四川省成都市石室中学2023届高三数学（理科）下学期三诊复习卷（6）（Word版附答案）

这是一份四川省成都市石室中学2023届高三数学（理科）下学期三诊复习卷（6）（Word版附答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
成都石室中学高2023届三诊复习题6(理科)
班级______ 姓名______
一、选择题
1．已知，则 （    ）
A． B． C． D．
2．已知复数，，则（    ）
A．1 B． C．2 D．
3．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载；一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（    ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．立春的晷长与立秋的晷长相同 D．立冬的晷长为一丈五寸
4．党的二十大于2022年10月16日在北京召开，二十大报告中提出：积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．某村计划安装总装机容量为200千瓦的光伏发电机，经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电800度，若该村有村民300户，从中随机抽取50户，得到其年用电量情况如直方图所示，根据直方图可得下列说法正确的是（    ）
A．全村年用电量的众数一定是500度
B．抽取50户用电量的中位数小于其平均数
C．根据50户用电量的平均值可以估计计划安装的光伏发电机组够全村用电
D．全村用电量为度的概率约为0.0015
5.等差数列 中，，当 取得最小值时，n的值为（    ）
A．4或5 B．5或6 C．4 D．5
6．已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为，则该双曲线的虚轴长为（    ）
A． B． C． D．
7．北京公交101路是北京最早的无轨电车之一，最早可追溯至1957年.游客甲与乙同时从红庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的101路公交车，甲将在朝阳门外站之前的任意一站下车，乙将在神路街站之前的任意一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（     ）

A． B． C． D．
8．设，，，则（    ）
A． B． C． D．
9．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为（    ）
A． B．12 C． D．36
10．直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．


11．已知定义域为的函数满足，，，若，则的极值情况是（    ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极小值，也无极大值
12．如图，已知是边长为4的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，将沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥，则下列结论中正确的是（    ）
①翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3
②存在某个点位置，满足平面平面
③当时，直线与平面所成角的正弦值为
④当时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为
A. ①③④ B.①③ C. ①②③ D. ①②③④


二、填空题
13．的展开式中的系数为______．
14．已知函数是偶函数，则______．
15．甲烷分子式为，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢键长度相等，用表示碳原子的位置，用表示四个氢原子的位置，设，则__________.
16．海水受日月的引力，会发生潮汐现象.在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋.某兴趣小组通过技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深（单位：米）随时间（单位：小时）的变化规律为，其中；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙.在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________.
①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；
②若，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；
③若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大；
④若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大.


















三、解答题
17．某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．
若年份x（2015年记为，2016年记为，以此类推）与发展总指数y存在线性关系．
(1)求年份x与发展总指数y的回归方程；
(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望．
参考公式：回归方程，其中，，，．













18. 在中，，D为中点， .
(1)若，求的长；(2)若 ，求的长.



























19．如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足.
(1)证明：直线平面；(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.

















20.已知椭圆的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，|PA|=|PO|，的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设B为C的右顶点，过点且斜率不为0的直线与C交于M，N两点，证明：
































21.已知函数，其中.
（1）证明：恒有唯一零点；
（2）记（1）中的零点为，当时，证明：图象上存在关于点对称的两点.














22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，若为曲线上的动点，将绕点顺时针旋转得到，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，点，射线与曲线，分别交于异于极点的，两点，求的面积．













23．（1）已知正数，，满足，求证：；
（2）已知正数，，满足，求证：．



















成都石室中学高2023届三诊复习题6(理科)
班级______ 姓名______
1．已知，则 （    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出集合A，根据集合的并集运算，即可得答案.
【详解】由题意解，可得 ，
所以，
则，
故选：B.
2．已知复数，，则（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】结合复数的运算法则和模长公式即可求解.
【详解】∵，∴．
故选：B
3．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载；一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（    ）

A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．立春的晷长与立秋的晷长相同
D．立冬的晷长为一丈五寸
【答案】C
【分析】根据所给条件结合数列的性质，进行分析判断即可得解.
【详解】由题意知：设晷长为等差数列，公差为，
则，，解得.
∴相邻两个节气晷长减少的量为一尺，故A正确.
秋分的晷长为：，春分的晷长为：75，
春分和秋分两个节气的晷长相同，故B正确.
立春的晷长为105，立秋的晷长为45，故C不正确.
立冬的晷长为：即为一丈五寸，故D正确.
故选：C.
4．党的二十大于2022年10月16日在北京召开，二十大报告中提出：积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．某村计划安装总装机容量为200千瓦的光伏发电机，经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电800度，若该村有村民300户，从中随机抽取50户，得到其年用电量情况如直方图所示，根据直方图可得下列说法正确的是（    ）

A．全村年用电量的众数一定是500度
B．抽取50户用电量的中位数小于其平均数
C．根据50户用电量的平均值可以估计计划安装的光伏发电机组够全村用电
D．全村用电量为度的概率约为0.0015
【答案】C
【分析】由频率分布直方图求样本数据的众数，中位数，平均数，样本数据在区间内的频率，由此判断各选项.
【详解】因为抽取50户的年用电众数为500，所以全村年用电众数的估计值为500，
所以全村年用电众数不一定等于500，所以A错误．
由图可知从左至右各组用电频率分别为0.14，0.16，0.30，0.26，0.14，
则中位数为，
而平均数，
因为，
所以抽取50户用电量的中位数大于其平均数，所以B错误．
全村估计年用电量为度，
年发电量约为度度，所以C正确．
由频率分布直方图可得，抽取的50户中，用电量为度的户数的频率为，
所以全村用电量为度的户数的概率约为，D错误．
故选：C.
5.等差数列 中，，当 取得最小值时，n的值为（    ）
A．4或5 B．5或6 C．4 D．5
【答案】A
【分析】求得数列的首项和公差d，可得通项公式，继而求得的表达式，结合二次函数知识即可得答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为d，则 ，
解得，则，
所以，
由于，故当n取4或5时，取得最小值，
故选：A.
6．已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为，则该双曲线的虚轴长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可得，求出的值，即可得出双曲线的虚轴长.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由题意可知，可得，所以，，则，
因此，该双曲线的虚轴长为.
故选：B.

7．北京公交101路是北京最早的无轨电车之一，最早可追溯至1957年.游客甲与乙同时从红庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的101路公交车，甲将在朝阳门外站之前的任意一站下车，乙将在神路街站之前的任意一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，确定总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数之比即为所求概率.
【详解】甲下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站，关东店站，东大桥路口西站、神路街站，乙下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站、关东店站、东大桥路口西站.
所以甲、乙下车的所有情况共有种，
其中甲比乙后下车的情况有：
乙在小庄路口东站下车，甲可以在呼家楼西站，关东店站，东大桥路口西站、神路街站下车；
乙在呼家楼西站下车，甲可以在关东店站，东大桥路口西站、神路街站下车；
乙在关东店站下车，甲可以在东大桥路口西站、神路街站下车；
乙在东大桥路口西站下车，甲可以在神路街站下车；
共有10种.
故甲比乙后下车的概率为.
故选：D.
【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.
8．设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用导数证明出，令，可以判断出最小；利用作商法比较出，即可得到答案.
【详解】设.
因为，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当，且时，，即．
所以，，所以最小，
又因为，所以．综上可知，．
故选：B
9．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为（    ）

A． B．12 C． D．36
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，将数量积最大值问题转化为线性规划问题求解.
【详解】去除不必要的线条和图案，以E为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系如下图：

则有 ，设 ， ，
，其中 在圆D上，
令 ，则原问题转化为线性规划问题，求目标函数z的最大值，
显然当圆D与直线 在x轴上方相切时z最大，
即 ；
故选：A.
10．直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对称关系和垂直关系可知四边形为矩形，结合直线倾斜角大小可确定，由此利用表示出，结合椭圆定义可构造齐次方程求得离心率.
【详解】
记椭圆的左焦点为，
由对称性可知：四边形为平行四边形，，
；
，，四边形为矩形，，
又，，又，，
，，，
椭圆的离心率.
故选：C.
11．已知定义域为的函数满足，，，若，则的极值情况是（    ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极小值，也无极大值
【答案】C
【分析】结合导数运算公式由条件求，由此可得，再根据极值与导数的关系，利用导数求函数的极值即可.
【详解】∵，∴．
取可得，，
由，令，得，
因为，可得，
∴，则，
∴．
令，则；
令，，
易知时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增，
所以当时，取最小值，
又，当时， ，时，，
∴存在，，使得．
不妨设，则当时，，当时，，当时，．
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
∴既有极大值，又有极小值．
故选：C.
12．如图，已知是边长为4的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，将沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥，则下列结论中不正确的是（    ）

A．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3
B．存在某个点位置，满足平面平面
C．当时，直线与平面所成角的正弦值为
D．当时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为
【答案】B
【分析】当平面平面时，体积最大，求出底面积和高，即可求出最值，判断A项；找出平面与平面所成的二面角，根据题意推导出，即可说明B项错误；过点作，根据题意可得即为直线与平面所成的角.根据余弦定理以及三角函数可推出，进而得出，即可得出结果，得出C项；由已知可推得平面平面.设球心为，的外心为，点为等腰梯形的外心，可得四边形为矩形，进而求出即半径的长，即可得出外接球的表面积.
【详解】
如图1，设，分别是，的中点.则，，，且.
对于A项，当平面平面时，四棱锥的体积最大. 的高为，四边形为高为的梯形，梯形面积，体积，故A项正确；
对于B项，设平面平面，则，有，，可得平面，即为平面与平面所成的二面角，由可知，，故B项错误；
对于C项，如图1，过点作，垂足为.由B分析可得，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面.所以即为直线与平面所成的角.由题意可知，，，，在中，由余弦定理可得，所以；在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为；

对于D项，当时，由，可知，即，又，且，则平面，又平面，则平面平面.四棱锥的外接球球心为，的外心为，则平面.如图2，易知点为等腰梯形的外心，则平面，
则四边形为矩形，且，从而有，从而该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为，故D项正确.
故选：B.

13．的展开式中的系数为______．
【答案】80
【分析】利用二项式展开式通项公式即可求出结果.
【详解】的展开式的通项公式为：
，
令，得，
则所求系数为.
故答案为：80.
14．已知函数是偶函数，则______．
【答案】-1
【分析】由，列出方程，求出的值.
【详解】定义域为R，
由得：，
因为，所以，故.
故答案为：-1
15．甲烷分子式为，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢键长度相等，用表示碳原子的位置，用表示四个氢原子的位置，设，则__________.
【答案】
【分析】设正四面体的棱长为，外接球半径为，计算，根据余弦定理得到，再利用二倍角公式计算得到答案.
【详解】根据题意知三棱锥为正四面体，为正四面体外接球球心，
延长与平面相交于，则为的中心，连接，

设正四面体的棱长为，外接球半径为，则，
平面，平面，故，
，
故，解得，
则，.
故答案为：

16．海水受日月的引力，会发生潮汐现象.在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋.某兴趣小组通过技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深（单位：米）随时间（单位：小时）的变化规律为，其中；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙.在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________.
①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；
②若，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；
③若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大；
④若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大.
【答案】①④
【分析】根据船离海底距离为，解三角不等式可判断①；由船离海底距离，利用导数判断单调性即可判断②；船离海底距离，利用导数求出最值即可判断③、④
【详解】①不卸货，则吃水恒为2米，
船离海底为，
当时，，则，
解得，所以最多停留时间为小时，故①正确；
②立即卸货，吃水深度，且，
解得，
此时船离海底，
，
所以在上单调递增，且当时，，
由，，
此段时间都可以停靠，
又，，故②错误；
③与④，，，
，，解得，
当时，；当时，，
所以当时，船底离海底的距离最大.
故答案为：①④
【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的应用、导数的应用，解题的关键是表示出船离海底距离的关系式，此题综合性比较强，考查了知识的应用能力以及计算能力.


17．某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．

若年份x（2015年记为，2016年记为，以此类推）与发展总指数y存在线性关系．
(1)求年份x与发展总指数y的回归方程；
(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望．
参考公式：回归方程，其中，，，．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，

【分析】（1）利用已知数据求，，利用公式和参考数据求，，由此可得回归方程；
（2）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由均值公式求均值.
【详解】（1）由已知，
所以
又
所以，
因为，
所以，
∴．
（2）由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个．
∴，，．
所以X的分布列为
X
3
4
5
P



数学期望为．


18. 在中，，D为中点， .
(1)若，求的长；
(2)若 ，求的长.
【答案】(1)2
(2)

【分析】（1）在中，由余弦定理求得，即可得，在中利用余弦定理即可求得答案；
（2）设，由正弦定理求得，结合，以及，可推出，再由，推出，联立解方程可得答案.
【详解】（1）在中，，
则 ，
在中，
，
所以.
（2）设，
在和中，由正弦定理得，，
又，得，
在中，，
由，有，
所以，整理得：，①
又由，整理得：，②
联立①②得，，即.，
解得或，
又，故，
所以.
19．如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足.

(1)证明：直线平面；
(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）延长和交于点，连接交于点，连接，即可得到，从而得到为中点，即可得到且，从而得到，即可得解；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）证明：延长和交于点，连接交于点，连接，
由，故，所以，所以，
所以，所以为中点，
又且，且，
所以且，
故四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴
建立如图所示的空间直角坐标系.

则.
所以.
设平面的法向量，由，得，
取，
故所求角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.

20.已知椭圆的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，|PA|=|PO|，的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设B为C的右顶点，过点且斜率不为0的直线与C交于M，N两点，证明：

21.已知函数，其中.
（1）证明：恒有唯一零点；
（2）记（1）中的零点为，当时，证明：图象上存在关于点对称的两点.

22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，若为曲线上的动点，将绕点顺时针旋转得到，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，点，射线与曲线，分别交于异于极点的，两点，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）假设曲线上的动点的极坐标为，设，即可得到，再由点在上即可求出的轨迹方程；
（2）首先求出及点到射线的距离，即可求出的面积.
【详解】（1）解：假设曲线上的动点的极坐标为，设，
由题意，因为，所以，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）解：由题意可得，
又因为到射线的距离，
所以.
23．（1）已知正数，，满足，求证：；
（2）已知正数，，满足，求证：．
【答案】（1）答案见解析 ；（2）答案见解析 ．
【分析】（1）利用基本不等式可得：，，两式相加即可得证；
（2）变形，然后利用基本不等式即可得证．
【详解】（1）证明：，，∴，当且仅当时等号成立，
，，∴，当且仅当时等号成立，
∴，
∴，当且仅当时等号成立．
∵，∴．
（2）证明：，
，
当且仅当时等号成立，
由，等号成立的条件是，，，
∴，即，当且仅当，，时等号成立．