云南省宣威市2024届高三数学上学期开学收心考试试题含解析

这是一份云南省宣威市2024届高三数学上学期开学收心考试试题含解析，共18页。试卷主要包含了 若集合，，则等于， 的实部与虚部之和为， 记为等差数列的前n项和， 已知向量，，，若，则， 已知，则， ，，，则，，的大小关系是， 若，则等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式,可得集合A与集合B,根据交集运算即可得解.
【详解】集合，
解不等式,可得，
所以
所以选C
【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集运算,注意分式不等式分母不为0的限制要求,属于基础题.
2. 的实部与虚部之和为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简，确定实部和虚部，即可得答案.
【详解】由题意得，
故的实部与虚部之和为，
故选：A
3. 记为等差数列的前n项和.若，，则（）
A. 4B. 24C. 30D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列通项公式和前n项和公式，列方程组解出数列首项和公差，可求的值.
【详解】设等差数列公差为，则有，
解得，所以.
故选：C
4. 已知向量，，，若，则（）
A. B. C. 3D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示，列方程求的值.
【详解】，
，则有，解得.
故选：B
5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水体积为盆体积的一半，则平地降雨量约是（）寸.（结果四舍五入取整数）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆台的体积公式求得天池盆的体积，即可求得盆中积水的体积，根据平地降雨量的含义即可求得答案.
【详解】由题意可知天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，
则天池盆体积为（立方寸）
故盆中积水体积为（立方寸），
故平地降雨量约为（寸），
故选：C
6. 已知，则（）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两角和的正切公式变形后求得，由诱导公式变形后，利用商数关系变形可得．
【详解】由，解得，则.
故选：C．
7. 用五个5和两个2组成一个7位数，则组成的7位数中两个2不相邻的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出用五个5和两个2组成一个7位数，总排法数，再求出组成的7位数中两个2不相邻的排法数，根据古典概型的概率公式即可得答案.
【详解】由题意可知五个5和两个2组成一个7位数，可看作7个位置，
先排2，有种排法，其余位置排5，此时共有种排法；
而组成的7位数中两个2不相邻，可采用插空法，
即五个5先排，只有一种排法，在形成的6个空中选2个排2，有种排法，
故用五个5和两个2组成一个7位数，则组成的7位数中两个2不相邻的概率为，
故选：D
8. ，，，则，，的大小关系是
A. c>b>aB. b>c>aC. c>a>bD. a>b>c
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得
,选A
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由不等式的性质，指数函数、对数函数和幂函数的性质，判断不等式是否成立.
【详解】需要，不能满足，A选项错误；
由指数函数的性质，当时，有，B选项正确；
由幂函数的性质，当时，有，即，C选项正确；
当时，满足，但不成立，D选项错误.
故选：BC
10. 已知函数的图象关于直线轴对称，则（）
A. 函数的图象关于点中心对称
B. 函数在区间上是增函数
C. 函数的导函数为
D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的图象关于直线轴对称，可确定，即得的表达式，将代入中可判断A；根据，确定，结合正弦函数的单调性可判断B；根据正弦函数以及复合函数的求导法则可判断C；根据三角函数图象的平移变换可判断D.
【详解】由题意函数的图象关于直线轴对称，
则，
因为，故，即，
对于A，将代入，得，
即，故函数的图象关于点中心对称，A错误；
对于B，当时，，
因为正弦函数在上单调递增，
故在区间上是增函数，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，函数图象向右平移个单位长度得到，即函数的图象，D正确，
故选：BD
11. 已知O为坐标原点，抛物线C：的准线方程为，过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则（）
A. 若，则
B. 若，则直线l的斜率为1
C.
D. 面积的最小值为2
【答案】ACD
【解析】
【分析】由抛物线准线方程可求得抛物线方程，利用焦半径公式可求得A点坐标，即可判断A；设直线l方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，结合求得，即可求得直线斜率，判断B；利用焦半径公式结合基本不等式可判断C；表示出面积，结合基本不等式求得其最小值，判断D.
【详解】因为抛物线C：准线方程为，故,
故，焦点为，设，
对于A，，代入得，即
故，A正确；
对于B，，则，
当直线为时，，由此可判断时，直线l的斜率存在且不等于0，
设直线l的方程为，联立可得：，
故，解得，满足，故B错误；
对于C，由B的分析可知，当直线为时，也有成立；
故，
当且仅当即时，取得等号，C正确；
对于D，不妨设A点在第一象限，则，
故的面积，
则，
当且仅当时等号成立，即面积的最小值为2，D正确，
故选：ACD
12. 已知正三棱锥的四个顶点在球的球面上，E，F分别是PA，AB的中点，且，与该三棱锥的四个面都相切的球记为球，则（ ）
A. 三棱锥的表面积为B. 球的表面积为
C. 球的体积为D. 球的半径为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用CE⊥EF得到正三棱锥的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，，根据棱锥的表面积公式计算判断A；正三棱锥的外接球的就是棱长为的正方体的外接球，求出其半径，根据球的表面积及体积公式可判断BC；利用体积法求出球的半径可判断D.
【详解】取AC的中点M，连接PM，BM，
∵PA＝PC，AB＝BC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，
又BM∩PM＝M，BM，PM面PBM，∴AC⊥面PBM，
∵PB面PBM，∴AC⊥PB，
∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，
∵EF⊥CE，∴PB⊥CE，
∵AC∩CE＝C，AC，CE面PAC，∴PB⊥面PAC，
∵PA，PC面PAC，∴PB⊥PA，PB⊥PC，
从而得到正三棱锥的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，
则正三棱锥中，，
三棱锥的表面积为，故A错误；
正三棱锥的外接球的就是棱长为的正方体的外接球，其半径
球的表面积为，故B正确；
球的体积，故C错误；
设球的半径为，则，
即，则，故D正确．
故选：BD．
【点睛】方法点睛：求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，外接球半径的常见求法有：
（1）若同一顶点的三条棱两两垂直，则（为三条棱的长）；
（2）若面，，则（为外接圆半径）；
（3）可以转化为长方体的外接球；
（4）特殊几何体可以直接找出球心和半径．
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在的展开式中，的系数为____________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】由题设可得展开式通项为，进而确定含项的r值，即可求其系数.
【详解】由题设，展开式通项为，
所以，令有，则的系数为.
故答案为：
14. 圆C：的圆心到直线l：的距离为，则a的值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】直接利用点到直线的距离公式求出结果．
【详解】解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为：（1，0），
则：圆心（1，0）到直线x﹣y+a＝0的距离d，
解得：a＝1或﹣3．又
∴a＝1
故答案为1．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离，考查计算能力，属于基础题.
15. 经过原点与曲线相切的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意设出切点坐标，再根据导数的几何意义即可求出切线方程.
【详解】设切点为，又，
，切线为：.
因为切线在切线上，
所以，，.
切线方程为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查导数的几何意义中的切线问题，要注意过点处的切线和在点处的切线问题，属于中档题.
16. 过双曲线的左焦点作一条直线l交双曲线左支于P､Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________.
【答案】12
【解析】
【分析】根据双曲线的定义，求得，即可求得的周长.
【详解】根据题意，作图如下：
由双曲线定义可知：，，
故，
故的周长为.
故答案为：12.
四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．
17. 内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角的正弦公式可求出结果；
（2）由面积公式列式求出，再由余弦定理求出即可得的周长.
【小问1详解】
由，得，
因为，，所以，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
由，得，得.
所以.
故的周长为.
18. 某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的120名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据（单位：人）：
根据上述信息，解决下列问题：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；
（2）从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人.现从6人中随机抽取2人，若所选2名观众中女性人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：，其中.
【答案】（1）不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关
（2）分布列见解析；
【解析】
【分析】（1）计算的值，与临界值表比较，可得结论；
（2）确定随机抽取6人中男性和女性的人数，进而确定随机变量X的可能取值，求得每个值对应的概率，可得分布列，根据期望公式可求得数学期望.
【小问1详解】
由题意得，
故根据小概率值的独立性检验，不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关；
【小问2详解】
由题意知从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，
由于不喜欢该影片的观众中男性与女性的比例为，
故随机抽取6人中有4名男性和2名女性，
故X的取值可能为0，1，2，
则，
故X的分布列为：
故
19. 在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，若，求n的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式即可求解.
（2）利用裂项求和法即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差是d，
由，
得：，解得，
所以；
（2）由（1）知，
，
所以，
由，解得．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
20. 已知正四棱柱中，，．
（1）求证：；
（2）求直线与所成角的余弦值；
（3）求直线与平面夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明、可证明平面，再由线面垂直的性质即可求证；
（2）证明四边形是平行四边形，可得，即为异面直线与所成角，在中求的值即可求解；
（3）转化为求直线与平面夹角的正弦值，求出和点到平面的距离后可求得结果．
【小问1详解】
因为平面，所以，
又因为底面为正方形，所以，且，
所以平面，所以，
【小问2详解】
因为，，所以四边形是平行四边形，可得，
所以即为异面直线与所成角，
所以，，
所以是等腰三角形，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为.
【小问3详解】
因为，
所以直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面夹角的正弦值，
因为，平面，所以平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为平面，面，所以平面平面，
所以点到平面的距离等于直角三角形的斜边上的高，
且，
所以点到平面的距离等于，又因为，
所以直线与平面夹角的正弦值为，
所以直线与平面夹角的正弦值为．
21. 已知椭圆C：（）离心率为，短轴长为2，双曲线E：的离心率为，且.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，线段的垂直平分线交直线l：于点M，交直线于点N，当最小时，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由题意，由离心率可得，从而求出，得出答案.
（2）由题意直线的斜率存在且为零时，不满足题意，设直线的方程为，则，求出的长，将直线的方程与椭圆方程联立，由弦长公式得出，在中，有，从而得出答案.
【小问1详解】
双曲线的离心率，由，则，其中，所以，
即椭圆方程为：
【小问2详解】
当直线的斜率存在且为零时，其垂直平分线与直线l平行，不满足题意，
故直线的斜率不为零，可设直线的方程为，，，.
联立直线与椭圆C的方程，消去x得，
由一元二次方程根与系数的关系可得，
则，
由，则，
又
则
当且仅当，即时取等号.此时直线的方程为或.
故当最小时，直线方程为或.
22. 已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，证明：当时，．
参考数据：，．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求得导数，由题意转化为在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.
（2）由（1）知函数在递减，在递增，得到存在，使得，得出函数单调性和最小值，结合和二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，函数，可得，
因为函数在递增，所以恒成立，
即在上恒成立，
设，可得，
令，即，解得，
当时，；当时，，
故函数在递减，在递增，
故时，取得最小值，所以故，
故的范围是；
【小问2详解】
证明：若，则，得，
由（1）知函数在递减，在递增，
又由，，，
则存在，使得，即，
当时，，当时，，
则函数在递减，在递增，
则当时，函数取最小值，
故当时，，
由，得，
则，
因为，
则，
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