
，
∽，
，
设，，则有，，
，，
解得，，，
，
．
故选：．
作的外接圆，连接，，，取的中点，连接证明，推出点在以为圆心，为半径的圆上运动，当与相切时，的值最大，此时的值最大．
本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据合并同类项法则，合并同类项即可．
本题考查同类项，合并同类项，掌握合并同类项法则是正确解答的前提．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，，而，
，
比小的整数有答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
将分子因式分解后，利用分式的基本性质约分即可．
本题主要考查了分式的约分，利用因式分解法将分子变形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：把个蛋黄粽分别记为、，个鲜肉粽分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有种，
即、、、、、、、，
爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，由题意得弧的长为，
设弧所对的圆心角为，则
即，
解得，
粘贴部分所对应的圆心角为，
圆锥上粘贴部分的面积是，
故答案为：．
求出弧长为，半径为的扇形所对应的圆心角度数，进而求出粘贴部分的圆心角度数，利用扇形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积以及弧长的计算方法是正确解答的前提．
 

18.【答案】 

【解析】解：直线与轴，轴分别交于，两点，
，，
作点关于轴的对称点，把点向右平移个单位得到，
作于点，交轴于点，过点作交轴于点，则四边形是平行四边形，

此时，，
有最小值，
作轴于点，则，，
，
，
，
，
即，
则，
设直线的解析式为，
则，，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得，
即，
过点作轴于点，

直线与轴的交点为，则，
，
，
，
即的最小值是，
故答案为：．
作出点，作于点，交轴于点，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点的坐标，过点作轴于点，此时的最小值是的长，据此求解即可．
本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】利用绝对值的意义，零指数幂的意义和有理数的乘方法则化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幂的意义和有理数的乘方法则，熟练掌握实数法则与性质是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
 

21.【答案】解：设该客车的载客量为人，
根据题意得：，
解得：．
答：该客车的载客量为人． 

【解析】设该客车的载客量为人，根据去研学的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：
，
本次所抽取学生课外读书数量的众数为本，
中位数为本，
平均数为本，
名，
答：本学期开学以来课外读书数量不少于本的学生人数为名． 

【解析】根据题意直接画图；
根据直接写出即可；
先求课外读书数量不少于本的学生人数所占的比例，再乘以．
本题主要考查了学生平均数、众数、中位数、条形统计图等统计的知识，难度不大，认真作答即可．
 

23.【答案】解：以为圆心，长为半径画圆，连接交于，延长交圆于，
是等腰直角三角形，是中点，
平分，，
是等腰直角三角形，
是中点，
，
、距离的最小值是，、距离的最大值是．
连接，，作交延长线于，
是等腰直角三角形，是中点，
，
同理：，
绕顶点逆时针旋转，
，
，
，
，
，
． 

【解析】以为圆心，长为半径画圆，连接交于，延长交圆于，由等腰直角三角形的性质，推出平分，，是中点，，即可求出、距离的最小值和最大值；
连接，，作交延长线于，由等腰直角三角形的性质推出，，由旋转的性质得到，由直角三角形的性质得到，，由勾股定理即可求出．
本题考查等腰直角三角形，勾股定理，旋转的性质，关键是以为圆心，的长为半径作辅助圆；通过作辅助线构造直角三角形．
 

24.【答案】解：点在反比例函数图象上，
，
反比例函数为，
与的面积比为：，，
或，
把，代入得，
解得，
一次函数为，
把，代入得，
解得，
一次函数为，
综上，一次函数的解析式为或；

当时，联立，解得或，
由图象可知，时，的取值范围或；
当时，联立，解得或，
由图象可知，时，的取值范围或；
综上，当时，的取值范围或；当时，的取值范围或． 

【解析】由与的面积比为：，即可求得或，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
两解析式联立，解方程组求得交点坐标，观察图象即可求得时，的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：铅直线与水平线垂直，
，
故，之间的数量关系为：；
在中，
米，，
，
，
在中，
，，，
，
，
，
解得米，
在中，
米，，
米，
在中，
米，，
，
米，
米，
答：山高约为米；
由题意，得，，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
米，
，
解得，
山高米，
答：山高为米． 

【解析】根据铅直线与水平线垂直解答即可；
利用正弦函数定义，得到和中角所对的直角边与斜边的比相等，即可求出，再分别在和中求出，，从而可求出山高；
用，表示出的正切，用，表示出的正切，进而可用表示出和，利用列方程求出，进而求出山高．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题中还可利用相似，熟练运用三角函数表示直角三角形中边之间的关系是解题的关键．
 

26.【答案】解：把点的坐标代入解析式得，
抛物线的解析式为，
点的坐标为，点的坐标为．
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
若为对角线，设的中点为，则根据中点坐标公式可得的坐标为，
设点的坐标为，则有
解得，，此时点的坐标为，
若以为对角线，设的中点为，则的坐标为，
设点的坐标为，则有，
解得，，此时点的坐标为，
若以为对角线，设的中点为，则点的坐标为，
设点的坐标为，则有，
解得，，此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或或，
存在，理由如下：
，
，
不可能出现在直线下方，也不可能在直线上，
当点在直线上方时，，过点作，如图：

根据点和点可得直线的解析式为，设直线与对称轴交于点，
点，，
轴，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
在中，，
解得，
的纵坐标为，
点的坐标为 

【解析】根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可求出抛物线与轴和轴的交点坐标．
分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点，然后根据中点坐标公式即可求解．
分两种情况，点在直线上方和下方，利用等角的正切值相等求出线段的长，在转化成点的坐标．
本题综合考查了二次函数和几何图形的性质，充分运用性质解题是关键．