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    2022-2023学年数学九年级上册 第二十二章 二次函数(知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练)(原卷版)

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    初中沪科版21.1 二次函数精品习题

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    这是一份初中沪科版21.1 二次函数精品习题,共14页。试卷主要包含了二次函数的定义,二次函数的解析式,抛物线的性质,二次函数与一元二次方程等内容,欢迎下载使用。
    【单元复习】第二十二章 二次函数知识精讲 第二十二章   二次函数一、二次函数的定义:1.定义:一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质1)抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是.2)函数的图像与的符号关系.①当抛物线开口向上顶点为其最低点;②当抛物线开口向下顶点为其最高点.3)顶点是坐标原点,对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.二、二次函数的解析式①一般式:(abc为常数),则称yx的二次函数。②顶点式:③交点式(与x轴):三、抛物线的性质①二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。abc为常数,a0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。a还可以决定开口大小,a越大开口就越小,a越小开口就越大。③抛物线是轴对称图形。对称轴为直线.④对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0⑤抛物线有一个顶点P,坐标为P (),当时,Py轴上;当时,Px轴上。⑥二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。⑦一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:.ab同号时(即ab0),对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以ab要同号.ab异号时(即ab0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以ab要异号事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。⑧常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0c⑨二次函数的增减性抛物线,若a>0,当时,yx的增大而减小;当时,yx的增大而增大.若a<0,当时,yx的增大而增大;当时,yx的增大而减小.抛物线的最值:如果a>0(a<0),则当时,y最小()=三、二次函数(各式中,a0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标开口向上开口向下轴)0,0轴)(0,)(,0)(,)() 四、二次函数与一元二次方程二次函数(以下称函数)y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),)此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根;函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。抛物线的图象与坐标轴的交点:Δ>0,图象与x轴交于两点:(0)和(0);Δ=0,图象与x轴交于一点:(0);Δ<0,图象与x轴无交点;五.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知xy的三对对应值时,可设解析式为一般形式:    (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:  (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:六.二次函数的应用二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.考点例析 【考点1】二次函数的图像和性质【例12022·全国·九年级期末)已知抛物线y=mx2+nx和直线y=mx+n在同一坐标系内的图像如图,其中正确的是(          ABCD【答案】D【分析】本题可先由二次函数图像得到字母系数的正负,再与一次函数的图像相比较看是否一致.逐一排除.【详解】解:A.由二次函数的图像可知m0,此时直线ymx+n应经过二、四象限,故可排除;B.由二次函数的图像可知m0,对称轴在y轴的右侧,可知mn异号,n0,此时直线ymx+n应经过一、三、四象限,故可排除;C.由二次函数的图像可知m0,对称轴在y轴的右侧,可知mn异号,n0,此时直线ymx+n应经过一、二、四象限,故可排除;D.观察二次函数的图像可知m0n0,直线ymx+n应经过一、三、四象限,符合题意.故选:D【点睛】本题主要考查了一次函数图像与二次函数图像,应该熟记一次函数ymx+n在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等.【考点2】二次函数与一元二次方程【例22022·全国·九年级期末)已知二次函数)的图象如图所示,对称轴为直线,与轴的一个交点为.给出下列结论:图象与轴的另一个交点为时,的增大而减小;不等式的解集是.其中正确结论的个数是(       A4 B3 C2 D1【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】解:由图象可知:抛物线与x轴有两个交点,,故错误;时,,由图象可知当时,,故正确;关于直线x=1的对称点为,故正确;时,由图象可知y先随x的增大而增大,再随x的增大而减小,故错误;由图象及可知,抛物线与x轴的交点为时,,故错误;综上,有是正确的,故有2个正确的,故选:C【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质,掌握抛物线的位置与系数abc的关系是正确判断的关键.【考点3】实际问题与二次函数【例32022·全国·九年级期末)如图,等边的边长为,动点P从点A出发,以每秒的速度,沿ABCA的方向运动,当点P回到点A时运动停止.设运动时间为x(秒),,则y关于x的函数的图象大致为(        ABCD【答案】C【分析】过CCDAB于点D,然后可得cmcm,则分当点PAB上时,即时,时,即点P在线段BC上时,时,即点P在线段CA上,进而问题可求解.【详解】解:如图,过CCDAB于点Dcmcm当点PAB上时,cmcm该函数图象是开口向上的抛物线,对称轴为直线 时,即点P在线段BC上时,cm该函数的图象是在上的抛物线,且对称轴为 时,即点P在线段CA上,此时,cm该函数的图象是在上的抛物线,且对称轴为直线故选:C 【点睛】本题主要考查二次函数的应用,解题关键是分情况讨论,求出函数关系式.举一反三 一、选择题(共4小题)1.(2022·全国·九年级期末)二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标分别是(       A.向下,直线x=3(31) B.向上,直线x=3(3 1)C.向下,直线x=3(3,-1) D.向上,直线x=3(31)2.(2022·全国·九年级期末)如图,抛物线x轴相交于点,与y轴相交于点C,小红同学得出了以下结论:时,.其中正确的个数为(       A4 B3 C2 D13.(2022·全国·九年级期末)小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若,则杯子的高CE为(       A12 B11 C6 D34.(2022·辽宁鞍山·中考真题)如图,在中,,垂足为点,动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点,同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动.当点停止运动时,点也随之停止,连接,设运动时间为的面积为,则下列图象能大致反映之间函数关系的是(       A BC D二、填空题(共4小题)5.(2022·全国·九年级期末)在平面直角坐标.若点AB是抛物线上两点,若点AB的坐标分别为m______n(填”“”“6.(2022·全国·九年级期末)如图,抛物线轴于两点,交轴于点,点是抛物线上的点,则点关于直线的对称点的坐标为_________7.(2022·全国·九年级期末)如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度(单位:m)与飞行时间(单位:s)之间具有函数关系:,则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间_________s8.(2022·辽宁·中考真题)如图,抛物线x轴交于点和点,以下结论:时,yx的增大而减小.其中正确的结论有___________.(填写代表正确结论的序号)二、简答题(共2小题)9.(2022·浙江衢州·中考真题)如图1为北京冬奥会雪飞天滑雪大跳台赛道的横截面示意图.取水平线轴,铅垂线轴,建立平面直角坐标系.运动员以速度点滑出,运动轨迹近似抛物线.某运动员7次试跳的轨迹如图2.在着陆坡上设置点(与相距32m)作为标准点,着陆点在点或超过点视为成绩达标.(1)求线段的函数表达式(写出的取值范围).(2)时,着陆点为,求的横坐标并判断成绩是否达标.(3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关,进一步探究,测算得7 的对应数据,在平面直角坐标系中描点如图3猜想关于的函数类型,求函数表达式,并任选一对对应值验证.v为多少m/s时,运动员的成绩恰能达标(精确到1m/s)(参考数据:10.(2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+2经过A0),B3)两点,与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式;(2)P在抛物线上,过PPDx轴,交直线BC于点D,若以PDOC为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;(3)抛物线上是否存在点Q,使QCB45°?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.实战演练 一、选择题(共4小题)1.(2022·全国·九年级期末)二次函数的图象如图所示,则一次函数的图象大致是(     ).A B C D2.(2022·全国·九年级期末)如图,是二次函数的图象,则下列结论正确的个数有(       二次函数最小值为A1 B2 C3 D43.(2022·全国·九年级期末)如图,点PQ从边长为2的等边三角形的点B出发,分别沿着两边以相同的速度在的边上运动,当两点在边上运动到重合时停止.在此过程中,设点PQ移动过程中各自的路程为x,所得的面积为y,则yx变化的函数图象大致为(       ABCD4.(2022·山东日照·中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的部分图象如图所示,对称轴为,且经过点(-10).下列结论:①3a+b=0若点,(3y2)是抛物线上的两点,则y1<y2③10b-3c=0yc,则0≤x≤3.其中正确的有(       A1 B2 C3 D4二、填空题(共4小题)5.(2022·全国·九年级期末)抛物线y=ax2+bx+cabc为常数)的部分图象如图所示,设m=a-b+c,则m的取值范围是______6.(2022·全国·九年级期末)距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度(米)与物体运动的时间(秒)之间满足函数关系,其图像如图所示,物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动时间为3秒.设表示0秒到秒时的值的极差(即0秒到秒时的最大值与最小值的差),则当时,的取值范围是_________;当时,的取值范围是_________7.(2022·四川南充·中考真题)如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高时,水柱落点距O;喷头高时,水柱落点距O.那么喷头高_______________m时,水柱落点距O8.(2020·广西贵港·中考真题)如图,对于抛物线,给出下列结论:这三条抛物线都经过点抛物线的对称轴可由抛物线的对称轴向右平移1个单位而得到;这三条抛物线的顶点在同一条直线上;这三条抛物线与直线的交点中,相邻两点之间的距离相等.其中正确结论的序号是_______________三、简答题(共2小题)9.(2022·全国·九年级期末)小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水头P距地面0.7m,水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高,最高点距地面3.2m;建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为,其中xm)是水柱距喷水头的水平距离,ym)是水柱距地面的高度.(1)求抛物线的表达式.(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3m,身高1.6m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.10.(2022·青海西宁·中考真题)如图,抛物线x轴交于点y轴交于点B,点C在直线AB上,过点C轴于点,将沿CD所在直线翻折,使点A恰好落在抛物线上的点E处.(1)求抛物线解析式;(2)连接BE,求的面积;(3)拋物线上是否存在一点P,使?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
 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