初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件课时训练

专题1.6 探索三角形全等的条件（SSS，SAS）（直通中考）

【知识点回顾】

（1）三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）

一、单选题

1．（2023·山东·统考中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（    ）

A．      B．      C．      D．

2．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ）

A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等  B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例  D．两点之间线段最短

3．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（    ）

A．      B．      C．      D．

4．（2021·江苏盐城·统考中考真题）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（    ）

A．      B．      C．      D．

二、填空题

5．（2020·湖南怀化·中考真题）如图，在和中，，，，则________º．

6．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知AB∥CF，点E为DF的中点，若AB＝9 cm，CF＝5 cm，则BD＝____cm.

7．（2020·浙江·一模）为了测出池塘两端A，B的距离，毛毛在地面上选择了点O，D，C，使，，且点A，O，C和点B，O，D分别都在一条直线上，毛毛量出了D，C的距离为68米，则A，B的距离为_____米．

三、解答题

8．（2023·云南·统考中考真题）如图，是的中点，．求证：．

9．（2023·福建·统考中考真题）如图，．求证：．

10．（2023·四川宜宾·统考中考真题）已知：如图，，，．求证：．

11．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，点在线段上，，，．

求证：．

12．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在和中，延长交于，      ，．

求证：．

13．（2022·江苏淮安·统考中考真题）已知：如图，点、、、在一条直线上，且，，    ．

求证：．

14．（2022·福建·统考中考真题）如图，点C，F在BE上，，，．

求证：．

15．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的大小．

16．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、 AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC=AD；②∠ABC=∠BAD；③AC= BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．

已知： ，

求证：

17．（2021·云南·统考中考真题）如图，在四边形中，与相交于点E．

求证：．

18．（2021·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．

求证：△AOB≌△COD．

19．（2021·广西柳州·统考中考真题）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．

证明：在和中，

∴

∴____________

20．（2021·广西百色·统考中考真题）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．求证：

（1）OD＝OE；

（2）△ABE≌△ACD．

21．（2021·福建·统考中考真题）如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：．

22．（2020·云南·统考中考真题）如图，已知，．求证：．

23．（2020·广西柳州·统考中考真题）如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB．

求证：△AOC≌△BOC．

24．（2020·吉林·统考中考真题）如图，在中，，点在边上，且，过点作并截取，且点，在同侧，连接．

求证：．

25．（2020·西藏·统考中考真题）如图，中，D为BC边上的一点，AD＝AC，以线段AD为边作，使得AE＝AB，∠BAE＝∠CAD．求证：DE＝CB．

26．（2020·广西河池·统考中考真题）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．

（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．

参考答案

1．C

【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．

解：如图，

由图可知：，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选C．

【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

2．A

【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解．

解：O为、的中点，

，，

（对顶角相等），

在与中，

，

，

，

故选：A．

【点拨】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．

3．B

【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．

解：∵在△ABO和△DCO中，，

∴，故B正确．

故选：B．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．

4．D

【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．

解：由题意可知

在中

∴(SSS)

∴

∴就是的平分线

故选：D

【点拨】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．

5．130

【分析】证明△ABC≌△ADC即可．

解：∵，，AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，

∴∠D=∠B=130°，

故答案为：130．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键．

6．4

解：∵AB∥CF，

∴∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，

在△AED和△CEF中

，

∴△AED≌△CEF（AAS），

∴FC=AD=5cm，

∴BD=AB-AD=9-5=4（cm）．

故答案为：4

7．68

【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角证得全等三角形，然后根据全等三角形的性质解答．

解：在△AOB和△COD中， ，

∴△AOB≌△COD（SAS）．

∴AB=CD=68

故答案为：68．

【点拨】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键．

8．见分析

【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等．

解：证明：是的中点，

，

在和中，

，

【点拨】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．

9．见分析

【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证．

解：证明：，

即．

在和中，

．

【点拨】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

10．见分析

【分析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证．

解：证明：∵，

∴，

∵，

∴

即

在与中

，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

11．见分析

【分析】首先根据平行线的性质得到，然后证明出，最后根据全等三角形的性质求解即可．

解：证明：∵，

∴，

∴在和中，

，

∴，

∴．

【点拨】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定．

12．证明见分析

【分析】由，，可得，证明，进而结论得证．

解：证明：∵，，

∴，

∵，，，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

13．见分析

【分析】根据证明，即可得出答案．

解：证明：∵，

∴，

∴，

∵在和中，

∴，

∴．

【点拨】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．

14．证明见分析

【分析】利用得出，再利用SAS证明，根据全等三角形的对应角相等，即可得出．

解：证明：∵，

∴，

又∵，，

∴

∴．

【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答本题的关键．

15．

【分析】首先根据题意证明，然后根据全等三角形对应角相等即可求出的大小．

解：∵，

∴，

∴，

∴在和中，

∴，

∴．

【点拨】此题考查了三角形全等的性质和判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质和判定方法．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．

16．BC=AD，∠ABC=∠BAD；AC=BD；证明见详解

【分析】构造SAS，利用全等三角形的判定与性质即可求解．

解：已知：BC=AD，∠ABC=∠BAD，

求证：AC=BD．

证明：在△ABC和△BAD中，

∵，

∴，

∴，

即命题得证．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．

17．见分析

【分析】直接利用SSS证明△ACD≌△BDC，即可证明．

解：在△ACD和△BDC中，

，

∴△ACD≌△BDC（SSS），

∴∠DAC=∠CBD．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS的方法．

18．证明见分析

【分析】先证明∠DOC=∠BOA，再由边角边即可证明△AOB≌△COD．

解：由图可知：，

，

∵，

∴，

在和中： ，

∴．

【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．

19．，，，

【分析】根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等，填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明．

解：证明：在和

∴

∴

【点拨】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证明方法是解题的关键．

20．(1)证明见分析；(2)证明见分析.

【分析】(1)根据∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE可以用“AAS”证明△DOB≌△EOC，再由全等三角形的性质，即可得到OD=OE；

(2)根据D、E分别是AB、AC的中点，可以得到AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC，再根据BD=CE，即可得到AB=AC，AD=AE，再由∠A=∠A即可用“SAS”证明两个三角形全等.

解：(1)∵∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE

∴△DOB≌△EOC（AAS）

∴OD=OE；

(2)∵D、E分别是AB、AC的中点

∴AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC

又∵BD=CE

∴AB=AC，AD=AE

∵∠A=∠A

∴△ABE≌△ACD（SAS）

【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

21．见分析

【分析】由得出，由SAS证明，得出对应角相等即可．

解：证明：∵，

∴．

在和中，

∴，

∴．

【点拨】本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观．

22．见详解．

【分析】根据SSS定理推出△ADB≌△BCA即可证明．

解：证明：在△ADB和△BCA中，

∴△ADB≌△BCA（SSS），

∴．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，能正确进行推理证明全等是解此题的关键．

23．见分析

【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立．

解：证明：∵OC平分∠MON，

∴∠AOC＝∠BOC，

在△AOC和△BOC中，

，

∴△AOC≌△BOC（SAS）．

【点拨】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定．全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，H.L．

24．证明见详解

【分析】根据SAS即可证得．

解：证明：∵，

∴∠A=∠EDB，

在△ABC和△DEB中，

，

∴（SAS）．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

25．见分析

【分析】先由角的和差性质证得∠DAE＝∠CAB，再根据SAS定理证明△ADE≌△ACB，最后根据全等三角形的性质得出DE＝CB．

解：证明：∵∠BAE＝∠CAD，

∴∠BAE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD，

即∠DAE＝∠CAB，

在△ADE和△ACB中，

，

∴△ADE≌△ACB（SAS），

∴DE＝CB．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，证明线段相等，通常转化证明三角形全等．

26．（1）证明见分析；（2）AE=BE；理由见分析

【分析】（1）根据SAS可得出答案；

（2）在CE上截取CF＝DE，证明△ADE≌△BCF（SAS），可得出AE＝BF，∠AED＝∠CFB，则可得出BE＝BF．结论得证．

解：（1）证明：在△ACE和△BCE中，

∵，

∴△ACE≌△BCE（SAS）；

（2）AE＝BE．

理由如下：

在CE上截取CF＝DE，

在△ADE和△BCF中，

∵，

∴△ADE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，

∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，

∴∠BEF＝∠EFB，

∴BE＝BF，

∴AE＝BE．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．