云南省昆明市第九中学2024-2025学年高三上学期开学质量监测数学试题

这是一份云南省昆明市第九中学2024-2025学年高三上学期开学质量监测数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三年级数学 试题卷
（全卷满分150分,考试用时120分钟）
一、单选题
1．已知集合,则（ ）
A．B．0,1C．0,+∞D．
2．设为抛物线的焦点,若点在上,则（ ）
A．3B．C．D．
3．如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,则该四棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知等比数列中,则其前项的和的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．莱洛三角形,也称圆弧三角形,是一种特殊三角形,在建筑、工业上应用广泛．如图所示,分别以正三角形ABC的顶点为圆心,以边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形即为菜洛三角形,已知正三角形ABC的边长为1,点P为的中点,则的值为（ ）
A．1B．C．D．
7．设A,B是两个随机事件,且,,则下列正确的是（ ）
A．若,则A与B相互独立B．
C．D．A与B有可能是对立事件
8．已知双曲线的左右焦点分别为,过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点,若,则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知向量,其中均为正数,且,下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为
C． D．的最大值为2
10．已知函数的最小正周期为,则（ ）
A．的最大值为2
B．在上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．的图象可由的图象向右平移个单位得到
11．设函数,则（ ）
A．当时,有三个零点
B．当时,是的极大值点
C．存在a,b,使得为曲线的对称轴
D．存在a,使得点为曲线的对称中心
三、填空题
12．已知复数在复平面内对应的点的横坐标为2,则 .
13．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律,现把杨辉三角中的数从上到下,从左到右依次排列,得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,,记作数列,则 ；若数列的前项和为Sn,则 .
14．已知圆,过点作不过圆心的直线交圆于两点,则面积的最大值是 .
四、解答题
15．如图,三棱柱中,,,,点为的中点,且.
(1)求证：平面；
(2)若为正三角形,求与平面所成角的正弦值.
16．已知函数．
(1)当时,求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值,且极小值大于,求a的取值范围．
17．在平面直角坐标系中,已知点,动点满足直线与直线的斜率之积为,设点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)已知点,直线与轴交于点,直线与交于点,证明.
18．设某幼苗从观察之日起,第天的高度为,测得的一些数据如下表所示：
作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足头系式,其中,均为大于0的常数．
(1)试借助一元线性回归模型,根据所给数据,用最小二乘法对,作出估计,并求出关于的经验回归方程；
(2)在作出的这组数据的散点图中,甲同学随机圈取了其中的4个点,记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为,其中为表格中所给的幼苗高度的平均数,试求随机变量的分布列和数学期望．
附：对于一组数据,,…,,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,．
19．对于,若数列满足,则称这个数列为“K数列”．
(1)已知数列1,2m,是“K数列”,求实数m的取值范围．
(2)是否存在首项为-2的等差数列为“K数列”,且其前n项和使得恒成立?若存在,求出数列的通项公式；若不存在,请说明理由．
(3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”,数列不是“K数列”,若,试判断数列bn是否为“K数列”,并说明理由．
参考答案
1．【详解】，故.故选：D
2．【详解】依题意，，解得，所以的准线为，所以，故选:D．
3．【详解】根据几何体结构特征，将几何体补形为长方体，显然四棱锥的外接球即为长方体的外接球，所以外接球球心在中点处，又，故外接球半径，
所以.故选：D.
4．【详解】设等比数列的公比为，等比数列中，
，当时，；
当时，；.故选：D.
5．【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；
于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；
基本事件总数显然是，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为.故选：B
6．【详解】根据题意，以为坐标原点，所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为正的边长为1，且点为的中点，所以，点在以为圆心，为半径的圆上，
则,
所以，
则，所以.
故选：B.
7．【详解】对A：由，故，则有，
故与相互独立，故与相互独立，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，由未定，故C错误；
对D：，故与不是对立事件，故D错误.故选：A.
8．【详解】由题意知，点到渐近线的距离为，
所以，
因为，，所以，
所以，
因为，所以，
得，则，
在中，由正弦定理得，即，得，
由双曲线的定义知，所以，
在中，由余弦定理得，
即，整理得，即，
所以离心率为.故选：A
9．【详解】由题意，均为正数，，
A项，∵，∴与的夹角不为钝角，A错误；
B项，∵，∴向量在方向上的投影为，B错误；
C项，∵，，∴，即，C正确；
D项，∵，即，当且仅当时等号成立，∴的最大值为2，D正确；故选：CD.
10．【详解】易知，其最小正周期为，
所以，即，显然，故A正确；
令，
显然区间不是区间的子区间，故B错误；
令，则是的一个对称中心，故C正确；
将的图象向右平移个单位得到
，
故D正确.故选：ACD
11．【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
12．【详解】依题意，，
由复数在复平面内对应的点的横坐标为2，得，所以.故答案为：
13．【详解】由题意可知是第5行第4个数，所以；
使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列an中的项数为：
设位于第行，则：，解得：
且第行最后一项在数列an中的项数为：，
位于杨辉三角数阵的第行第个
而第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为
依此类推，第行各项的和为
故答案为：4，.
14．【详解】 如图，过点的直线不过圆心，所以该直线的斜率存在，设直线方程为，即，
所以圆心到该直线的距离为易得当时，，当直线经过圆心时，，故，
又因，故.
因时，可知函数单调递增，故.
即面积的最大值是.故答案为：.
15．【详解】（1）取中点，连接，
因为，是中点，
，
因为，是中点，
所以，
又，平面，
所以平面，又平面
又，平面
所以平面.
（2）因为为正三角形，所以.
过点作的延长线为轴，以为轴，
过点作的平行线为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
设平面的法向量为，则
令，得
设与平面所成角为，.
与平面所成角的正弦值为.
16．【详解】（1）当时，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）的定义域是，
，在上单调递增，
令，解得，所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以在处取得极小值，依题意，，
即，函数在上单调递增，且当时，，所以.
17．【详解】（1）由题意可设，且，则，
所以曲线的方程为.
（2）当，不妨取，满足曲线的方程，
则的方程为，可得，
此时可得，又，故；
当不垂直于时，设，则直线的方程为，
联立，得，
所以，则，
故，又，
故，即，所以，综上所述：.
18．【详解】（1）令，则，根据已知数据表得到如下表：
则，，
可得，
，
通过上表计算可得：，
因为回归直线过点，则，
所以y关于的回归方程.
（2）由题意可知：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天，所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为1，2，3，4，则有：
；；；；
所以随机变量的分布列为：
随机变量的期望值.
19．【详解】
（1）由题意得，且，解得，所以实数m的取值范围是．
（2）不存在．理由：假设存在等差数列an符合要求，设公差为d，则，
由得．
由题意，得对均成立，即．
当时，；
当时，恒成立，
因为，所以，与矛盾，
所以这样的等差数列an不存在．
（3）设数列an的公比为q，则．
因为an的每一项均为正整数，且，
所以在中，为最小项.
同理，中，为最小项.
由an为“K数列”，只需，即．
又因为不是“数列”，且为最小项，
所以，即．
由数列an的每一项均为正整数，可得，
所以或．
当时，，则．
令，则，
又，
所以为递增数列，即，
因为，
所以对于任意的，都有，即数列bn为“K数列”．
当时，，则．
因为，所以数列bn不是“K数列”．
综上所述，当时，，数列bn为“K数列”；
当时，，数列bn不是“K数列”．
第天
1
4
9
16
25
36
49
高度
0
4
7
9
11
12
13
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
D
D
B
B
A
A
CD
ACD
题号
11









答案
AD









x
y
1
2
3
4