四川省成都市石室中学2022-2023学年高三数学下学期三诊复习（理科）试题八（Word版附答案）

这是一份四川省成都市石室中学2022-2023学年高三数学下学期三诊复习（理科）试题八（Word版附答案），共19页。试卷主要包含了若复数z满足，则复数z的虚部为，已知集合，，，则实数的值为，已知，则的值为，已知，则的展开式中含项的系数为等内容，欢迎下载使用。
石室中学高2023届三诊复习题八（理科）
1．若复数z满足，则复数z的虚部为（    ）
A．i B． C．1 D．
2．已知集合，，，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
3．记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在中，内角的对边分别为，且，，则满足条件的三角形有（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
5．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．已知，则的值为（    ）
A． B． C． D．
7．已知，则的展开式中含项的系数为（    ）
A．28 B．56 C．96 D．128
8．如图，正方体的棱长为为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面的面积（    ）

A． B． C． D．
9．伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线顶的一段近似看成离心率为的双曲线C：上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4
10．已知四棱锥的底面是矩形，高为，则四棱锥的外接球的体积为（    ）
A． B． C． D．
11．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
12．已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
13．已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.
14．88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列．若中音A（左起第49个键）的频率为，钢琴上最低音的频率为，则左起第61个键的音的频率为___________．
15．为了迎接期中考试，某同学要在周日上午安排五个学科的复习工作，为提高复习效率，数学学科的复习时间不安排在早晨第一科，并且数学和物理两科的复习时间不连在一起，那么五个学科复习时间的顺序安排总共有______种（用数字作答）．
16．已知曲线：，抛物线：，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有___________
①直线l：是曲线和的公切线：
②曲线和的公切线有且仅有一条；
③最小值为；
④当轴时，最小值为.
17．已知向量，，且函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，求的取值范围.











18．雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.
分组区间





人数
30
75
105
60
30
支持态度人数
24
66
90
42
18
(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；

年龄在50周岁及以上
年龄在50周岁以下
总计
支持态度人数



不支持态度人数



总计



(2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望.
参考数据： 参考公式：














19．如图，在三棱锥中，侧面底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，记平面与平面的交线.
(1)证明：直线平面.
(2)若在直线上且为锐角，当时，求面与面的夹角余弦值.





















20．已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，BC中点为D，过中点E且平行于的直线交于点P，记P的轨迹为Γ
(1)求Γ的方程；
(2)坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与Γ交于点M，N，直线，相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.
①的面积是定值；②的面积是定值：③的面积是定值.




























21．已知函数.
(1)若单调递减，求的取值范围；
(2)若的两个零点分别为，，且，证明：.（参考数据：）

























22．在直角坐标系中，点为坐标原点，直线的直角坐标方程为，直线与x轴交于点M，抛物线C的参数方程为（为参数）.
（1）以点O为极点，以轴正半轴为极轴，求直线的极坐标方程及点M的极坐标；
（2）设直线与抛物线C相交于E，F两点，若，求抛物线C的准线方程.









23．已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：
(1)a+b+2c≤3；
(2)若b=2c，则1a+1c≥3．

参考答案：
1．C
【分析】根据复数的除法法则得到，求出虚部.
【详解】由得，
故复数z的虚部为1
故选：C
2．A
【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可.
【详解】由知：，
当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当，即或，
若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若，则，，满足要求.
综上，.
故选：A
3．B
【分析】利用等差数列前项和及性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.
【详解】等差数列的前项和为，则，
数列的前项和为，取，显然有，
而，即数列不是等差数列，
所以“”是“为等差数列”的必要不充分条件.
故选：B
4．C
【分析】根据与的大小判断可得.
【详解】因为，，，
所以，所以满足条件的三角形有2个.
故选：C
5．C
【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.
【详解】对选项A，若，，则与的位置关系是平行，相交和异面，故A错误.
对选项B，若，，则与的位置关系是平行和相交，故B错误.
对选项C，若，，则根据线面垂直的性质得与的位置关系是平行，故C正确.
对选项D，若，，则与的位置关系是平行和相交，故D错误.
故选：C
6．C
【分析】应用诱导公式可得，再由倍角余弦公式求即可.
【详解】由，
所以.
故选：C
7．B
【分析】根据微积分基本定理求出n的值，求出展开式的通项公式，令x的次数为2即可求解.
【详解】由题意知，
所以的展开式的通项公式为，
令，得，
所以的展开式中的的系数为．
故选：B．
8．B
【分析】如图，过点的平面截正方体所得的截面为五边形，求得，再结合等腰三角形的面积，结合相似即可求得截面的面积.
【详解】
如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点，连接交于点，连接.
则过点的平面截正方体所得的截面为五边形.
因为为的中点，为的中点，
所以，
所以，
在中，，
在中，，
同理可得.
令上的高为，
所以，
所以.
因为，所以，
所以，
同理可得，
故截面的面积.
故选：B
【点睛】方法点睛：作截面的三种方法:
①直接法:截面的定点在几何体的棱上；
②平行线法:截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；
③延长交线得交点:截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
9．C
【分析】根据离心率求出双曲线方程，可得出焦点坐标及渐近线方程，再利用双曲线的定义转化为求，数形结合即可得出最小值．
【详解】依题意，双曲线的离心率为，
则，解得，
所以双曲线方程为，
则双曲线得下焦点为，上焦点，渐近线方程为，如图，

根据图形的对称性，不妨取渐近线为，即，
又点P为双曲线上支上的动点，则，
过点P作，垂足为Q，过点作，垂足为M，
则，
所以与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为．
故选：C．
10．B
【分析】作出辅助线，求出平面外接圆半径，再利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出球的体积.
【详解】如图，在矩形中，连接对角线，记，则点为矩形的外接圆圆心，
取的中点，连接，记的外接圆圆心为，易知，且共线.
因为，平面，所以平面，
所以平面，平面，，，平面，
所以平面，所以，所以，易得，
所以由正弦定理得的外接圆半径为，即.
过作平面，且，连接，由平面，
可知，则四边形为矩形，所以，则平面.
根据球的性质，可得点为四棱锥的外接球的球心.
因为，所以四棱锥的外接球的体积为.

故选：B
11．A
【分析】根据直线所过定点和可知，由此可得点轨迹是以为圆心，为半径的圆（不含点），由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法可求得，结合向量数量积的运算律可求得的最小值.
【详解】由圆的方程知：圆心，半径；
由得：，恒过定点；
由得：，恒过定点；
由直线方程可知：，，即，
设，则，，
，整理可得：，
即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又直线斜率存在，点轨迹不包含；
若点为弦的中点，则，位置关系如图：

连接，
由知：，
则，
（当在处取等号），
即的最小值为.
故选：A.
12．D
【分析】将函数有两个零点，转化为的图象有两个交点问题，利用导数判断的单调性，作出其大致图象，数形结合，列出能保证存在唯一的整数的不等关系，即可求得答案.
【详解】由题意函数有两个零点，
即，得有两个正实根，
设，则，
令，解得，当时，，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
故当时，函数取得极大值，且，
又时，；当时，；
当时，，
作出函数的大致图象，如图所示：

直线与的图象的两个交点的横坐标即分别为，
由题意知，又，
因为存在唯一的整数，所以，
又直线与的图象有两个交点，
由图可知：，即，
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题是根据函数零点的个数求参数的取值范围问题，关键在于要保证存在唯一的整数，因此解答时利用导数判断函数的单调性，作出函数图象，数形结合，列出保证条件成立的不等式，求解答案.
13．
【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解.
【详解】因为，且与的夹角为锐角,
所以，且，解得且，
所以实数的范围是.
故答案为：.
14．880
【分析】设等比数列的公比为，根据已知求出，再利用等比数列的通项即得解.
【详解】设等比数列的公比为，则，所以，
则左起第61个键的音的频率为．
故答案为：880
15．54
【分析】考虑物理科的安排，物理安排在第一科复习或物理不安排在第一科复习，分类讨论，分别求出每一类里的安排方法，根据分类加法计数原理可得答案.
【详解】根据物理复习时间的安排分为以下两类
第一类，物理安排在第一科复习，第二科不能为数学,数学安排在后面三科有3种安排方法，
其余三科有种安排，共有种；
第二类，物理不安排在第一科复习，因为第一科也不能安排数学，
故第一科可安排其余三科中的一科，有3种安排方法，剩下四科中数学和物理采用插空法，
有种安排，共有种，
两类相加，共有18＋36＝54种安排方法，
故答案为：54
16．①③④
【分析】对于①利用导数的几何意义即可求解；对于②，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于③，利用抛物线的焦半径公式转化求的最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对于④，先设动点的坐标，根据轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可.
【详解】解：选项①，对于曲线，，当时，，，
故直线与曲线相切与点；
联立，可得，故此时直线与切于点，
故直线l：是曲线和的公切线，故①正确；
对于②，设公切线分别与切于点，
则曲线的切线为：，曲线的切线为，
根据与表示同一条直线，则有，
解得，令，则有，
可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，
则有，
根据零点存在性定理可知，在区间上存在一个零点，即存在一条公切线
故曲线和的公切线有且仅有2条，故②错误；
对于③，如图所示，可得，根据抛物线的焦半径公式可得，
故有：，
设点的坐标为：，则有：，
令，可得，
再次求导可得：，故在上单调递增，
又，可得：当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
故，则，故，故③正确；
对于④，当轴时，设，则，则有：，
记，则有，令，解得：，
故当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故有，故，故选项④正确.
故答案为：①③④.

17．(1)
(2)

【分析】（1）由题知，再根据正弦函数的单调性求解即可；
（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为向量，且函数，
所以，
令，解得，
所以函数的单调增区间为；
（2）因为，
所以，
即，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
，
由，得，所以
所以.
18．(1)列联表、答案见解析
(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据表格数据，完成列联表，并计算，并和参考数据，比较后即可判断；
（2）根据二项分布求概率，再求分布列和数学期望.
【详解】（1）完成列联表如下，

年龄在50周岁及以上
年龄在50周岁以下
总计
支持态度人数
60
180
240
不支持态度人数
30
30
60
总计
90
210
300
提出原假设年龄与所持态度无关，
确定显著性水平，

，，从而否定原假设，故有95%的把握认为年龄与所持态度具有相关性.
（2）依题意，服从二项分布，
故，,
,,
,
所以分布列如下表，


1
2
3
4






所以.
19．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由得平面，利用线面平行的性质可得，由平面平面和，可得平面，从而可得平面；
（2）由题意，当时可得，以为原点，直线为轴，直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，求得面与面的法向量，利用向量夹角公式求解.
【详解】（1）分别是的中点，，
又平面，平面，平面，
平面，平面平面，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面.
（2）是的中位线，，
而，，
又，当时，，
又因为，故此时，
以为原点，直线为轴，直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，
，
令平面的法向量为，
则，令，则，
令平面的法向量为，
则，令，则，
因为，所以面与面的夹角余弦值为.
20．(1)
(2)结论③正确，证明见解析

【分析】（1）由几何性质知P到，两点的距离之和为定值可得P的轨迹为椭圆；
（2）解法一、二：设直线，，，表示出直线，的方程并联立求得Q的横坐标为定值，因此的面积是定值.
解法三：当直线垂直于x轴时求得Q横坐标为4，当直线不垂直于x轴时，设直线，，，表示出直线，的方程并联立求得Q的横坐标为定值，因此的面积是定值.
解法四：设直线，，，表示出直线，的方程，利用在椭圆上得，将直线的方程化为，与直线联立求得Q的横坐标为定值，因此的面积是定值.
【详解】（1）由题意得，，.
因为D为BC中点，所以，即，
又，所以，
又E为的中点，所以，
所以，
所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆（左､右顶点除外）.
设，其中，.
则，，，.
故.

（2）解法一：结论③正确.下证：的面积是定值.
由题意得，，，，，且直线的斜率不为0，
可设直线，，，且，.
由，得，
所以，，
所以.
直线的方程为：，直线的方程为：，
由，得，
，
解得.
故点Q在直线，所以Q到的距离，
因此的面积是定值，为.

解法二：结论③正确.下证：的面积是定值.
由题意得，，，，，且直线的斜率不为0，
可设直线，，，且，.
由，得，
所以，，
所以.
直线的方程为：，直线的方程为：，
由，
得

，
故点Q在直线，所以Q到的距离，
因此的面积是定值，为.

解法三：结论③正确.下证：的面积是定值.
由题意得，，，，，且直线的斜率不为0.
（i）当直线垂直于x轴时，，由，得或.
不妨设，，
则直线的方程为：，直线的方程为：，
由，得，所以，
故Q到的距离，此时的面积是.

（ii）当直线不垂直于x轴时，设直线，，，且，.
由，得，
所以，.
直线的方程为：，直线的方程为：，
由，得
.
下证：.
即证，即证，
即证，
即证，
上式显然成立，
故点Q在直线，所以Q到的距离，
此时的面积是定值，为.
由（i）（ii）可知，的面积为定值.
解法四：结论③正确.下证：的面积是定值.
由题意得，，，，，且直线的斜率不为0，
可设直线，，，且，.
由，得，
所以，.
直线的方程为：，直线的方程为：，
因为，所以，
故直线的方程为：.
由，得
，
解得.
故点Q在直线，所以Q到的距离，
因此的面积是定值，为.

【点睛】方法点睛：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
21．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由已知可得在时恒成立，由此可得，再利用导数求函数的最大值，由此可得的取值范围；
（2）令，则，由已知可得要证明只需证明，利用导数求的最小值即可证明结论.
【详解】（1）由得，，
因为单调递减，所以在时恒成立，
所以在时恒成立，即，
令，则，
可知时，，单调递增；时，，单调递减，
则时取最大值，
所以，即，所以的取值范围是.
（2）因为有两个零点，，
令，则，
当时，，单调递增，不符合题意，
当时，由可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
由可知，，
要证明，只需证明.
由已知可得，化简得，
所以，
.
令，则，要证明，只需证明.
令，且，则，
令，且，则，
则在时单调递增，故，
故，则在时单调递减，
所以，即，则有，
所以，即原不等式成立.
【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22．（1），；（2）.
【分析】（1）根据化为极坐标方程即可；
（2）直线的参数方程与抛物线联立，再运用的几何意义及韦达定理解方程即可.
【详解】（1）由得直角坐标方程，
得，
所以，
所以，
所以.
令，得点M得直角坐标为，
所以点M的极坐标为.
（2）把为参数化为普通方程，得，
由（1）知，的倾斜角为，参数方程为为参数，
代入，得，
设E，F对应得参数分别为，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以抛物线C得准线方程为.
23． (1)证明：由柯西不等式有a2+b2+2c212+12+12≥a+b+2c2，
所以a+b+2c≤3，
当且仅当a=b=2c=1时，取等号，
所以a+b+2c≤3；
(2)证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c≤3，
即0