云南省宣威市第三中学2023-2024学年高三上学期开学收心考试数学试题

高三年级上学期开学收心测试卷

数    学

时间：120分钟   满分：150分

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．的实部与虚部之和为（    ）

A． B． C． D．

3．记为等差数列的前n项和。若，，则（    ）

A．4 B．24 C．30 D．32

4．已知向量，，，若，则（    ）

A． B． C．3 D．0

5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水。天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸。若盆中积水体积为盆体积的一半，则平地降雨量约是（    ）寸。（结果四舍五入取整数）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．已知，则（    ）

A． B．3 C． D．

7．用五个5和两个2组成一个7位数，则组成的7位数中两个2不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

8． ，，，则，，的大小关系是（    ）

A．c>b>a    B．b>c>a        C．c>a>b    D．a>b>c

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．若，则（    ）

A．  B．         C．    D．

10．已知函数的图象关于直线轴对称，则（    ）

A．函数的图象关于点中心对称

B．函数在区间上是增函数

C．函数的导函数为

D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到

11．已知O为坐标原点，抛物线C：的准线方程为，过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则（    ）

A．若，则

B．若，则直线l的斜率为1

C．

D．ΔOAB面积的最小值为2

12．已知正三棱锥的四个顶点在球的球面上，E，F分别是PA，AB的中点，且，与该三棱锥的四个面都相切的球记为球，则（    ）

A．三棱锥的表面积为 B．球的表面积为

C．球的体积为 D．球的半径为

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在的展开式中，的系数为            。（用数字作答）

14．圆C：的圆心到直线l：的距离为，则a的值为     。

15．经过原点与曲线相切的切线方程为          。

16．过双曲线的左焦点作一条直线l交双曲线左支于P､Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是           。

四､解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤。

17．（10分）ΔABC内角的对边分别为，且。

(1)求角；

(2)若，ΔABC的面积为，求ΔABC的周长。

18．（12分）某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的120名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据（单位：人）：

根据上述信息，解决下列问题：

(1)根据小概率值的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；

(2)从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人。现从6人中随机抽取2人，若所选2名观众中女性人数为X，求X的分布列及数学期望。

附：，其中。

19．（12分）在等差数列中，，。

(1)求数列的通项公式；

(2)设，为数列的前n项和，若，求n的值。

20．（12分）已知正四棱柱中，。

(1)求证：；

(2)求直线与所成角的余弦值；

(3)求直线与平面夹角的正弦值。

21．（12分）已知椭圆C：（）离心率为，短轴长为2，双曲线E：的离心率为，且。

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，线段的垂直平分线交直线l：于点M，交直线于点N，当最小时，求直线的方程。

22．（12分）已知函数。

(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；

(2)若，证明：当时，。

参考数据：，。

1．C  【分析】解不等式,可得集合A与集合B,根据交集运算即可得解.

【详解】集合，

解不等式,可得，

所以  所以选C

【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集运算,注意分式不等式分母不为0的限制要求,属于基础题.

2．A  【分析】根据复数的除法运算化简，确定实部和虚部，即可得答案.

【详解】由题意得，

故的实部与虚部之和为，  故选：A

3．C  【分析】由等差数列通项公式和前n项和公式，列方程组解出数列首项和公差，可求的值.

【详解】设等差数列公差为，则有，

解得，所以.  故选：C

4．B  【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示，列方程求的值.

【详解】，

，则有，解得.  故选：B

5．C  【分析】根据圆台的体积公式求得天池盆的体积，即可求得盆中积水的体积，根据平地降雨量的含义即可求得答案.

【详解】由题意可知天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，

则天池盆体积为（立方寸）

故盆中积水体积为（立方寸），

故平地降雨量约为（寸）， 故选：C

6．C  【分析】由两角和的正切公式变形后求得，由诱导公式变形后，利用商数关系变形可得．

【详解】由，解得，则. 故选：C．

7．D  【分析】先求出用五个5和两个2组成一个7位数，总的排法数，再求出组成的7位数中两个2不相邻的排法数，根据古典概型的概率公式即可得答案.

【详解】由题意可知五个5和两个2组成一个7位数，可看作7个位置，

先排2，有种排法，其余位置排5，此时共有种排法；

而组成的7位数中两个2不相邻，可采用插空法，

即五个5先排，只有一种排法，在形成的6个空中选2个排2，有种排法，

故用五个5和两个2组成一个7位数，则组成的7位数中两个2不相邻的概率为，

故选：D

8．A

【详解】由题意得     

,选A

9．BC  【分析】由不等式的性质，指数函数、对数函数和幂函数的性质，判断不等式是否成立.

【详解】需要，不能满足，A选项错误；

由指数函数的性质，当时，有，B选项正确；

由幂函数的性质，当时，有，即，C选项正确；

当时，满足，但不成立，D选项错误.   故选：BC

10．BD  【分析】根据函数的图象关于直线轴对称，可确定，即得的表达式，将代入中可判断A；根据，确定，结合正弦函数的单调性可判断B；根据正弦函数以及复合函数的求导法则可判断C；根据三角函数图象的平移变换可判断D.

【详解】由题意函数的图象关于直线轴对称，

则，

因为，故，即，

对于A，将代入，得，

即，故函数的图象关于点中心对称，A错误；

对于B，当时，，

因为正弦函数在上单调递增，

故在区间上是增函数，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，函数的图象向右平移个单位长度得到，即函数的图象，D正确，   故选：BD

11．ACD  【分析】由抛物线准线方程可求得抛物线方程，利用焦半径公式可求得A点坐标，即可判断A；设直线l的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，结合求得，即可求得直线斜率，判断B；利用焦半径公式结合基本不等式可判断C；表示出面积，结合基本不等式求得其最小值，判断D.

【详解】因为抛物线C：的准线方程为，故,

故，焦点为，设，

对于A，，代入得，即

故，A正确；

对于B，，则，

当直线为时，，由此可判断时，直线l的斜率存在且不等于0，

设直线l的方程为，联立可得：，

故，解得，满足，故B错误；

对于C，由B的分析可知，当直线为时，也有成立；

故，

当且仅当即时，取得等号，C正确；

对于D，不妨设A点在第一象限，则，

故的面积，

则，

当且仅当时等号成立，即面积的最小值为2，D正确，  故选：ACD

12．BD  【分析】利用CE⊥EF得到正三棱锥的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，，根据棱锥的表面积公式计算判断A；正三棱锥的外接球的就是棱长为的正方体的外接球，求出其半径，根据球的表面积及体积公式可判断BC；利用体积法求出球的半径可判断D.

【详解】取AC的中点M，连接PM，BM，

∵PA＝PC，AB＝BC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，

又BM∩PM＝M，BM，PM面PBM，∴AC⊥面PBM，

∵PB面PBM，∴AC⊥PB，

∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，

∵EF⊥CE，∴PB⊥CE，

∵AC∩CE＝C，AC，CE面PAC，∴PB⊥面PAC，

∵PA，PC面PAC，∴PB⊥PA，PB⊥PC，

从而得到正三棱锥的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，

则正三棱锥中，，

三棱锥的表面积为，故A错误；

正三棱锥的外接球的就是棱长为的正方体的外接球，其半径

球的表面积为，故B正确；

球的体积，故C错误；

设球的半径为，则，

即，则，故D正确．  故选：BD．

【点睛】方法点睛：求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，外接球半径的常见求法有：

（1）若同一顶点的三条棱两两垂直，则（为三条棱的长）；

（2）若面，，则（为外接圆半径）；

（3）可以转化为长方体的外接球；

（4）特殊几何体可以直接找出球心和半径．

13．  【分析】由题设可得展开式通项为，进而确定含项的r值，即可求其系数.

【详解】由题设，展开式通项为，

所以，令有，则的系数为.  故答案为：

14．1  【分析】直接利用点到直线的距离公式求出结果．

【详解】解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为：（1，0），

则：圆心（1，0）到直线x﹣y+a＝0的距离d，

解得：a＝1或﹣3．又  ∴a＝1  故答案为1．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离，考查计算能力，属于基础题.

15．  【分析】首先根据题意设出切点坐标，再根据导数的几何意义即可求出切线方程.

【详解】设切点为，又，

，切线为：.

因为切线在切线上，

所以，，.

切线方程为.  故答案为：

【点睛】本题主要考查导数的几何意义中的切线问题，要注意过点处的切线和在点处的切线问题，属于中档题.

16．12  【分析】根据双曲线的定义，求得，即可求得的周长.

【详解】根据题意，作图如下：

由双曲线定义可知：，，

故，

故的周长为.  故答案为：12.

17．(1)  (2)

【分析】（1）由二倍角的正弦公式可求出结果；

（2）由面积公式列式求出，再由余弦定理求出即可得ΔABC的周长.

【详解】（1）由，得，

因为，，所以，所以.

（2）因为，所以，

由，得，得.

所以.

故ΔABC的周长为.

18．(1)不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关

(2)分布列见解析；

【分析】（1）计算的值，与临界值表比较，可得结论；

（2）确定随机抽取6人中男性和女性的人数，进而确定随机变量X的可能取值，求得每个值对应的概率，可得分布列，根据期望公式可求得数学期望.

【详解】（1）由题意得，

故根据小概率值的独立性检验，不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关；

（2）由题意知从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，

由于不喜欢该影片的观众中男性与女性的比例为，

故随机抽取6人中有4名男性和2名女性，

故X的取值可能为0，1，2，

则，

故X的分布列为：

故

19．（1）；（2）．

【解析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解.

（2）利用裂项求和法即可求解.

【详解】（1）设等差数列的公差是d，

由，

得：，解得，

所以；

（2）由（1）知，

，

所以，

由，解得．

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

20．（1）证明见解析（2）（3）

【解析】（1）通过证明平面，可得；

（2）设直线与所成角为，，根据计算可得解；

（3）转化为求直线与平面夹角的正弦值，求出和点到平面的距离后可求得结果.

【详解】（1）因为平面，所以，

又底面为正方形，所以，且，

所以平面，所以.

（2）设直线与所成角为，，

因为，，

，

所以，

所以直线与所成角的余弦值为.

（3）因为，所以直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面夹角的正弦值，因为，平面，所以平面，

所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

因为平面，所以平面平面，

所以点到平面的距离等于直角三角形的斜边上的高，且，

所以点到平面的距离等于，又，

所以直线与平面夹角的正弦值为，

所以直线与平面夹角的正弦值为.

【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了转化化归思想，考查了直线与平面所成角的定义求法，考查了异面直线所成角的向量求法，属于中档题.

21．(1)  (2)或

【分析】（1）由题意，由离心率可得，从而求出，得出答案.

（2）由题意直线的斜率存在且为零时，不满足题意，设直线的方程为，则，求出的长，将直线的方程与椭圆方程联立，由弦长公式得出，在中，有，从而得出答案.

【详解】（1）双曲线的离心率，由，则，其中，所以，

即椭圆方程为：

（2）当直线的斜率存在且为零时，其垂直平分线与直线l平行，不满足题意，

故直线的斜率不为零，可设直线的方程为，，，.

联立直线与椭圆C的方程，消去x得，

由一元二次方程根与系数的关系可得，

则，

由，则，

又

则

当且仅当，即时取等号.此时直线的方程为或.

故当最小时，直线的方程为或.

22．(1)  (2)证明见解析

【分析】（1）求得导数，由题意转化为在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.

（2）由（1）知函数在递减，在递增，得到存在，使得，得出函数单调性和最小值，结合和二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，函数，可得，

因为函数在递增，所以恒成立，

即在上恒成立，

设，可得，

令，即，解得，

当时，；当时，，

故函数在递减，在递增，

故时，取得最小值，所以故，

故的范围是；

（2）证明：若，则，得，

由（1）知函数在递减，在递增，

又由，，，

则存在，使得，即，

当时，，当时，，

则函数在递减，在递增，

则当时，函数取最小值，

故当时，，

由，得，

则，

因为，

则，

故时，．