初中第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数同步训练题

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【单元复习】第二十二章 二次函数
（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）
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知识精讲
第二十二章 二次函数
一、二次函数的定义：
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
2.二次函数的性质
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.
（2）函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
二、二次函数的解析式
①一般式：(a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
②顶点式：
③交点式（与x轴）：
三、抛物线的性质
①二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
②a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a还可以决定开口大小,a越大开口就越小,a越小开口就越大。
③抛物线是轴对称图形。对称轴为直线.
④对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
⑤抛物线有一个顶点P，坐标为P ()，当时，P在y轴上；当时，P在x轴上。
⑥二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
⑦一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：
Ⅰ.当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
Ⅱ.当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
⑧常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）
⑨二次函数的增减性
抛物线，若a>0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．若a<0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．抛物线的最值：如果a>0(a<0)，则当时，y最小(大)值=．
三、二次函数，，(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（0,0）

（轴）
(0,)


(,0)


(,)


()

四、二次函数与一元二次方程
二次函数（以下称函数）当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即）此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根；函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
抛物线的图象与坐标轴的交点：
Δ＞0，图象与x轴交于两点：（，0）和（，0）；
Δ＝0，图象与x轴交于一点：（，0）；
Δ＜0，图象与x轴无交点；
五．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：　　　　
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：．
　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：．
六．二次函数的应用
二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
考点例析
【考点1】二次函数的图像和性质
【例1】（2022·全国·九年级期末）已知抛物线y=mx2+nx和直线y=mx+n在同一坐标系内的图像如图，其中正确的是（          ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题可先由二次函数图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致．逐一排除．
【详解】解：A.由二次函数的图像可知m＜0，此时直线y＝mx+n应经过二、四象限，故可排除；
B.由二次函数的图像可知m＞0，对称轴在y轴的右侧，可知m、n异号，n＜0，此时直线y＝mx+n应经过一、三、四象限，故可排除；
C.由二次函数的图像可知m＜0，对称轴在y轴的右侧，可知m、n异号，n＞0，此时直线y＝mx+n应经过一、二、四象限，故可排除；
D.观察二次函数的图像可知m＞0，n＜0，直线y＝mx+n应经过一、三、四象限，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与二次函数图像，应该熟记一次函数y＝mx+n在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【考点2】二次函数与一元二次方程
【例2】（2022·全国·九年级期末）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为．给出下列结论：①；②；③图象与轴的另一个交点为；④当时，随的增大而减小；⑤不等式的解集是．其中正确结论的个数是（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴，故①错误；
②当时，，由图象可知当时，，
∴，故②正确；
③关于直线x=1的对称点为，故③正确；
④当时，由图象可知y先随x的增大而增大，再随x的增大而减小，故④错误；
⑤由图象及③可知，抛物线与x轴的交点为，，
∴当时，可，故⑤错误；
综上，有②，③是正确的，故有2个正确的，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a，b，c的关系是正确判断的关键．
【考点3】实际问题与二次函数
【例3】（2022·全国·九年级期末）如图，等边的边长为，动点P从点A出发，以每秒的速度，沿A→B→C→A的方向运动，当点P回到点A时运动停止．设运动时间为x（秒），，则y关于x的函数的图象大致为（       ）


A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过C作CD⊥AB于点D，然后可得cm，cm，则分①当点P在AB上时，即时，②当时，即点P在线段BC上时，③当时，即点P在线段CA上，进而问题可求解．
【详解】解：如图，过C作CD⊥AB于点D，
则cm，cm，
当点P在AB上时，，cm，cm，
∴，
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线；
当时，即点P在线段BC上时，cm；
则，
∴该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为；
当 时，即点P在线段CA上，此时，cm，
则，
∴该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线；
故选：C．


【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题关键是分情况讨论，求出函数关系式．
举一反三
一、选择题（共4小题）
1．（2022·全国·九年级期末）二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（       ）
A．向下，直线x=－3，(－3，1) B．向上，直线x=3，(3， 1)
C．向下，直线x=－3，(－3，－1) D．向上，直线x=3，(－3，1)
【答案】B
【分析】根据二次函数顶点式的特征和性质即可作答．
【详解】二次函数，对称轴为：直线x=h；顶点坐标为：（h，k）

∵a=2>0，
∴开口向上，
∵h=3，k=1，
∴对称轴为：直线x=3；顶点坐标为：（3，1），
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的图象和性质，熟练地掌握顶点式的特征是解题的关键．二次函数，对称轴为：直线x=h；顶点坐标为：（h，k），当a>0时，开口向上，否则开口向下．
2．（2022·全国·九年级期末）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B，
∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，故①正确；
对称轴为，
整理得4a＋b＝0，故②正确；
由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，
x＜－2或x＞6，故③错误，
由图像可知，当x＝1时，，故④正确．
∴正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级期末）小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（       ）

A．12 B．11 C．6 D．3
【答案】A
【分析】首先由求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入抛物线方程，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=4，所以可知杯子高度．
【详解】∵，
∴D点的坐标为(1,6)，抛物线的对称轴为x=1，
∵AB=4，
∴CB=CA=2，
∴B点的横坐标为：2+1=3，
代入B点横坐标即可求出B点的纵坐标，
∴当x=3时，，
∴B点纵坐标为14，
∵D点的纵坐标为6，
∴CD=14-6=8，
∴CE=CD+DE=8+4=12，
则杯子的高度为12，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．
4．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，
∴∠B＝60°，，，
∵CD⊥AB，
∴，，，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
，，
∴，
当M在BD上时，3＜t≤4，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
二、填空题（共4小题）
5．（2022·全国·九年级期末）在平面直角坐标．若点A，B是抛物线上两点，若点A，B的坐标分别为则m______n（填“＞”“＜”“＝”）
【答案】＞
【分析】求出抛物线的对称轴，开口方向，然后根据二次函数的增减性解答．
【详解】解：∵抛物线中，
a=－2＜0，，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=－1，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵点A、B的坐标分别为（3，m）、（4，n），且3＜4，
∴m＞n，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级期末）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_________．

【答案】（0，1）
【分析】先求出A、B、C、D的坐标，根据CD∥x轴即可求出点关于直线的对称点坐标．
【详解】∵抛物线交轴于、两点，交轴于点，
∴当时，；
当时，
∴
∴OA=OC=5
∴
∵是抛物线上的点
∴，解得
当时，与A重合；
当时，；
∴CD∥x轴，
∴
设点关于直线的对称点M，则


∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形
∴DC=CM=6
∴M点坐标为（0，1）
故答案为：（0，1）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据对称得到△DCM是等腰直角三角形．
7．（2022·全国·九年级期末）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s．

【答案】2
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
8．（2022·辽宁·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：
①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）

【答案】①②##②①
【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．
【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点和点，则对称轴，故，故③错误；
④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；
综上所述，正确的为①②．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
二、简答题（共2小题）
9．（2022·浙江衢州·中考真题）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．

(1)求线段的函数表达式（写出的取值范围）．
(2)当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标．
(3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？
（参考数据：，）
【答案】(1)（8≤x≤40）
(2)的横坐标为22.5，成绩未达标
(3)①a与成反比例函数关系，，验证见解析；②当m/s时，运动员的成绩恰能达标
【分析】（1）根据图像得出CE的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将代入二次函数解析式，由解出x的值，比较即可得出结果；
（3）由图像可知，a与成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K的坐标（32，4），代入即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值．
【详解】（1）解：由图2可知：，
设CE：，
将代入，
得：，解得，
∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）．
（2）当时，，由题意得，
解得                                                          
∴的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
（3）①猜想a与成反比例函数关系．
∴设
将（100，0.250）代入得解得，
∴．
将（150，0.167）代入验证：，
∴能相当精确地反映a与的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段上，得K（32，4），代入得，得
由得，
又∵，
∴，
∴当m/s时，运动员的成绩恰能达标．
【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题．
10．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的横坐标为1或2或或
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）根据待定系数法，将点A，点B代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；
（2）设出点P的坐标，确定出，由PD＝CO，列出方程求解即可；
（3）分Q在BC下方和Q在BC上方两种情况，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，证明△CHM≌△HBN，由全等三角形的性质得出CM＝HN，MH＝BN，求出H点的坐标，由待定系数法求出直线CH的解析式，联立直线CH和抛物线解析式即可得出点Q的坐标．
【详解】（1）解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为．
（2）解：设点，对于二次函数，当时，，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，，，轴，轴，，∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，解得或或或，则点的横坐标为1或2或或．
（3）解：①如图，当Q在BC下方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，设点的坐标为，则，解得，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得，解得或（即为点），则此时点的坐标为；②如图，当Q在BC上方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，同理可得：此时点的坐标为，综上，存在这样的点，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法确定出函数的解析式是解本题的关键．
实战演练
一、选择题（共4小题）
1．（2022·全国·九年级期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（     ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象可以得到、的正负情况，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决．
【详解】解：由二次函数的图象可得，，，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断出系数的符号，再利用数形结合的思想解答．
2．（2022·全国·九年级期末）如图，是二次函数的图象，则下列结论正确的个数有（       ）
①；②；③二次函数最小值为；④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据抛物线与x轴的交点得到方程ax2+bx+c=0有两个根为-1，3，根据根与系数的关系可对①进行判断；由于x=-2时，y＞0，得到4a-2b+c＞0，然后把b=-2a代入计算，则可对②进行判断；由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴方程为x=1可对③进行判断；根据x=-1时，y=a-b+c=0，以及b=-2a，计算可对④进行判断．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点（-1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0有两个根为-1，3，
∴-1×3=-3<0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-==1，
∴b=-2a，
∵x=-2，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，
∴8a+c＞0，故②不正确；
∵二次函数的图象经过点（-1，0），（3，0），
∴二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3)，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，二次函数有最小值，最小值为y= a(1+1)(1-3)=-4a，故③不正确；
∵x=-1时，y=ax2+bx+c=a-b+c=0，
而b=-2a，即a=-b，
∴-b-b+c=0，
整理得2c-3b=0，故④不正确；
综上，只有①正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟知二次函数的图象与系数的关系．
3．（2022·全国·九年级期末）如图，点P，Q从边长为2的等边三角形的点B出发，分别沿着，两边以相同的速度在的边上运动，当两点在边上运动到重合时停止．在此过程中，设点P，Q移动过程中各自的路程为x，所得的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（       ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分0≤x≤2和2＜x≤3两部分讨论，当0≤x≤2时，得到，由于当2＜x≤3时，四个选项图象相同，根据二次函数图象与性质即可求解．
【详解】解：如图，当0≤x≤2时，作QD⊥BP，垂足为D，
由题意得△BPQ是等边三角形，
∴BD=BP=x，
∴QD，
∴，
∴当0≤x≤2时，y是x的二次函数，且开口向上，对称轴为y轴，
由于当2＜x≤3时，图象相同，
∴A选项符合条件．

故选：A
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的图象与性质等知识，理解题意，分类讨论，得到y与x的函数关系式进而确定图象是解题关键．
4．（2022·山东日照·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由对称轴为即可判断①；根据点，（3，y2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点（-1，0），得出a-b+c=0，对称轴，得出，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④．
【详解】解：∵对称轴，
∴b=-3a，
∴3a+b=0，①正确；
∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离，
∴y1 ∵经过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∵对称轴，
∴，
∴，
∴3c=4b，
∴4b-3c=0，故③错误；
∵对称轴，
∴点（0，c）的对称点为（3，c），
∵开口向上，
∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（共4小题）
5．（2022·全国·九年级期末）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．

【答案】
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x=-1代入解析式求解．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴-＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，-2），
∴c=-2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c=0，
∴a+b=2，b=2-a，
∴y=ax2+（2-a）x-2，
当x=-1时，y=a+a-2-2=2a-4，
∵b=2-a＞0，
∴0＜a＜2，
∴-4＜2a-4＜0，
故答案为：-4＜m＜0．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
6．（2022·全国·九年级期末）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．

【答案】         
【分析】根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．
【详解】根据题意，得-45+3m+n=0，，
∴ ，
∴ ，
解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
∴，
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；
∴w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
当时，的取值范围是
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；
∴w=，w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．
7．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．

【答案】8
【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立可求出，，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为，
将（4，0）代入可得，
解得h=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
8．（2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线，，，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点；②抛物线的对称轴可由抛物线的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．

【答案】①②④
【分析】根据抛物线图象性质及配方法解题．
【详解】将分别代入抛物线，，中，可知，这三条抛物线都经过点C，故①正确；
抛物线的对称轴为，
抛物线的对称轴为，可由向右平移1个单位而得到，故②正确；
抛物线的顶点为A
抛物线的顶点为B
抛物线的顶点为C
，

三条抛物线的顶点不在同一条直线上，故③错误；
将分别代入三条抛物线，得0或1，0或2，0或3，
可知，相邻两点之间的距离相等，故④正确，
综上所述，正确的是①②④，
故选：①②④．
【点睛】本题考查二次函数的性质，其中涉及将一般式化为顶点式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
三、简答题（共2小题）
9．（2022·全国·九年级期末）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．

(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)
(2)2或6m
【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；
（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
（2）由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
10．（2022·青海西宁·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作轴于点，将沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．

(1)求抛物线解析式；
(2)连接BE，求的面积；
(3)拋物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)存在，或
【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合运用待定系数法求解即可；
（2）先确定点B的坐标，然后确定直线AB的解析式，进而确定、、，最后根据结合三角形的面积公式即可解答；
（3）先说明是等腰直角三角形，设点P的坐标为，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可．
【详解】（1）解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处
∴
把A，E两点坐标代入得，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线与y轴交于点B
∴令时，
∴
设直线AB的解析式为
把A，B两点坐标代入得解得
∴直线AB的解析式为；
∴点C在直线AB上轴于点
当时
∴
∴
∴，，
∴
∴的面积是2．
（3）解：存在，理由如下：
∵，
∴
在中
∴是等腰直角三角形
∵点P在抛物线上
∴设点P的坐标为

①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M
在中∵∴
即解得（舍去）
当时
∴
②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N
在中
∴
∴
∴解得（舍去）
当时
∴
综上，符合条件的P点坐标是或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及求二次函数的性质、二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键．