四川省宣汉县某中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（含答案）

这是一份四川省宣汉县某中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省宣汉县某中学2022-2023学年八年级下学期期末
数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若a＞b，则下列不等式变形错误的是（　　）
A．a+5＞b+5 B．a﹣5＞b﹣5 C．﹣5a＞﹣5b D．＞
2．下列各组数中，不能作为一个直角三角形的三边长的是（　　）
A．5，12，13 B．1，，2 C．4，5，6 D．，1，
3．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
4．若分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（　　）
A．是原来的20倍 B．是原来的10倍
C．是原来的0.1倍 D．不变
5．如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿BC方向平移得到△DEF．若AB＝10cm，BE＝6cm，则图中阴影部分面积为（　　）

A．47cm2 B．48cm2 C．49cm2 D．50cm2
6．在平面直角坐标系xOy中，若已知点P（x+1，x），则下列结论一定不成立的是（　　）
A． B． C．OP＝1 D．
7．一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，n），则不等式（3+k）（　　）

A． B．
C． D．
8．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，若设原计划每天挖x米，那么求x时所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD，O是AC、BD的交点，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（　　）

A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上一点，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，连接BE，将AC平移得到DF（点A、C的对应点分别为点D、F），若AB＝3，BD＝2（　　）

A． B．6 C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．定义新运算：a※b＝1﹣ab，则不等式x※2＞﹣3的正整数解为 　 　．
12．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15cm2，AB＝8cm，BC＝12cm，则DE＝　 　cm．

13．已知x2﹣4x+1＝0，则x2+的值是 　 　．
14．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点　 　．

15．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O与AD、BC相交于点E、F，BC＝6，OF＝2　 　．

16．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，连接EF，下列结论：
①△AED≌△AEF；②BE+DC＝DE；③BE2+DC2＝DE2．
其中正确的是 　 　．（填序号）

三、解答题（共72分）
17．（8分）因式分解
（1）﹣2a3+12a2﹣18a
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
18．（8分）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．


19．（8分）先化简，再求值：，请在﹣1≤x≤1范围内选择一个你喜欢的整数x代入求值．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，使得CC'∥AB．
（1）请判断△ACC'的形状，并说明理由．
（2）求∠BAB'的度数．

21．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的三个顶点A（5，5），B（6，3），C（2，1）均在格点上．
（1）画出将△ABC向左平移8个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C，并写出点A2的坐标；
（3）求线段CA在旋转过程中扫过的面积．

22．（8分）在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动
（1）如图1，若点Q是BC上一定点，BQ＝6，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，△APQ为等边三角形？

23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，E为CD中点，使得EF＝EB，连接CF
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若，求AD的长．

24．（8分）我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，解答以下问题：
脐橙品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨脐橙获得（百元）
12
16
10
（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．
25．（8分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°得到线段DF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．
①若CE＝ED，求∠ECF的度数；
②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变（1）②中得出的结论是否发生改变，给出证明．



答案解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若a＞b，则下列不等式变形错误的是（　　）
A．a+5＞b+5 B．a﹣5＞b﹣5 C．﹣5a＞﹣5b D．＞
【分析】根据不等式的性质进行运算辨别即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a+5＞b+5，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣5，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣5a＜﹣7b，
∴选项C符合题意；
∵a＞b，
∴＞，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能根据不等式的变化正确选择对应的性质．
2．下列各组数中，不能作为一个直角三角形的三边长的是（　　）
A．5，12，13 B．1，，2 C．4，5，6 D．，1，
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵52+127＝25+144＝169，132＝169，
∴56+122＝132，
∴以三条线段2，12，
故A不符合题意；
B、∵12+（）2＝1+6＝4，24＝4，
∴12+（）2＝42，
∴以三条线段1，，2为边能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵45+52＝16+25＝41，52＝36，
∴43+52≠72，
∴以三条线段4，6，6为边不能组成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵12+（）8＝1+＝，（）2＝，
∴52+（）2＝（）2，
∴以三条线段1，，为边能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x﹣2）（x+b）利用多项式乘法法则展开即可求解．
【解答】解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣6x﹣2b＝x2+（b﹣4）x﹣2b＝x2﹣ax﹣8，
∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣5，
∴b＝0.5，a＝3.5，
∴a+b＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．
4．若分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（　　）
A．是原来的20倍 B．是原来的10倍
C．是原来的0.1倍 D．不变
【分析】依题意分别用10a和10b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：分式中的a，得＝，
故选：B．
【点评】本题考查了分式基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论
5．如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿BC方向平移得到△DEF．若AB＝10cm，BE＝6cm，则图中阴影部分面积为（　　）

A．47cm2 B．48cm2 C．49cm2 D．50cm2
【分析】先根据平移的性质得到DE＝AB＝10cm，△ABC≌△DEF，则S△ABC＝S△DEF，HE＝6cm，所以S阴影部分＝S梯形ABEH，然后根据梯形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴DE＝AB＝10cm，△ABC≌△DEF，
∴S△ABC＝S△DEF，HE＝DE﹣DH＝10﹣4＝6（cm），
即S梯形ABEH+S△CEH＝S△CEH+S阴影部分，
∴S阴影部分＝S梯形ABEH＝×（6+10）×7＝48（cm2）．
故选：B．
【点评】本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
6．在平面直角坐标系xOy中，若已知点P（x+1，x），则下列结论一定不成立的是（　　）
A． B． C．OP＝1 D．
【分析】根据勾股定理得到OP2＝（x+1）2+x2，再利用配方法求解OP2的最小值，再求解OP的最小值，从而可得答案．
【解答】解：由勾股定理可得：OP2＝（x+1）8+x2＝2x5+2x+1＝8（x+）7+，
当x＝﹣时，OP2有最小值，
∴OP的最小值为，
∴OP不能为，
∴A选项不符合题意，B，C，D都有可能，
故选：A．
【点评】本题考查的是配方法的应用，根据勾股定理列出方程、灵活运用配方法是解本题的关键．
7．一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，n），则不等式（3+k）（　　）

A． B．
C． D．
【分析】所求不等式移项整理后，结合图象及两直线的交点横坐标确定出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式（3+k）x≥b﹣1，
去括号得：4x+kx≥b﹣1，
移项得：kx+1≥﹣3x+b，
∵一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（5，
∴根据图象得：x≥3．
．
故选：B．
【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，以及两条直线相交或平行问题，利用了数形结合的思想．
8．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，若设原计划每天挖x米，那么求x时所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题的关键描述语是：“提前4天完成任务”；等量关系为：原计划用时﹣实际用时＝4．
【解答】解：原计划用时为：，实际用时为：，
根据题意，得：﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9．如图，在平行四边形ABCD，O是AC、BD的交点，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（　　）

A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，继而可根据△CDE的周长等于AD+CD＝11cm求得平行四边形的周长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∵△CDE的周长为11cm，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝11cm．
∴▱ABCD的周长为2（AD+CD）＝2×11＝22厘米，
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上一点，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，连接BE，将AC平移得到DF（点A、C的对应点分别为点D、F），若AB＝3，BD＝2（　　）

A． B．6 C． D．
【分析】旋转的性质可得BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝45°，由勾股定理得到BE，由“SAS”可证△ABE≌△DFA，可得BE＝AF，于是得到结论．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝，
∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，
∴BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝45°，∠DAE＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∴BE＝＝＝6；
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠BAE+∠DAC＝180°，
∵AC平移得到DF，
∴AC＝DF＝AB，AC∥DF，
∴∠ADF+∠DAC＝180°，
∴∠ADF＝∠BAE，
在△ABE和△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（SAS），
∴BE＝AF＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用性质性质解决问题是本题的关键
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．定义新运算：a※b＝1﹣ab，则不等式x※2＞﹣3的正整数解为 　1　．
【分析】根据新定义的运算得出1﹣2x＞﹣3，求出1﹣2x＞﹣3的正整数解即可．
【解答】解：根据新定义的运算方法可得，x※2＞﹣3，
解得x＜6，
而x＜2的正整数为1，
故答案为：6．
【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，理解新定义的运算是正确解答的关键，求出一元一次不等式的解集是得出正确答案的前提．
12．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15cm2，AB＝8cm，BC＝12cm，则DE＝　1.5　cm．

【分析】首先过点D作DF⊥BC于点F，由BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE＝DF，然后由S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF，求得答案．
【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，

∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∵AB＝8cm，BC＝12cm，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+DE•（AB+BC）＝15cm2，
∴DE＝8.5cm．
故答案为：1.5．
【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
13．已知x2﹣4x+1＝0，则x2+的值是 　14　．
【分析】利用完全平方公式将原式进行进行变形后，然后结合等式的性质将已知条件进行变形，从而利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式＝（x+）2﹣8，
∵x2﹣4x+5＝0，且由题意可得x≠0，
∴﹣＝7，
∴x+＝4，
∴原式＝22﹣2＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的结构是解题关键．
14．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点　45°　．

【分析】连接AE，BE，设AE与BD交于点F，根据勾股定理的逆定理先证明△ABE是等腰直角三角形，从而可得∠BAE＝45°，再根据题意可得∠AFD＝∠ADF，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：连接AE，BE，

由题意得：
AB2＝15+32＝10，
AE7＝12+72＝5，
EB2＝12+32＝5，
∴AE＝EB，BE6+AE2＝AB2，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∵BD∥EC，
∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠AFD＝∠ADF，
∵∠AFD是△ABF的一个外角，
∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°，
∴∠ADB﹣∠ABD＝45°，
故答案为：45°．

【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O与AD、BC相交于点E、F，BC＝6，OF＝2　15　．

【分析】先证明△AOE≌△COF，得出AE＝CF，OE＝OF＝2，可求得EF＝4，即可得出四边形ABFE的周长＝EF+AE+AB+BF＝EF+BC+AB，进而可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝5，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，OE＝OF＝2，
∴EF＝7，
∴四边形EFCD的周长＝CF+CD+DE+EF＝AE+DE++CD+EF＝EF+AD+CD＝4+6+6＝15．
故答案为：15．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，连接EF，下列结论：
①△AED≌△AEF；②BE+DC＝DE；③BE2+DC2＝DE2．
其中正确的是 　①③　．（填序号）

【分析】首先根据旋转的性质可得∠FAD＝90°，DC＝BF，∠FBE＝90°，AD＝AF，接下来结合全等三角形的判定定理可得△AED≌△AEF；然后利用全等三角形的性质与勾股定理进行解答即可．
【解答】解：∵△ADC绕点A顺时针90°旋转后，得到△AFB，
∴∠FAD＝90°，DC＝BF，AD＝AF．
∵∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴△AED≌△AEF（SAS），
∴EF＝ED．
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴BE2+DC2＝DE7．
∴①③正确．
故答案为：①③．
【点评】本题侧重考查关于旋转的题目，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质．
三、解答题（共72分）
17．（8分）因式分解
（1）﹣2a3+12a2﹣18a
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2a（a2﹣5a+9）＝﹣2a（a﹣8）2；
（2）原式＝（x﹣y）（9a6﹣4b2）＝（x﹣y）（5a+2b）（3a﹣2b）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（8分）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．


【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤4，
解不等式②得：x＞﹣3，
∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤7，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
19．（8分）先化简，再求值：，请在﹣1≤x≤1范围内选择一个你喜欢的整数x代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（+）
＝÷
＝•
＝，
在﹣1≤x≤4范围内的整数有﹣1，0，4，
∵x﹣1≠0，+1≠6，
∴x≠±1，
当x＝0时，原式＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，使得CC'∥AB．
（1）请判断△ACC'的形状，并说明理由．
（2）求∠BAB'的度数．

【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AC'，可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可得∠AC'C＝∠ACC'＝70°，由旋转的性质可求解．
【解答】解：（1）△ACC'是等腰三角形，理由如下：
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC'，
∴△ACC'是等腰三角形；
（2）∵CC'∥AB，
∴∠C'CA＝∠CAB＝70°，
∵AC＝AC'，
∴∠AC'C＝∠ACC'＝70°，
∴∠CAC'＝40°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，
∴∠CAC'＝∠BAB'＝40°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
21．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的三个顶点A（5，5），B（6，3），C（2，1）均在格点上．
（1）画出将△ABC向左平移8个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C，并写出点A2的坐标；
（3）求线段CA在旋转过程中扫过的面积．

【分析】（1）根据平移的性质即可画出图形；
（2）根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点A2的坐标；
（3）由勾股定理得CA＝5，再代入扇形面积公式即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C3即为所求；
（2）如图，△A2B2C即为所求，A7（6，﹣2）；

（3）由勾股定理得CA＝4，
∴线段CA在旋转过程中扫过的面积为＝．
【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，扇形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
22．（8分）在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动
（1）如图1，若点Q是BC上一定点，BQ＝6，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，△APQ为等边三角形？

【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；
（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴7﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴当t的值为7时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，

此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，

若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+6﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣8t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，E为CD中点，使得EF＝EB，连接CF
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若，求AD的长．

【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得CF∥AB，CF＝BD＝6，在△ABC中，∠ACB＝90°，，则，，解得AB＝8，即可求得AD的长．
【解答】（1）证明：∵点E为CD的中点，
∴CE＝DE．
∵EF＝EB，
∴四边形DBCF是平行四边形；

（2）解：∵四边形DBCF是平行四边形，
∴CF∥AB，CF＝BD＝6，
在△ABC中，∠ACB＝90°，，
∴，
由勾股定理得到AC6+BC2＝AB2，
∴，
解得：AB＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣4＝2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含30度角的直角三角形，利用直角三角形的性质求线段CG的长度是解答本题的关键．
24．（8分）我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，解答以下问题：
脐橙品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨脐橙获得（百元）
12
16
10
（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．
【分析】（1）等量关系为：车辆数之和＝20；
（2）关系式为：装运每种脐橙的车辆数≥4；
（3）总利润为：装运A种脐橙的车辆数×6×12+装运B种脐橙的车辆数×5×16+装运C种脐橙的车辆数×4×10，然后按x的取值来判定．
【解答】解：（1）根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，
那么装运C种脐橙的车辆数为（20﹣x﹣y），
则有：6x+5y+6（20﹣x﹣y）＝100
整理得：y＝﹣2x+20（1≤x≤5且为整数）；

（2）由（1）知，装运A、B，﹣2x+20，x．
由题意得：
解得：4≤x≤7
因为x为整数，
所以x的值为4，5，2，7，8，所以安排方案共有4种．
方案一：装运A种脐橙4车，B种脐橙12车；
方案二：装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，
方案三：装运A种脐橙2车，B种脐橙8车，
方案四：装运A种脐橙7车，B种脐橙5车，
方案五：装运A种脐橙8车，B种脐橙4车；

（3）设利润为W（百元）则：W＝7x×12+5（﹣2x+20）×16+7x×10＝﹣48x+1600
∵k＝﹣48＜0
∴W的值随x的增大而减小．
要使利润W最大，则x＝4，
故选方案一W最大＝﹣48×7+1600＝1408（百元）＝14.08（万元）
答：当装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，获利最大．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系．确定x的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键．
25．（8分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°得到线段DF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．
①若CE＝ED，求∠ECF的度数；
②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变（1）②中得出的结论是否发生改变，给出证明．

【分析】（1）①证明EF＝CE，由三角形外角和定理可求出答案；
②证得△GDA是等腰直角三角形，证得GF＝CE，∠HFG＝∠FCD，证明△CFE≌△FHG，可得出结论；
（2）由△EFD为等腰直角三角形，可得出GF＝CE，∠HFG＝∠FCE，证得△ECF≌△GFH，即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵FD＝ED，FD⊥ED，
∴△EFD为等腰直角三角形，
∴EF＝ED，
又∵CE＝ED，
∴EF＝CE，
∴∠CFE＝∠ECF，
∵∠CFE+∠ECF＝∠DEF＝45°，
∴∠EFC＝∠CFE＝22.2°，
②如图1，延长DF交AB于点G，

∵GD⊥CA，
∴∠GDA＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝45°，
∴△GDA是等腰直角三角形，
∴GD＝DA，
∵D是AC的中点，
∴DA＝CD，即GD＝CD，
∵ED＝FD，
∴GF＝GD﹣FD＝CD﹣ED＝CE，
∴∠DGA＝∠FED＝45°，
∴∠CEF＝180°﹣∠FED＝180°﹣∠DGA＝∠HGF＝135°，
∵∠HFG+∠CFD＝90°＝∠FCD+∠CFD，
∴∠HFG＝∠FCD，
在△CFE和△FHG中，
，
∴△CEF≌△FGH（ASA），
∴CF＝HF；
（2）不变．
证明：设FD交AB于G，

∵△GDA和△GDA是等腰直角三角形，
∴∠AGD＝∠FEC＝45°，
∵FD＝DE，DA＝CD＝GD，
∴FG＝FD﹣GD＝ED﹣CD＝EC，
∵∠HFG＝90°+∠CFD＝180°﹣∠FCD＝∠FCE，
在△ECF和△FHG中，
，
∴△ECF≌△GFH（ASA），
∴CF＝HF．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角定理，三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．